2023-2024学年天津市高一数学下学期调研考试卷附答案解析

2023-2024学年天津市耀华中学高一数学下学期调研考试卷

2024.4

一、选择题（本题共有14个小题，每小题3分，请将正确答案填涂到答题卡相应位置上，答在试卷上

的无效）

1.已知球0的表面积为12万，则它的体积为（）

A.4君乃B.473C.8A/3TTD.8石

2.已知z=,则z-z=()

2+2i

A.-iB.iC.0D.1

3.已知机，〃为两条不同的直线，名£为两个不同的平面，对于下列四个命题

①inua,nua,mll/3naH/3；②nIlm,nua=>m/la；

③e///?,〃zuu#=%//〃；（4）m//a,nc«=>»7//«.

其中正确命题的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4.在△ABC中，"ABBC<0”是"△ABC为钝角三角形”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

已知a=(1,2),b=(x,-3),若Q则％=()

1B.-1

2

在-ABC中，BD+2CD=0则()

1-4—

AD=-AB+-ACB.AD=-AB+-AC

3355

AD=-AB+-ACD.AD=AB--AC

333

7.已知q©是两个不共线的向量，若2q+鸡与〃q+e2是共线向量，则（）

A.—=-2B.2//=-2C.一=2D.切=2

8.已知等边三角形ABC的边长为4,。为边A5的中点，石是边AC上的动点，则E4.石。的取值范围

为（）

A.[—1,6]B.[—1,12]C.[0,6]D.—

1

9.棱长为。的正方体ABC。-A瓦6。的8个顶点都在球。的表面上，点E、下分别是棱朋、。。的中

点，则过点E、尸的直线被球0截得的线段长为（）

A.yfiaB.2aC.叵aD.a

10.已知。是:ABC内一点，OA+OB+OC=D，AB-AC=2^/35.ZBAC=30°,则△O3C的面积为（）

A.73B.立C.1D.-

33

11.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蓑藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成（如

图1）,也可由正方体切割而成（如图2）.在“茨藜形多面体”中，若正四面体的棱长为2,则该几何体

的体积为（）

D

H

图2

A.V2B.2C.272D.4

12.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，该圆锥的底面半径为2,侧面展开图是一个圆心角

为茎2兀的扇形，则球。的表面积等于（）

12171「8171—12171c8171

A.------B.——C.-------D.——

2288

13.如图，实心正方体A3C。-4月GA的棱长为2,其中上、下底面的中心分别为0H.若从该正方体

中挖去两个圆锥，且其中一个圆锥以H为顶点，以正方形A^iGA的内切圆为底面，另一个圆锥以。为

顶点，以正方形A3CD的内切圆为底面，则该正方体剩余部分的体积为（）

14.如图，在棱长为2的正方体A3CO-4与GA中，点E、尸分别是棱3C,CG的中点，P是侧面BCQ用

内一点，若AP〃平面皿，则线段4。长度的取值范围是（）

2

A.7B.］乎与

二、填空题（本题共有8个小题，每题3分，请将答案填在答题卡相应位置上答在试卷上的无效）

15.在&ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若aV=&，则角B的大小为—

16.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。在西偏北30的

方向上，行驶600m后到达8处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30,则此山的高度8=.

m.

1\

rT>(

17.圆锥轴截面顶角为120。，母线长为3,过圆锥顶点的平面截此圆锥，则截面三角形面积的最大值

为.

18.若复数z满足（1+后,=|石-“，贝心的虚部为.

19.设°,方为不重合的两条直线a,B为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若qua,bg,a,6是异面直线，那么力//a；

②若qua,b//a,a,b共面，那么a///?；

③若a//p,aua,则a//p.

上面命题中，所有真命题的序号是—.

20.如图，在四边形A5CD中，ZB=60°,AB=4,BC=6,且=ADAB=-2,则实数丸的

值为,若M,N是线段BC上的动点，且|九=1,则DMDN的最小值为.

21.如图，用一边长2为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将半径为0

3

的鸡蛋(视为球)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为

7T

22.在等腰梯形中，AB//CD,AB=2,AD=1,=§,点/是线段48上的一点，M为边

9

上的动点，若2(j=2CE，AF=ZAB,且=则的最小值为.

O

三、解答题(本题共有3个小题，总分34分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效)

23.在4ABe中，角A,B,C所对的边分别为.满足(2a-c)cos3=bcosC.

⑴求角8的大小；

⑵设。=4,b=2^7.

(i)求c的值；

(ii)求cos(2C+3)的值.

24.已知正方体A8CD-A与6。的棱长为1,P为AC的中点.

(1)在平面A4G2内找一点。，使平面ABG，并证明；

(2)求三棱锥P-A.C.B的体积和表面积.

