湖南省湘东六校2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

湖南省湘东六校2024届数学高一第二学期期末学业质量监测试

题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;

非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.直线I:2〃优+丫一加一1=0与圆c：X2+（y—2）2=4交于A,B两点，则当弦AB

最短时直线1的方程为

A.2x-4y+3=0B.x—4y+3=0

C.2x+4y+3=0D.2x+4y+l=0

2.若则下列不等式不成立的是（）

11

A.->-rB.ab<b2C.a?+b?>2abD.2“<2%

ab

3.若a<0,（x-2y）Qr+y）展开式中X4>2的系数为-20,则。等于（）

35

A.-1B.--C.-2D.--

22

4.一个长方体共一顶点的三条棱长分别是这个长方体它的八个顶点都在

同一个球面上，这个球的表面积是（）

A.127rB.18冗C.367rD.67r

5.函数/Q）=sin（（ox+（p）（其中树<］）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x

的图象，则只要将一（X）的图象（）

TT

A.向右平移：B.向右平移］2

6

C.向左平移2D.向左平移百

12

6.如图是某个正方体的平面展开图，(，/,是两条侧面对角线，则在该正方体中，|与

兀

A.互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为可D.相交且夹角为

n

T

7.若函数/G)=|x—川一/nr(加〉0)有两个不同的零点，则实数小的取值范围是

（）

A.（0,1）B,0C.（1,2）

8.若a>b,则下列不等式成立的是（）

1111

A.—>—B.—<丁C.。3>加D.。2>b2

abab

9.把等差数列1,3,5,7,9,…依次分组,按第一个括号一个数，第二个括号二个数，第三个括

号三个数，第四个括号一个数，…循环分为

(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…，则第11个括号内的各数之和

为()

A.99B.37C.135D.80

10.已知圆内接四边形43CD各边的长度分别为A3=5,8c=8,CD=3,ZM=5,则

AC的长为()

A.6B.7C.8D.9

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.设｛。｝为等差数列，若。+。+。=兀，则。+。=___.

n15928

12.若为等比数列的前n项的和，,则=

13.某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评

价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统

抽样，则最合适的抽样方法是.

14.已知cos©=一石,9e（n,2兀），贝i]sin,+COSB=.

4

15.在AA6C中，C为。4上的一点，且。。=1。4,。是BC的中点，过点A的直

线///QO,尸是直线/上的动点，OPCOB+hOC，则入_入=_________.

1212

16.若关于x的方程心+以+。=0（a/eR）在区间LL3」有实根，则。2+（。-2）2

最小值是一.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

sin（a-3cos（竺+a）tan（兀-a）

17.已知。为第三象限角，/（。）=22.

tan（—a-TC）sin（-a—7t）

⑴化简/（a）

（2）若cos（a-5）=2，求/（a）的值

18.在一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中

任取3支.求

（1）恰有1支一等品的概率；

（2）恰有两支一等品的概率；

（3）没有三等品的概率.

19.如图，矩形A8C。中，AD_L平面ABE,AE-EB=BC=2,F为CE上的点、,

且平面ACE,ACcBD=G.

（I）求证：AE//平面BFD；

（II）求三棱锥C-BGF的体积.

20.已知函数/(》)=①5抽((0》+9)(8>0,-]4?<3)的图象关于直线》=：对

称，且图象上相邻两个最高点的距离为兀.

(1)求3和甲的值；

八兀

(2)当xe0,-时，求函数y=/(x)的最大值和最小值；

(3)设g(x)=/(cx),若g(x)的任意一条对称轴与x轴的交点的横坐标不属于区间

(2兀,3兀)，求c的取值范围

21.如图，在三棱锥S-A5C中，侧面S4B与侧面SAC均为边长为2的等边三角形,

N3AC=90,。为6C中点.

(1)证明：AC_LSO；

(2)求点C到平面S48的距离.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

先求出直线经过的定点，再求出弦AB最短时直线1的方程.

【题目详解】

2x—1=0

由题得加(2x-l)+(y_l)=0,，<

[y-i=o

y=1

所以直线i过定点P(]，D.

当CPJ_1时，弦AB最短.

,2-1c,1

k=---r=—2,k=_

由题得CP0_1I2,

~2

c11

所以-2mm=~-.

24

所以直线1的方程为2x-4y+3=0.

故选：A

【题目点拨】

本题主要考查直线过定点问题，考查直线方程的求法，考查直线和圆的位置关系，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

2、B

【解题分析】

根据不等式的基本性质、重要不等式、函数的单调性即可得出结论.

【题目详解】

解：：a<b<0,二>0,h—a>0,

11b-a八11,

—~—：—〉0,即一〉7，故A成立；

ababab

ab-b2=(a-b)b>0,即次,〉加，故B不成立；

。2+拉一2ab=(a-b>>0,即g+垃〉2a/?,故C成立；

•••指数函数y=2,在火上单调递增，且a<b,

/.2«<2b,故D成立；

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查不等式的基本性质，作差法比较大小，属于基础题.

