广东省广州市2023-2024学年高二年级下册期中数学试题

广东省广州市培英中学2023-2024学年高二下学期期中数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若A：=C；,贝lj"=()

A.9B.8C.7D.6

2.设为R上的可导函数，且业/2词7,则曲线y=在点

处的切线斜率为()

A.2B.-1C.1D.--

2

3.3知数列｛q｝,｛2｝均为等差数列,%+%=7,as+bt0=11,则。5+“6=（）

A.9B.18C.16D.27

4.某人进行年度体检，有五个检查项目，为了体检数据的准确性，A项目必须

作为第一个项目完成，而B和C两项不连在一起接着检查.则不同顺序的检查方案一共有

()

A.6种B.12种C.18种D.24种

5.函数〃x)=，在点(%,/伉))处的切线与直线》=一％垂直，贝!]/=()

A.0B.1C.-1D.e

6.在数列｛%｝中，已知见+1+4=3-2",g=5,则｛%｝的前11项的和为()

A.2045B.2046C.4093D.4094

7.若函数y=/(x)的导函数y=°(x)=r(x)图象如图所示，贝I()

A.0'(X)<0的解集为(一8,-3)B.函数y=/(x)有两个极值点

C.函数y=〃x)的单调递减区间为(-2,1)D.-3是函数y=/(x)的极小值点

,29

8.已知了'(X)是函数八。的导数，户尤)+八尤)>0,42)=(，则不等式/(Inx)〈二的解集是

e'x

()

22

A.(2,+oo)B.(e,+oo)C.(0,e)D.(0,2)

二、多选题

9.设(2x+iy=/+〃[(x+l)+%(%+1)一++g(x+l)6,则下列结论中正确的是().

A.〃o—q+%—%+%—%+〃6=3‘

B.%+生=-100

C.%,“2,“3，…，”6中大的是“2

D.当％=7时，(2%+球除以16的余数是1

2

10.已知函数/(x)=lnx-1——；则下列结论正确的是()

x-1

A./(九)在定义域上是增函数

B./(九)的值域为R

c./(logKe)+/(ln7t)=l

V+1

D.若f(a)=F----Z?,4ZG(0,l),Z?e(0,+oo),则a/=l

e-1

11.某高中通过甲、乙两家餐厅给1920名学生提供午餐，通过调查发现：开学后第一天有:

的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的

学生中，次日会有;的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有

9的学生选择甲餐厅.设开学后第"天选择甲餐厅就餐的学生比例为则()

O

A.册之2)

B.1见一：,是等比数歹U

C.第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为g

D.开学后第一个星期(7天)中在甲餐厅就过餐的有5750人次

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.［犬-4］的展开式中x的系数为.

13.若函数/'(*)=2/_3〃/+6%在区间(1,”)上为增函数，则实数机的取值范围是.

14.已知函数〃》)=士+2/，g(x)=2M一Inr,若关于x的不等式/(x)V空⑺有解，则

m的最小值是.

四、解答题

15.四个不同的小球，全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中.

(1)随便放(可以有空盒，但球必须都放入盒中)有多少种放法？

(2)四个盒都不空的放法有多少种？

(3)恰有两个空盒的放法有多少种？

(4)甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种？

16.已知函数/(x)=x2-81nx

(1)求函数的极值；

(2)求函数“X)在区间上的最值.

17.已知数列｛4｝前"项和为S“，且满足弓=2,25“=31+w.

⑴求数列｛《｝的通项公式；

⑵若数列物/满足么=(T)"4+一^,求数列｛2｝的前2〃项和心.

anan+\

18.某工厂拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的上端为半球形，

下部为圆柱形，该容器的体积为等立方米，且桂6厂.假设该容器的建造费用仅与其表面

积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每

平方米建造费用为m［m>2.25)千元.设该容器的建造费用为V千元.

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

(2)求该容器的建造费用最小时的，「

19.已知函数/(x)=3(x-l)e”-］以2.其中实数。£(0,位).

(1)讨论函数八%)的单调性；

133

(2)当时，证明：关于尤的方程+；=-尤3有唯一实数解.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】直接利用排列数和组合数的公式计算.

【详解】由A：=C；得"("-1)="("一1)("-2’,"23,“eN,

'73x2x1

解得〃=8

故选：B.

2.C

【分析】根据导数的定义，计算得到答案.

【详解】尸⑴=Hm"l)T(l+2垓)=」Hm"l)T(l+2垓)=1.

'7——2Ax2-Ax

故曲线y=在点(1J⑴)处的切线斜率为1.

故选：C

3.A

［分析］两式相加,依据等差数列的性质即可求解.

【详解】因为的+4=7,。8+伉0=11，

以a?+4+“8+耳。—2%+2b6—7+11—18,

所以%+%=9,

故选：A.