25.已矢口/(x)=6cos2x+2sin[g+x]sin(兀一x),xeR.

(1)求/(x)的最小正周期及单调递减区间；

(2)已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且“A)=-石，a=4,求ABC面积的最

大值.

1.A

4

【分析】根据给定条件，求出球。的半径，再利用球的体积公式计算作答.

【详解】球。的表面积为12兀，设球。的半径为R,则有4万&=12万，解得R=6,

所以球0的体积为丫=F&=弓*（石）3=4岳.

故选：A

2.A

【分析】根据复数的除法运算求出z,再由共轨复数的概念得到》,从而解出.

(l-i)(l-i)_-2i1.-I

【详解】因为z=，—i所以z己i即z—z=­i-

2(l+i)(l-i)-42

故选：A.

3.A

【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断.

【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求以〃相交，若没有，则a,6可能相交，故①错误；

对于②：因为线面平行的判定定理要求We,若没有，则可能“ua,故②错误；

对于③：根据线、面位置关系可知：man,或孤〃异面，故③错误；

对于④：根据线、面位置关系可知：机〃〃，或加，〃异面，故④错误；

故选：A.

4.D

【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出

关系，即可知答案.

【详解】由AB-8C=-BA-BC=-|8A||3C|cosB<0,即cosB>0,又0<3<%，

TT

所以不能推出△ABC为钝角三角形，充分性不成立；

JT

△ABC为钝角三角形时，若贝!JAR8C=—B4BC=-|BA||BC|cosB>0,不能推出

ABBC<Q^必要性不成立.

所以“”是“AABC为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.

故选：D

5.A

【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.

5

【详解】a+b=（x+l,-l）,由Q_L（Q+Z?）得0（q+b）=lx（x+l）+2x（-1）=0,

解得x=l.

故选：A.

6.C

【分析】根据。点所在位置，结合平面向量的线性运算，即可求得结果.

【详解】因为2a5=0,所以。为线段3C上靠近C的三等分点，如下图所示:

BDC

^AD=AB+BD=AB+^BC=AB+-（AC-AB^=-AB+-AC.

故选：C.

7.D

【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.

【详解】依题意，设2q+&2=«〃q+Z）,又色勺是两个不共线的向量，

所以〃/=2,几=，，所以”/=2.

故选：D

8.D

【分析】取线段AC的中点。，连接。B,以点。为原点，OA,。3所在的直线分别为无、丁轴建立平面

直角坐标系，设点E（x,0）,则-2（xW2,利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可

求得及VED的取值范围.

【详解】取线段AC的中点。，连接。3,则O3_LAC,

以点。为原点，OA,所在的直线分别为x、＞轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则A（2,0）、百），设点E（x,0）,贝IJ-24XW2,

6

E4=（2-x,0）,

因为函数〃x)=(x-£|一:在-2,|］上为减函数，在(1,2上为增函数,

所以，1mli=/0=1,

又因为/(一2)=12,42)=0,所以，/(%)_=12,

因此，的取值范围是_gl2.

故选：D.

9.C

【分析】先求球的半径，再求弦长OR即可.

【详解】因为正方体内接于球，所以2尺=，标+。2+/,R=^-a,

过球心。和点E、尸的大圆的截面图如图所示，

则直线被球截得的线段为2R,过点。作。尸，0R于点尸，

10.D

【分析】由题意判断O为一/RC的重心，W5AOBC=|SAABC,结合AB-AC=2如，求出k胤Ac|,可

求得SMC，即可求得答案.

【详解】由题意知。是ABC内一点，OA+OB+OC=D^

设。为BC的中点，则OA=-(O2+OC)=-2OD,

7

故。为ABC的重心,则SAOBC=_S&ABC,

又4B•AC=2指且ABAC=30°,则|AB||AC|-COSABAC=2A/3,.-.|AB||AC|=4,

故5Ase=JA@|AC卜in/BAC=；x4x；=l,

KJOBC=ABC=,

故选：D

11.A

【分析】利用割补法，结合体积公式求出即可.

【详解】因为AH=2,所以=AE-BE-1,

设ACBD=O,贝U。至I]AB的距离为正，

2

所以痍藜形多面体体积为正方体体积减去12%_ABE，

BP（V2）3-12x|x|xlxlx^=V2.

故选：A

12.B

【分析】借助圆锥的性质可计算出母线、高，由圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，可得。在圆

锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，即可得仅-尺）2+/=尺2,代入数据计算即可

得球的半径，借助球的表面积公式计算即可得解.

