2024年新高考数学一轮复习-数列求和（学生版）

专题39数列求和

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式.

2.掌握非等差数列，非等比数列求和的几种常见方法.

【考点预测】

数列求和的几种常用方法

1.公式法

直接利用等差数列、等比数列的前〃项和公式求和.

(1)等差数列的前〃项和公式：

⑵等比数列的前〃项和公式：

H31,Q—1,

SLa—aqai(l—<7")

-；----n=-：----q手1.

1—<71—<7

2.分组求和法与并项求和法

(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和

后相加减.

(2)形如&=(一□"•f5)类型,常采用两项合并求解.

3.错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即

可用此法来求，如等比数列的前〃项和公式就是用此法推导的.

4.裂项相消法

(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.

(2)常见的裂项技巧

1)-----——-----

/7(77+1)nn-\-V

11>

2z?(72+2)21Az?+2y'

c11____1

@(2L1)(2〃+1厂式2〃-l~2/i+1

【常用结论】

n(〃+l)

1.1+2+3+4H——Vn2~~

n(〃+l)(2〃+l)

2.12+22H——\-n

6

3.裂项求和常用的三种变形

a)〃(〃+i)

_________1__________1(11)

⑵(2〃—1)(2刀+1)=入2〃-1—2，+1)

⑶5+*=巾-亚

4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

【方法技巧】

1.分组转化法求和的常见类型

(1)若&=4±&,且｛4｝,｛以为等差或等比数列，可采用分组求和法求｛aj的前〃项和.

\bn,〃为奇数，

⑵通项公式为a〃=生,由*的数列，其中数列｛4｝,｛&｝是等比数列或等差数列，可采用分组转化法

［C„,A为偶数

求和.

2.用错位相减法求和的策略和技巧

⑴掌握解题“3步骤”

(而A.u’M薮利威窟场欣耳拳一套薪司I一摹记薮司扇

丹”L项的积，并求出等比数列的公比

「加上才U先列出前"项和的表达式，然后乘以等比数

列的公比得到一个新的表达式，两式作差;

［得］论H-即索瓦至无而语后曲%,碗翥而：

(2)注意解题“3关键”

①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.

②在写出"S”与“宓,”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出"S一妁”的表

达式.

③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比g=l和gWl两种情况求解.

3.裂项相消法求和的实质和解题关键

裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目

的，其解题的关键就是准确裂项和消项.

①裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.

②消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.

［注意］利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相

消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项.

二、【题型归类】

【题型一】分组转化求和

【典例1］已知等差数列｛2｝的前〃项和为S,且关于x的不等式aN—Wx+2<0的解集为(1,2).

(1)求数列｛aj的通项公式；

⑵若数列伍｝满足6〃=a2〃+2al—1,求数列｛&｝的前n项和T„.

【典例2］已知数列｛a.｝的通项公式是&=2•31+(—l)"(ln2—In3)+(-1)"血n3,求其前〃项和S.

【典例3］已知各项都不相等的等差数列｛aj,a=6,又出，az,&成等比数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设bn=2%+(-1)&求数列出｝的前2n项和%.

【题型二】错位相减法求和

【典例1］设｛aj是公比不为1的等比数列，国为念，as的等差中项.

⑴求｛a｝的公比；

(2)若&=1,求数列｛〃aj的前〃项和.

9

【典例2］已知数列｛aj的前〃项和为S,且4S+i=3S—9(〃GN*).

⑴求数列｛a.｝的通项公式；

⑵设数列伉｝满足屹+(〃-4)a〃=0(“GN*),记伉｝的前〃项和为方.若北W儿4,对任意“GN*恒成立，求

实数4的取值范围.

【典例3】在①$=2&+1；②国=—1,1；©a„+i—a„a„+2,S=—3,a3=-4这三个条件

中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答.

问题：已知单调数列｛aj的前〃项和为S,且满足.

⑴求｛&｝的通项公式；

⑵求数歹U｛—〃aj的前A项和T„.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型三】裂项相消法求和

【典例1】数列｛aj的前n项和为S„,ai—1.现在给你三个条件.@an+i—2a„.②S=2a〃+t.③S=2"+A.从

上述三个条件中.选一个填在下面问题的横线上，并完成后面问题的解答.

已知,若4=log2a〃+i,｛4｝的前〃项和为北.

⑴求北；

(2)求证：数歹“詈的前n项和A<2.

【典例2】数列｛aj满足a=1,yj^+2,=a„+1(neN*).

(1)求证：数列｛a"是等差数列，并求出｛a〃｝的通项公式;

9

(2)若4=1—,求数列｛4｝的前〃项和.

4〃十cin+l

15

【典例3】在①数列｛aj的前〃项和SugA’+'A；②a：—a〃一a：-i—a0-i=0(A》2,〃GN*),a„>Q,且ai=Z%

这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的〃存在，求出〃的最小值；若〃不存在，说明

理由.

数列｛4｝是首项为1的等比数列，b>0,友+弱=12,且____________,设数列|—的前〃项和为

｛a„logsbn+i]

T„,是否存在〃GN*,使得对任意的〃GN*,T„<M?