4.B

【分析】利用分步乘法原理，结合插空法即可得解.

【详解】依题意，将9E两个项目全排列，有A；=2种情况，

再将民C两个项目排在Z),E排列所形成的3个空位中，有A；=6种情况，

最后将A项目放在第一位，有1种情况，

所以共有2x6x1=12种情况.

故选：B.

5.A

【分析】根据导数几何意义可得在点不处切线斜率左=/'(％)=e'。，根据两直线垂直，斜率

相乘得-1,即可求得答案.

答案第1页，共11页

【详解】/(x)=e，，则在点心处切线斜率k=_f(x°)=*,

因为与y=T垂直的斜率％=1,

所以/'(%)=*=1,解得不=。.

故选：A

6.C

【分析】根据给定条件，求出％,再利用并项求和法，即可计算得解.

【详解】由%+i+%=3-2",得%+%=6,而出=5,解得4=1,

所以｛%｝的前11项的和4+(%+。3)+(4+%)+(%+%)+(4+%)+(4+41)

=1+3(22+24+26+28+210)=1+3(4+16+64+256+1024)=4093.

故选：C

7.D

【分析】根据导数与函数单调性和极值点的关系，即可判断选项.

【详解】A.”⑺<。的解集为函数y=/'(x)的单调递减区间，为(-2,-1),故A错误；

B.函数y=/'(x)只有1个变号零点-3,所以函数y=/(尤)有1个极值点，故B错误；

C当3)时,r(x)<0,所以函数y=f(x)的单调递减区间为(f,-3),故C错误;

D.当3)时，了3<0,“X)单调递减,当尤4一3,y)时，/(x)>0,f(x)单调

递增，所以-3是函数y=/(x)的极小值点，故D正确.

故选：D

8.C

【分析】设g(x)=e"(x),求出函数的导数，得到g(x)在R上单调递增，问题/“户<2等

价于g⑺<g(2),即可解决.

【详解】令/■ulnx,贝ijx=e',

因为,

所以/⑺<£,即/«,e'<2,

答案第2页，共11页

设g(x)=e"(x),

所以g'(尤)=e'(/(x)+/'G)),

因为/(x)+/'(x)>0,

所以g<x)>0,所以g(x)在R上单调递增,

因为”2)==，

e

所以g(2)=e2〃2)=2,

所以等价于g(r)<g(2),

则方<2,BPInx<2,解得0<x<e2.

所以不等式/(irw)〈:的解集是(0霜2).

故选：c

9.ABD

【分析】由二项式定理及二项展开式可解，观察式子特点可进行适合的赋值简化计算.

【详解】(2X+1]=[T+2(X+1)T=

C«(-1)6[2(x+l)]°<(-1)5[2(x+l)]1++或(一1)。[2(%+1)[①；

6

对A,对题给式子进行赋值，令x=-2,贝！|[2x(-2)+1了=%-<?[+2-+«6=3,故A正

确；

对B,由①式知%+/=C；(—1)4x2?+C：(—1丫><23=60-160=-100,故B正确；

对C,卬=或(-1广。2(=0,1,2,3,4,5,6),当i=l,3,5时，«,.<0；a0=l,

%=C(-1)4-22=60,%=C；(-1广2,=240,4=C®(-1)°-26=64，最大的为明，故C不正确；

对D,当x=7时，(2尤+球=15。=06-]『V]66Vl65yl64Vl6?+C：]62vl6+或

=16x(或165-晨164+C；163-C；162+C：16-或)+1除以16的余数是1,故D正确.

故选：ABD

10.BD

【分析】确定函数定义域，利用导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合判

答案第3页，共11页

断B；推出/(x)+(J=O可判断C；将/(o)=U-＞化简变形，可得/

结合fM的单调性，即可判断D.

【详解】对于A,/(%)=lnx-l-三的定义域为(O,1)5L+8),

x-1

则函数在(0,1),(1,+8)上均单调递增,

但由于/(尤)的图象在x=l处不连续，故不能说人尤)在定义域上是增函数，A错误;

对于B,当x＞O,x.O时，/5)趋向于负无穷，当时，趋向于正无穷,

当＞1时，/(九)趋向于负无穷，当N-+8时，/(九)趋向于正无穷,

结合/(%)的单调性，作出其图象:

由此可知，/(九)的值域为R，B正确;

192元

对于C,f(x)=lnx-l-^-,贝g/(?=_ln无_1_。=_皿_1一工，

X-1----1

X

1=-2--+^=-2+^^=0,

故/

xX—1X—1X—1

I1/、

而11171G——，故/■(log.e)+/(ln兀)=0,C错误;

l°gjle

2

对于D,由题意知/(〃)=In1--------,

a-1

bl

…'e"+l-2,,,1,2xfci1,2

又=—:----Z?=l+-7-------Ine=In—+1+-----e=In--1-----------

g―1e^-leb_i_武X_

y711

1

即，由于ae(0,l),be(0,+oo),则e",

7e

结合"X)在(0,1)上单调递增，可得。=4,.•.ae〃=l,D正确,

e

故选：BD

11.BCD

答案第4页，共11页

【分析】根据给定的信息求出递推公式可判断A；变形递推公式根据等比数列的定义可判断

B；求出通项公式，利用通项公式求出％。。、前7项和可判断CD.