3、A

【解题分析】

由xC.2(ax)y2-2yC>(ar>y=10x4>2,可得10<23(1-a)=-20,将选项

A,B,C,。中的数值代入验证可得，。=-1符合题意，故选A.

4、A

【解题分析】

先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积.

【题目详解】

长方体的体对角线的长是J(J5)2+(JT)2+(J5)2=2p,

所以球的半径是：JJ,

所以该球的表面积悬=4兀(6)2=12兀，

故选A.

【题目点拨】

该题考查的是有关长方体的外接球的表面积问题，在解题的过程中，首先要明确长方体

的外接球的球心应在长方体的中心处，即长方体的体对角线是其外接球的直径，从而求

得结果.

5、A

【解题分析】

利用函数的图像可得7=兀，从而可求出3,再利用特殊点求出甲，进而求出三角函数

的解析式，再利用三角函数图像的变换即可求解.

【题目详解】

/7兀兀)2兀

由图可知丁=4[m一9)=兀，所以①二1=2,

兀/兀、八

当工=可时，/13"J二o，

I17171

由于心|＜亍，解得：(P=y.

所以/(x)=sin(2x+1,

要得到g(x)=sin2x的图像，则需要将/G)的图像向右平移

6

故选：A

【题目点拨】

本题考查了由图像求解析式以及三角函数的图像变换，需掌握三角函数图像变换的原

则，属于基础题.

6、D

【解题分析】

先将平面展开图还原成正方体，再判断求解.

【题目详解】

将平面展开图还原成正方体如图所示，则3,C两点重合，所以（与/,相交，连接AO,

JT

则为正三角形，所以/与/的夹角为

223

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查空间直线的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理

能力.

7、A

【解题分析】

函数/G）=|x-叫一侬（rn＞o）有两个不同的零点等价于函数/（X）在

均有一个解，再解不等式即可.

【题目详解】

解：因为/（%）=卜一叫一

mx=<

一（根+l）x+机,xv加'

由函数/（x）=|x一加卜血（加〉0）有两个不同的零点,

则函数/（X）在（9，加），［^，+°°）均有一个解,

m>0

m

则1Nm,解得：0＜团＜1,

m

<m

故选:A.

【题目点拨】

本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.

8、C

【解题分析】

利用y=x3的单调性直接判断即可。

【题目详解】

因为y=X3在R上递增，

又a>b,所以成立。

故选：C

【题目点拨】

本题主要考查了黑函数的单调性，属于基础题。

9、D

【解题分析】

由已知分析，寻找数据的规律，找出第U个括号的所有数据即可.

【题目详解】

因为每三个括号，总共有数据1+2+3=6个，相当于一个“周期”，故第11个括号，在第

4个周期的第二个括号；则第H个括号中有两个数，其数值为首项为1,公差为2的等

差数列数列L｝中的第20项(6x3+2),第21项的和，即

n

S=a+a=2a+39d=80

20211

故选：D.

【题目点拨】

本题考查数列新定义问题，涉及归纳总结，属中档题.

10、B

【解题分析】

分别在△ABC和△AC。中用余弦定理解出AC,列方程解出cosD,得出AC.

【题目详解】

在^ABC中，由余弦定理得AC2=A52+BC2-2ABxBCcosB=89-80cosB,

在^ACD中，由余弦定理得AC2=CD2+AD2-2ADXCDCOSD=34-30cosD,

A89-80cos8=34-30cosO,

VA+C=180°,；.cosB=-cos。,

cosD=——,

1

..AC2=34-30X(--)=1.

2

：.AC=2.

故选从

【题目点拨】

本题考查了余弦定理的应用，三角形的解法，考查了圆内接四边形的性质的应用，属于

中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2兀

T

【解题分析】

根据等差数列的性质：在等差数列中若m+〃=P+4则。+。=«+a即可

innpq

【题目详解】

・・〃+〃+a=兀=3。

1595

71

/.a=——

53

c2兀

/.a+a=2a=——

2853

故答案为：-y-

【题目点拨】

本题主要考查的等差数列的性质：若加+〃=P+4则。+。=a+。，这一性质是常

mnpq

考的知识点，属于基础题。

12、-7

【解题分析】

设公比为，则,所以

13、分层抽样.

【解题分析】

分析：由题可知满足分层抽样特点

详解：由于从不同龄段客户中抽取，故采用分层抽样

故答案为分层抽样.

点睛：本题主要考查简单随机抽样，属于基础题.

1

I,'5

【解题分析】

【解题分析】

用。氏。。表示出赤，由对应相等即可得出七,入.

【题目详解】

3311

OP=OA-PA=-OC-OD=-OC--(OB+OC)=--OB+OC

2222

t--13

因为OP=A,OB+XOC,所以解得入=--A=1得＞一九=--.