C=4K=

【详解】底面周长为C=2仃=4兀，则母线长度a一”一，

T

则圆锥的高为/?=〃—/=40，

由圆锥的顶点和底面圆周都在球。的球面上，

故。在圆锥的高所在直线上，且到圆锥顶点与底面圆周的距离相等，

设球。的半径为R,则有（/7-尺）2+/=尺2,即卜行-R）'+4=R2,

8

解得R=逑，故球0的表面积等于5=4兀&=4兀x（迪］=—.

4I4J2

故选：B.

13.D

【分析】计算出正方体体积、两圆锥的体积及其公共部分的体积即可得.

112

【详解】两圆锥的体积都为K=-nr2/z=-XTixl2x2=jK,

贝U其公共部分为％=2x^x兀*仕］xl=-,

236

故该正方体剩余部分的体积为V=23-2XX+匕=8-孚+£=8-?.

366

故选：D.

14.C

【分析】分别取棱8月、的中点M、N,连接MN,易证平面AMN〃平面A肝，由题意知点P必

在线段MN上，由此可判断P在/或N处时4尸最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形

即可求得.

【详解】如下图所示，分别取棱B与，的中点M、N,连MN,BQ,

M,N,E,歹分别为所在棱的中点，则MN〃BG，EF//BQ,

:.MNHEF,又MNu平面AEF,跖u平面AEF,

:.MN//^^AEF.

AA^IINE,AAt=NE,

二.四边形A硒A为平行四边形,

\NHAE,

又AN<Z平面4卯，AEU平面AEE,

•­•ANU平面AEF,

9

又AMMN=N,

..平面\MNII平面AEF.

尸是侧面8CC4内一点，且4尸〃平面AEF,

点尸必在线段跖V上.

在Rt^B.M中,A"=JAB：+4/=,2?+1=75.

同理，在向AA再N中，可得4N=6,

.•・AAMN为等腰三角形.

当点P为跖V中点。时，^P.LMN,此时片尸最短；点P位于/、N处时，4P最长.

222

AtO=^M-OM=J(V5)-#=竽,AM=AN=下.

，线段AT长度的取值范围是斗，石.

故选：c.

【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本

题的关键是通过构造平行平面寻找p点位置.

15.-

4

【分析】利用余弦定理结合已知条件求B的余弦值即得结果.

【详解】因为42+°2一廿=夜收，所以cosB=/+c'一"=虫竺=也,

2ac2ac2

又4ABC中，3c(0,万)，故8=?,

故答案为：---

4

16.100#

【详解】试题分析:由题设可知在aisc中,_C拓=30：,N<8C=105°,由此可得0•靛卷=45’,由正

CB600「

弦定理可得-----T-=---------T,解之得小乩-与川科士，又因为上富号诃=,，所以

sm30'sin45'一一'"

CD=CBtan30。=100、历，应填ioo而.

10

考点：正弦定理及运用.

9

17.

2

【分析】由题意可知任两条母线的夹角6e[0,|兀,轴截面的面积S=gLsin。，根据。的范围，求截面

面积的最大值.

【详解】因为圆锥轴截面顶角为手,

所以任两条母线夹角的范围是，,|兀

设母线长为/,母线的夹角是

1O

所以圆锥顶点的轴截面面积S=5尸sin6>=-sin6>,

因为夕e(0,|■兀,所以sinOe(O,l],

所以轴截面面积的最大值是方9

,Q

故答案为：—.

18.-3

2

【分析】化简复数z,由虚部定义可得结果.

••.z的虚部为-3.

2

故答案为：-2.

2

19.②③

【分析】对选项逐个判断，对①，若qua,beta,a,b是异面直线可得出相交平行异面，即可判断正误;

对②，由线面平行的性质可判断；对③由面面平行的性质可判断.

【详解】。，6为不重合的两条直线，a,p为不重合的两个平面，

对于①，若aua,bCa,a,6是异面直线，那么b与a相交或平行或异面，故①错误;

对于②，若aua,blla,a,6共面，那么由线面平行的性质得a//b,故②正确；

对于③，若a//[3,aua,则由面面平行的性质得故③正确.

故答案为：②③.

11

【分析】可得NBA。=120，利用平面向量数量积的定义求得2的值，建立平面直角坐标系，设点〃（x,0）,

则点N（x+l,0）（其中0<x<5）,得出。ON关于x的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得

斯.OV的最小值.