7111

【详解】对于A,由题意，得%=彳%_1+工。-41）=彳故A错误；

3626

,十11（…11

对于B,4-3=/［区1一耳上又4=§，所以［

所以,。“-g1是以（为首项，g为公比的等比数列，故B正确；

对于C,3*即所以…「MUT故,正确；

对于D,%+%+%++%=:+91+［1）+出++］）嗡,

575

又有1920名学生，所以开学后第一个星期（7天）中在甲餐厅就过餐的有1920x厮=5750

人次，故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据给定的信息求出递推公式及通项公式.

12.-560

【分析】利用二项式定理的通项公式求解.

【详解】的展开式的通项却=C；（2x）J=（-!）’27飞/7口，

令7-2r=l,得r=3,所以（2x—£|的展开式中x的系数为（一1丫27-3仁=-560.

故答案为：-560.

13.（-a）,2］

【分析】依据题意列出关于根的不等式，即可求得实数加的取值范围.

【详解】/'（九）=6%2_6mx+6,

根据题意可知尸⑴之0在（1,y）上恒成立，即_6如+620在（1,y）上恒成立,

也就是加工工+!在（L+°o）恒成立，

X

而函数y=x+」在。，内）上单调递增，则x+_l>2,故〃?W2

XX

答案第5页，共11页

故答案为：(F,2]

14.-/0.5

2

【分析】参变分离可得2机Ne.2Alm-(_2x—lnx)有解，令r=—2x—lnx,g(f)=e,T,利用导

数求出且⑺血，即可求出参数的取值范围，从而得解.

【详解】由/(x)<xg(x)得士+2尤24x(2加一Inx),显然x>0,

2xlnx

所以2m>+2x+Inx=e~~-(-2x-lax)有解，

令。=—2x—Inx,则/£R,

令g(r)=e'T,则g'(r)=e'-l,所以当,<0时g'⑺<0,当/>0时g'(t)>0,

所以g⑺在(-8,0)上单调递减,在(0,+8)上单调递增,

所以g⑺11m=g⑼=1，即片"隈-(-2x-lnx)>1,

所以2〃后1,则相zg,即加的最小值是g.

故答案为：g

【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到2加2e小心-(-2x-lnx)有解，再构造函

数，利用导数求出[e-i-(-2x-lnx)]mm.

15.(1)256

(2)24

(3)84

(4)96

【分析】(1)由分步乘法计数原理，即可求得答案；

(2)四个盒都不空即相当于将4个球全排列到4个位置上，由此可求得答案；

(3)先选出2个盒子，再将4个小球分成两堆，最后将两堆小球放入4个盒子中，由分步

乘法计数原理，即可求得答案；

(4)分类考虑，即先确定甲球放入的盒子，再确定乙放入的盒子，最后确定其余球的放法，

即可求得答案.

答案第6页，共11页

【详解】（1）由题意知每个小球都有4种方法，故共有4"=256种放法；

（2）四个盒都不空即相当于将4个球全排列到4个位置上，共有A：=24种放法;

（3）由题意，必然是4个小球放入其中2个盒子中，分三步完成：

先选出2个盒子，再将4个小球分成两堆，最后将两堆小球放入4个盒子中,

（4）由题意可分为三类考虑：

第一类，甲球放入1号盒子中，则乙球有3种放法，即可放入2,3,4号盒子中的一个,

其余2球可随便放入4个盒子中，有42种放法，

故此时共有3x4?=48种放法；

第二类，甲球放入2号盒子中，则乙球有2种放法，即可放入3,4号盒子中的一个，

其余2球可随便放入4个盒子中，有下种放法，

故此时共有2x4?=32种放法；

第三类，甲球放入3号盒子中，则乙球有1种放法，即放入4号盒子中，

其余2球可随便放入4个盒子中，有42种放法，

故此时共有1x4?=16种放法；

综合可知甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有48+32+16=96种.

16.（1）极小值为4-81n2；无极大值（2）最小值为4-81n2,最大值为二+8.

e

【分析】（1）对函数求导，求得函数单调性，找出极值点，进一步求出极值.

（2）根据（1）可得函数的最小值，然后求出端点值进行比较，即得最大值.