三、【培优训练】

【训练一】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20

dmX12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX6dm两种规格的图形，它们的面积之

和S=240dm2,对折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,20dmX3dm三种规格的图形，它们的

面积之和£=180dm,以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折〃次,

n

那么££=dm2.

k=l

【训练二】已知数列｛a｝：^2,W，J,・，73,74,京…(其中第一项是接下来

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

的吸一1项是京，I),再接下来的2―1项是依此类推)，其前〃项和为S,

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

则下列判断正确的是()

210—1

A-y^是匕/的第？036项

B.存在常数〃，使得〃恒成立

C.S036=1018

D.满足不等式S>1019的正整数〃的最小值是2100

【训练三】已知等差数列｛aj中，为一a3=4,前〃项和为S,且星，&-1,S成等比数列.

(1)求数列｛aj的通项公式；

4/7

(2)令4=(—1)"——，求数列｛4｝的前〃项和。

a7a?+1

【训练四】在等差数歹!J｛aj中，已知a=12,ais=36.

⑴求数列｛aj的通项公式为；

⑵若，求数列｛%的前〃项和S„,

4

在①4=——，②4=(一l)Ja“，③4=2。”•a”这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解.

Hndn+l

【训练五】已知数列｛a｝是正项等比数列，满足as是2彻3a的等差中项，&=16.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)若4=(―l)"log2a2〃+1,求数列间的前〃项和Tn.

【训练六】已知｛aj为等差数列，｛&J为等比数列，ai—bi—X,a5=5(a-as),&=4(&—&).

⑴求｛4｝和｛4｝的通项公式；

⑵记｛a』的前〃项和为S,求证:SS+2〈楼+i(〃eN*)；

⑶对任意的正整数〃，设◎=

’（3劣一2）bn

〃为奇数,

国?8?+2

dn-1

〃为偶数,

、bn+\

求数列｛以｝的前2〃项和.

四、【强化测试】

【单选题】

1.数列｛aj的通项公式是4=(-1)〃(2”-1),则该数列的前100项之和为()

A.-200B.-100C.200D.100

2.己知数歹!J｛aj满足a0+i—a”=2,ai=-5,则|aj+|a21H-F|ae|=()

A.9B.15C.18D.30

3.我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第

八数来言.务要分明依次第，孝和休惹外人传.”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1

个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟

间和气，不要引得外人说闲话.”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为()

A.184斤B.176斤

C.65斤D.60fr

4.在数列｛a｝中，若包=1,a2=3,a+2=a〃+i—，则该数列的前100项之和是（）

A.18B.8C.5D.2

刀）_1

5.已知函数F（x）=a"+6（a>0,且aWl）的图象经过点尸（1,3）,。（2,5）.当〃£N*时，劣=〃、".

f\n）•f｛n+l）

记数列｛a｝的前刀项和为S,当■时，〃的值为（）

A.7B.6

C.5D.4

6.在数列｛4｝中，若句=1,a=3,a+2=a+1—）,则该数列的刖100项之和是（）

A.18B.8

C.5D.2

7.已知数列｛a｝满足&=2,4a：尸斑，篇是等差数歹U，则数列｛（—1）”&）的前10项的和5。是（）

A.220B.110

C.99D.55

8.数列｛a｝满足a+1=(-1严3+2〃一1,则数列｛a｝的前48项和为()

A.1006B.1176

C.1228D.2368

【多选题】

9.设S是数列｛a｝的前〃项和，且为=—1,a+i=SS+i,贝！1（）

A.数列］号为等差数列

1

B.Sn=--

n

—Ln=\,

C.a=\11

n-2,”GN+

1_77—1

D，曲+蕊4'

S-iS?n

10.已知数列｛a｝为等差数列，首项为1,公差为2.数列｛4｝为等比数列，首项为1,公比为2.设a=a历,

北为数列｛々｝的前刀项和，则当北<2019时，〃的取值可能是（）

A.8B.9

C.10D.11

1212323-C

++-十+

ii.已知数列｛a｝：5,3-4-4-W1-…,若4=工,设数列间的前〃

10•+

--

项和S,贝|」（)34

n

=

A.2=5B.an'n

4/7577

D

C.Sn—^+1-$=市

12.已知数歹!J｛2｝的前刀项和为S,且有(H1+&+…+a)&=(团+&+…+&-1)&+i(刀22,〃£N*),ai=&

=1.数列jicoQLCOQ1的前〃项和为北,则以下结论正确的是()

1_LOg2)+l*10g2D/?+2j

A.Hn=lB.Sn=2n~l

c.北=勺ID.｛北｝为增数列

〃+3

【填空题】

13.已知数列｛aj的首项为-1,anan+1=-2",则数列｛&｝的前10项之和等于.

14.已知数列｛aj满足国=1,且4+1+@〃=〃-1009(〃eN*),则其前2021项之和S必=.

15.已知数列Saj的前〃项和为S,且a=2",且使得S—〃a〃+i+50〈0的最小正整数〃的值为.

16.设数列｛aj的前〃项和为S,且团=1