四川省成都市双流区成都市实外西区学校2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题（解析版）

2023~2024学年度下期多校联合诊断测试初2022级（八年级）半期数学监测试卷A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．故选：C．2.下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．：∵当a=﹣2，b=1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a=﹣2，b=1是假命题的反例．故选B．点睛：本题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可．这是数学中常用的一种方法．3.下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可.，此选项为单项式变形，非因式分解，故本选项错误；，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项错误；此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项正确；此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项错误；故本题选项为：C.【点睛】本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同.4.不等式组的解集在数轴上表示为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，先根据一元一次不等式组的解法得到解集，再由数轴表示不等式组解集的方法表示出来即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式组的解法及在数轴上表示不等式组解集的方法是解决问题的关键．解：，由①得，由②得，不等式组的解集为，在数轴上表示不等式组的解集，如图所示：，故选：A．5.如图，在等腰中，，，，的度数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据“等边对等角”求出，进一步求出，最后根据得出答案．解：∵，，∴．∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6.在平面直角坐标系中，将点先向上平移个单位，再向左平移个单位，得到点，若点位于第二象限，则，的取值范围分别是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据点的平移规律可得向右平移个单位，再向上平移个单位得到，再根据第二象限内点的坐标符号可得.将点先向上平移个单位，再向左平移个单位，得到点∵点位于第二象限解得：故选：C.【点睛】本题考查了点的平移规律、平面直角坐标系的象限特点，依据题意求出点的坐标是解题关键.7.如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到，由此，利用勾股定理求出长度即可．连接，∵长方形，，∴，∴，∴，∴点P表示的数是，故选：D．8.如图，点是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，关于与的大小关系，正确的是（）A. B. C. D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．解：点是三条角平分线的交点，和和的高相等，的面积记为，的面积记为，的面积记为，，，由的三边关系得：，，故选：C．【点睛】此题考查角平分线的性质和三角形的三边关系，关键是根据角平分线的性质得出△ABI和△BIC和△AIC的高相等解答．第Ⅱ卷（选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题考查提公因式法分解因式，根据多项式特征，每一项都含有，直接提公因式即可得到答案，熟练掌握提公因式法分解因式是解决问题的关键．解：，故答案为：．10.若分解因式的结果是，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把展开进而求出m、n的值，然后代值计算即可．解：，∵分解因式的结果是，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．11.某校组织开展了“读书立志，强国有我”的知识竞赛，共20道竞赛题，选对得6分，不选或错选扣2分，得分不低于80分获奖，那么同学们要获奖至少应选对______道题．【答案】15【解析】【分析】本题考查一元一次不等式应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．根据题意列不等式求解即可．解:：设应选对x道题，则不选或选错的有道，依题意得：，得：∴至少应选对15道题，故答案为：15．12.如图，在中，，，垂足分别为交于点，已知，，则的长是______．【答案】【解析】【分析】先由等腰三角形的判定与性质得到，在中，由勾股定理得到，从而由等面积法，代值求解即可得到答案．解：在中，，是等腰三角形，，，由等腰三角形三线合一可知，是边上的中线，即，在中，，，则由勾股定理可得，，，即，解得．【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及等腰三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．13.如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点G，画射线，交于点D，点F在边上，且，连接，则的周长为______．【答案】10【解析】【分析】直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定与性质进而得出，即可得出答案．解：∵，，，，由作图方法可得：平分，，在和中，，，的周长为：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质，正确理解基本作图方法是解题关键．三、解答题（本大题共6个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14.因式分解：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了提公因式法的公式法分解因式，（1）原式提取后，再运用完全平方公式进行分解即可；（2）原式两次运用平方差公式进行分解即可．【小问1】；【小问2】．15.解不等式组，写出它的整数解，并把它的解集表示在数轴上．【答案】，整数解为1，数轴见【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别解出不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出了即可．解：解不等式①，得：；解不等式②，得：；不等式组的解集为：，∴它的整数解为1，把其解集表示在数轴上如图：16.如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．（1）求证：；（2）连接，请判断形状，并说明理由．【答案】（1）见解析（2）是等边三角形，理由见解析【解析】【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）连接，由垂直平分线的性质可求得，在中，由直角三角形的性质可证得，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得，且，可证明为等边三角形．【小问1】证明：连接，是的垂直平分线，，，，在中，，；【小问2】解：是等边三角形，理由如下：连接．垂直平分，为中点，，，，是等边三角形．17.如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．（1）平移，得到，若点A的对应点的坐标为，请画出，并写出点的坐标；（2）将以点为旋转中心旋转后得到，请画出，并写出点的坐标；（3）求四边形的面积．