12122122

【题目点拨】

本题主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法则，平面上任意不共线的一

组向量可以作为一组基底.

9

16、-

【解题分析】

将足+公+%=0看作是关于”,b的直线方程，则。2+(6—2)2表示点(a,6)到点

(0,2)的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单

调性，可求出成+S—2"最小值。

【题目详解】

将％2+公+人=0看作是关于。力的直线方程，

。2+出一2)2表示点(a,6)与点(0,2)之间距离的平方,

X2+2

点(0,2)到直线x2+ox+b=0的距离为d

y]x2+1

又因为y=；+2=,X2+1+1,令f=，X2+1,

7x2+1Jx2+1L」

y=f+1在上单调递增，所以］皿.=孚

9

所以02+(6—2)2的最小值为2.

【题目点拨】

本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想

的的应用。

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

4

17、(1)见解析;(2)5.

【解题分析】

利用指数运算、指对互化、对数运算求解

试题分析：

(1)

二,、—cosasiaa(-tanat)

/(a)=---------------—f-----------=-cos.a

-tanasina

(2)由，得.又已知a为第三象限角，

所以，所以

所以/(a)=¥...........io分

考点：本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符号的判定.

点评：解决此类问题的关键是掌握诱导公式、同角三角函数基本关系以及三角函数符好

的判定方法.诱导公式的记忆应结合图形记忆较好，难度一般.

991

18、⑴20；(2)20；(3)2-

【解题分析】

(1)恰有一支一等品，从3支一等品中任取一支，从二、三等品种任取两支利用分布

乘法原理计算后除以基本事件总数；

(2)恰有两枝一等品，从3支一等品中任取两支，从二、三等品种任取一支利用分布

乘法原理计算后除以基本事件总数；

(3)从5支非三等品中任取三支除以基本事件总数.

【题目详解】

八C'C29

(1)恰有一枝一等品的概率尸=U^=K7V；

C320

6

9

(2)恰有两枝一等品的概率尸=-i3=on?

L32()

6

nC31

(3)没有三等品的概率尸=a=爹.

6

【题目点拨】

本题考查古典概型及其概率计算公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

1

19、(I)见解析(II)-

【解题分析】

(I)先证明AE//GF,再证明AE〃平面BFD；

(II)由等积法可得v=V=ls-FG即可求解.

C-BFGG-BCF3&CFB

【题目详解】

(I)因为G是AC中点，又因为8尸J.平面4CE,所以8FLCE,由已知=

所以尸是AC中点，所以AE//GF,因为AEZ平面BFD,GEu平面BFD,所

以AE〃平面BED.

(II)因为AO_L平面ABE,ADIIBC,所以8cd.平面ABE,则BC1AE,又因

为8尸J.平面ACE,所以BbLAE,则AEJ_平面8CE,由AE//GF可得GF，平

面BCE,因为AE—EB=BC-2,

此时S=—S=-LX2X2=1,FG——AE-1,

ABCF2ABCE42

所以V=V=1s,FG=；.

C-BFGG-BCF3ACFB3

【题目点拨】

本题主要考查线面平行的判定及利用等积法求三棱锥的体积问题，属常规考题.

20、⑴8=2,叩=一二(2)/(X)=#；/(x)=—史.⑶

6最大值/最小值2

【解题分析】

(1)由相邻最高点距离得周期，从而可得8,由对称性可求得

(2)结合正弦函数性质可得最值.

L(兀、

(3)g(x)=f(cx)=V3sin2cx--,先由半个周期大于兀得出c的一个范围，在

此范围内再寻找，求出对称轴x=%,由对称轴兀且兀得c的范围.

【题目详解】

(1)因为/(x)的图象上相邻两个最高点的距离为兀，

2兀

所以Ax)的最小正周期丁=兀，而①=—=2,

T

71

又因为/(X)的图象关于直线工=1对称，

7UTC7C

所以2x—+(p=攵兀+—,即(p=攵兀一一，kEZ,

326

c71兀71

又2..W(P<c,所以(p=一.

226

八兀

综上，(o=2,(p=--.

o

(2)由⑴知/(刀)=底由［2%-卷］,

八兀］兀八兀5兀

当x£0,—时，——<2无——<—

L2『666，

c兀兀TC”、K

所以，当2x—工=不即/=不汽时，/(x)」=-73；

oZj最大值

c兀九八、/T

当2%一工=一工，即x=0时，/(%)=_=.

66最小值2

(兀、

(3)ga)=/(cx)=J3rsin2cx一,

・・・g(x)的任意一条对称轴与X轴的交点的横坐标都不属于区间(2兀,3兀),

1271八1

・•・_•—>71,即O<c<一,

22c2

7171kllTt

令2cx——=攵兀.得方=——+一,

6223c

Ki71c(k+1)71n

——+—62兀，且2^———+——>3n,

2c3c2c3c

k1k+l1

得_+_WcW--+-,

4669

当后=一1时，0<<:<1,

当攵=0时，l<c<£,