【详解】（1）由题意得：定义域为（0,+功，广（X）=2X-§=2（X+2）（.・2）,

XX

.,.当xe（O,2）时，/,（x）＜0；当xe（2,y）时，

\/⑴在（0,2）上单调递减，在（2,+力）上单调递增,

\/（x）的极小值为〃2）=4-8山2,无极大值；

（2）由（1）知：〃尤）在上单调递减，在（2,e］上单调递增,

•，­/（了）而“=7（2）=4-81n2,/（%）_=max“

答案第7页，共11页

又41=5+8,〃e)=/—8,.J(x)max=/[J=5+8.

【点睛】本题考查利用导数求解函数的极值和区间内的最值的问题；关键是能够利用导数求

得函数的单调性，进而确定极值点和最值点.

17.(l)a„=3n-l

1

⑵耳=3n+——

618〃+6

【分析】（1）根据a”，S“之间的关系，即可求得数列｛4｝的通项公式；

（2）结合（1）求出勿=（-»'%+」一的表达式，利用分组求和以及裂项相消求和的方法,

即可求得答案.

【详解】（1）由题意知数列｛%,｝满足弓=2,25,=31+〃，

2

当刀N2时,25„_1=3（n-l）+n-l,故2%=6〃-2,;.4=3〃-1,

%=2适合该式，故氏=3〃-1；

⑵由⑴知母=（7）%+£=（-1）"（31）+百木”

=(T)'(31)+[11

313n+2

记数列｛g｝：c“=（T）"（3"T），｛4｝"，，=1//万匕］，

2〃

贝士-2+5)+(-8+11)++[-(6〃-4)+(6〃-1)]=3n,

Z=1

故凡=3〃+：_1

O18〃+6

18.(l)y=3乃(〃2一])/+240万

0<r<2

（2）见解析

【分析】（1）由圆柱和球的体积的表达式，得到和厂的关系.再由圆柱和球的表面积公式建

立关系式，将表达式中的/用〃表示，并注意到写定义域时，利用/22人求出自变量厂的范

围.

答案第8页，共11页

(2)用导数的知识解决，注意到定义域的限制，在区间(0,2］中，极值末必存在，将极值点在

区间内和在区间外进行分类讨论.

【详解】⑴设该容器的体积为V,贝匹=+/+］勿3,

6/160珀”1602

又所以、犷一3-

因为/所以0<r«2.

所以建造费用y=2»力*；+3»产加=—+产桃,

240%

因此y=+----,0<r<2.

r

(2)由(1)得y=6万(r—l)一罩=6%(:1)卜一^2^］,Q<r<2.

由于机>3，所以加一1>0,令/一-竺-=0,得厂=,口^7.

4m—1\m—\

若之型二<2,即，”>6,当re(。,产M时,

时，y<0,y(F)为减函数，当

Vm—1J

I上为函数y(r)的极小值点，也是最小值点.

/>0,y(r)为增函数，此时r=&

m-1

若J旦W2,即?<相<6,当re(O,2］时，y'<0,y⑺为减函数，此时r=2是y⑺的

Vm-14

最小值点.

综上所述，当;〈根46时，建造费用最小时r=2；当机>6时，建造费用最小时r=(40

m-l

19.(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【分析】(1)求导函数，分a=l,0<«<1,三种情况讨论导函数的符号，从而得出函

数“X)的单调性;

(2)依题意问题转化为方程(尤-l)e，+gv一62+g=o有唯一的实数解，令

g(x)=(x-l)eI+|x3-ax2+1,求导函数，分析导函数的符号，得出函数g(x)的单调性以

及特殊点的函数的符号，根据零点存在定理可得证.

【详解】(1)(1)依题意，f\x)=3xe-3ax=3x{tx-a),

当。=1时，/'(x)=3x(e-lb0对于xeR恒成立，函数在R上单调递增；

当0va<l时，ln〃<0时,

答案第9页，共11页

当尤e(-oo,lna),>0,单调递增,

当xe(lna,0),jT(x)<0,/(x)单调递减,

当xe(0,+oo),>0,/(x)单调递增;

当a>l时，lna>0时,

当xe(y,0),>0,/(无)单调递增,

当xe(0,如a),r(x)<。,/(x)单调递减,

XG(lna,+co),用或>0,/(x)单调递增;

综上所述:

当0<〃<1时，/(X)在(TO,Ina)和(0,+8)上单调递增，在(Ina,0)上单调递减;

当a=l时，/(X)在(』，+8)上单调递增;

当4>1时，〃力在(-8,0)和(1!14,+00)单调递增，在(0,Ina)上单调递减;

(2)依题意得：3(x-l)e'+x3-3ax2+|3=O,gp(x-l)e'+j1x3-ax2+11=0,

令g(x)=(x-l)e"+43_加+!则g'(^x^—xex+x2—2ax—x^ex+x—2a^；