【答案】（1）作图见解析，点坐标为（2）作图见解析，坐标为（3）10【解析】【分析】本题主要考查了平移、旋转作图，解题的关键是作出对应点的位置．（1）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标；（2）先作出点A、B、C旋转后的对应点、、，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标；（3）采用割补法求解即可．【小问1】解：如图，即为所求作的三角形，点坐标为；【小问2】解：如图，即为所求，坐标为；【小问3】如图，四边形的面积为：，即所求面积为10．18.如图，中，，，点D是上一点，点M是上一动点，连接，将绕点M顺时针旋转得到，连接．（1）如图1，当点M与点A重合时，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点M不与点A重合时，连接，求的度数；（3）若，，请直接写出当长度达到最小时的长．【答案】（1），理由见（2）（3）【解析】【分析】（1）证明，即可证明；（2）过点M作，交于点N，按照（1）的方法同理证明，问题即可作答；（3）过点M作，交于点G，根据，可得，再根据垂线段最短可知，当时，最短，再结合勾股定理以及等腰直角三角形性质即可作答．【小问1】，理由：根据旋转的性质有：，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即；【小问2】过点M作，交于点N，如图，∵中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，根据旋转的性质有：，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴；【小问3】过点M作，交于点G，如图，在（2）中已求得，∴，根据垂线段最短可知，当时，最短，∵，∴，∴，∵中，，，，，∴，，∴，，∴，∴在等腰中，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∵在中，，∴，解得：（时，无法满足，故舍去），∴，即，∴．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程以及垂线段最短等知识，灵活构造全等三角形，证明，是解答本题的关键．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】考查了运用公式法进行因式分解，利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可作答．，故答案为：．20.若关于的不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组、根据不等式组的整数解个数确定参数范围等知识，先解出不等式组的解集，在数轴上表示出参数可能得位置，从而得到参数的范围即可，熟练掌握由不等式组的整数解个数确定参数范围的题型解法是解决问题的关键．解：，由②得，关于的不等式组有且仅有3个整数解，有且仅有3个整数解，在数轴上表示出的可能位置，如图所示：的取值范围为，故答案为：．21.如图，绕点顺时针旋转得到，若是等边三角形，，则图中阴影部分得面积等于______．【答案】【解析】【分析】先利用旋转的性质得到，再解直角三角形可计算出、、、，然后利用图中阴影部分的面积进行计算．解：如图所示：是等边三角形，，，，绕点顺时针旋转得到，，在中，，，则，即；同理，可得；，由勾股定理可得，，，在中，，则，从而得到，由勾股定理可得，图中阴影部分的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，勾股定理，含的直角三角形性质，等边三角形性质等知识，熟练掌握旋转性质，数形结合是解决问题的关键．22.一个直角三角形如图所示，其中，，，过点C作，垂足为，过点作，垂足为，过点作垂足为，……依次作下去，则______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查图形规律探究，含角的直角三角形的性质，根据图形的特点依次求出、、、，发现规律即可求解．为了便于总结规律，设，在中，，，，∴，∴，即，在中，，，，同理有：，在中，，，同理有：，在中，，，同理有：，…，∴，结合图形可知：，，，…，依次类推可知：，垂足为：，∵，∴，当时，，此时：，在中，，，，，∴，即：，故答案为:．23.在中，分别为射线与射线上的两动点，且，连接，则最小值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理；过点作，使得，过点作于点，连接，证明得出，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，解：如图，过点作，使得，过点作于点，连接，在中，，∴，∴，∴，则当在线段上时，取的最小值，最小值为的长，∵，，，∴∵，∴，在中，，∴，∴，故答案为：．二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）24.某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球，已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．（1）求篮球和足球单价分别是多少元．（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5460元，那么有哪几种购买方案？【答案】（1）篮球和足球的单价分别是120元，90元（2）有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：（1）设篮球和足球的单价分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元列出方程组求解即可；（2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过5460元，且篮球不少于30个列出不等式组求解即可．【小问1】解：设篮球和足球的单价分别是x元，y元，由题意得，，解得，答：篮球和足球的单价分别是120元，90元；【小问2】解：设购买篮球m个，则购买足球个，由题意得，，解得，∵m为正整数，∴m的值可以为30或31或32，∴有三种购买方案：方案一：购买篮球30个，足球20个；方案二：购买篮球31个，足球19个；方案三：购买篮球32个，足球18个．25.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的横坐标为a，点A的纵坐标为b，且实数a，b满足．（1）如图1，求点A的坐标；（2）如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为点B．已知点，连接CA，CB，请在y轴上找一点P，使的面积与的面积相等，并求出点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）或者（3）、、、或者【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可确定点的坐标；（2）设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，设直线交y轴于点G，可得，求出，即，根据题意设，则有，结合，，，可得，解方程即可求解；（3）分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，以上、、、、即是满足要求的Q点，先利用勾股定理求出，在中，，即可得，则有，采用勾股定理，其他点同理可求．【小问1】∵实数，满足，又∵，，∴，，∴，，∴点的坐标为；【小问2】设直线的解析式为：，∵，，∴，解得：，∴直线的解析式为：，设直线交y轴于点G，如图，当时，，∴，∵轴，，∴，即，根据题意设，∴，∵，，∴，，∵，∴，解得：或者，∴，或者；【小问3】如图，分别以A、C为圆心，长为半径画圆，与x轴依次交于点、、、，的垂直平分线交x轴于点，过点C作轴于点D，如图，∴，，∵，，轴，∴，，，∴，∵轴，∴，，∴在中，，∴，∴，同理可得：，∵轴，∴，∴在中，，∴，∴，同理可得：，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，综上所述：符合要求的Q点坐标为：、、、或者．【点睛】本题主要考查了非负数的性质、坐标与图形、