【详解】因为AD=/LBC，所以AD//3C,

又ZB=60。，所以NBAD=180-ZB=120，

所以ARA£）=/l8C-AB=dBcHA@cosl20,

因为网=4,|fiC|=6,ADAB=-2

所以2x6x4xU=_122=-2,

解得八J,

6

以点8为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy,

因为3C=6,所以点C的坐标为（6,0）,

因为|AB|=4,/ABC=60。，所以点A的坐标为（2,2旧），

又40=：2.则以3,2相），

设M（x,0）,贝i]N（x+L0）（其中0WxW5）,

ZW=（x-3,-2⑹，DN=（X_2,-26）,

=（无一3）（x—2）+（2退『=》2—5尤+18=（x—|j+?,

所以，当％5时，。加.ON取得最小值一47.

24

147

故答案为：—；——.

64

12

21+#

-2

【分析】由条件可求4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径，结合球的截面性质可求球心到截面圆的距离,

进一步加上垂直折起的4个小直角三角形的高以及鸡蛋（球）的半径即可得解.

【详解】由已知蛋巢的底面是边长为正的正方形，

所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为0,

且蛋巢的高度为正，

2

又球的半径为血，

故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为应+如+交=逑境

222

故答案为：30+何

2

39

22.—

64

【分析】先建立平面直角坐标系，根据条件求出力=!，写出的表达式，结合二次函数性质求其

最小值.

【详解】以A为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图，

AE

¥

川FBx

,F(22,0),B(2,0),cg¥)；

由己知可得A。。）,咕,孝j

（16

设颐根,〃），则BC=,CE=m——,n——,

由3C=2CE1可得一不，亏=(2机-3,2〃-6),

1227

解得根=：,几,所以七|’53勿

13

13上乖19

---------X--------=——

842428

解得2=;,此时尸］3,。

设,则

AM=xADMB=AB-AM=AB-xAD=122J

MF=AF-AM=AF-xAD=[---,0-—%

(222

故答案为：--.

64

71

23.(1)8=§,

(2)(i)c=6,(ii)cos(2C+B)=-三.

【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求解.

（2）（i）利用余弦定理求解即可；

（ii）利用二倍角公式，两角和的余弦定理化简计算可得结论.

【详解】（1）由正弦定理可得，一一=—"=—J=2R,R为ABC的外接圆半径,

sinAsinBsinC

所以a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

因为（2a-c）cosB=Z?cosC,

所以（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC,

可得2sinAcos=sin（5+C）=sinA,

因为0<A<7i,故sinAwO,贝!Jcos5=,，

2

又所以△=

14

（2）由（1）知，3=],且a=4,b=2V7,

（i）贝1"2=匕皂£,

lac

即工=16+c--28,解得c=_2（舍），c=6.

22x4xc

故c=6.

（ii）由（2。一c）cos5=bcosC,

得（2x4-6）xg=2阮osC,

解得egg则sinC=M正=等,

贝Usin2C=2sinCcosC=-----，

14

13

cos2C=2cos9C—1=-----,

14

则cos（2C+B）=cos2CcosB-sin2csinB

(13\136百11

=-----x------------x----=------.

I14J214214

24.(1)当点。与点Q重合时，尸。〃平面ABC，证明见解析,

(2)三棱锥P-4GB的体积为3,表面积为26+后.

62

【分析】(1)观察图形确定Q,结合线面平行判定定理证明结论；

(2)由(1)结合锥体体积公式可得/.AGB二/1-AG8=%-4CQ,,由此可求结论.

【详解】(1)当点。与点2重合时，PQ//平面asq,证明如下：

连接BD,由已知P为3。中点，连接8a交AG于点片，

由正方体性质可得〃耳2，BD=BR,尸田分别为耳2的中点，

^BP//QPi,BP=QPi,

所以四边形BP。［为平行四边形，

所以尸。〃2片,

15

又尸QO平面ABG，平面ABG，

所以尸。〃平面ABG；

(2)由(1)点尸,Q到平面ABC］的距离相等，

由锥体体积公式可得，Vp_AG5二％「AGs，又％1-4G5=匕-AGQ，

设点区到平面AC2的距离为d,则4=忸4|=1,

又SACQ=(xlxl=g,

=

所以匕FC*%1—A。/=匕—AG2=§xS,的xd=-x-xl=-9

所以三棱锥尸-AGB的体积为，,

6

由已知1PAi=|PB|=|PC六孝，|A1|=|CG|=1,

所以|「阖=|PG|=坐，又忸A|=|3Cj=|AG|=夜，

所以I网「=怛尸「+|必「，但G「=|即2+|pc/,即AP，8P，GP，8P,

所以SB%=；8尸.尸A=¥，SBPC、=*PCI当

5LS=—x2=—,s,=—x5/2xl=—,

AiB”C。42C2P2

所以三棱锥尸-AC/的表面积为2立+®.

2

25.(l)〃x)的最小正周期为兀，单调递减区间为际喉际+碧(心Z),

(2)ABC面积的最大值为4逝.

【分析】(1)化简得〃