2025优化设计一轮第5节 第1课时　利用导数研究恒(能)成立问题

第5节函数与导数中的综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025考点一分离参数法解决不等式恒(能)成立问题例1(2024·河南南阳模拟)已知函数f(x)=ln

x+x-,其中a∈R.(1)当a=2时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)如果对于任意x∈(1,+∞),都有f(x)>2,求实数a的取值范围.规律方法“分离参数法”解决不等式恒成立问题“分离参数求最值”是解决不等式恒成立求参数的取值范围问题的基本方法,其基本过程如下:(1)已知含参数λ的不等式f(λx)≥0恒成立;(2)将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ

与变量x

分离,可以将λ单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ

的一个代数式分离到不等式的一边;(3)求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式而确定,可以用导数法、基本不等式法、换元法、单调性法等;(4)得出结论.若h(x)的最大值为M,则g(λ)≥M;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M

)时,g(λ)≥M.[对点训练1](2024·广东深圳模拟)已知f(x)=ax-ln

x,a∈R.(1)讨论f(x)的单调区间和极值;(2)当x∈(0,e]时,不等式f(x)≤3有解,求a的取值范围.例2(2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=-2x+ln

x,g(x)=xex-3x-m.(1)求函数f(x)的极值点;(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.规律方法借助“隐零点”解决参数范围问题分离参数构造函数后,如果该函数导函数的零点无法直接求出来,我们称之为“隐零点”(即能确定其存在但无法用数值或显性的代数式进行表达),这时解决问题的基本思路是:形式上虚设,运算上代换,数值上估算,策略上等价转化,方法上分离函数.[对点训练2](2024·广东江门模拟)已知函数f(x)=(x-1)ln

x-m(x+1).(1)若x=1是函数y=f(x)的极值点,求实数m的值;(2)若对任意的x∈(,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求实数m的取值范围.考点二最值法解决不等式恒(能)成立问题例3(2024·江苏常州模拟)已知函数f(x)=ax2-ln

x+(2a-1)x,其中a∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)设a>0,若不等式f(x)+≥0对∀x∈(0,+∞)恒成立,求a的取值范围.规律方法最值法解决不等式恒成立(能成立)问题在不等式恒成立(能成立)问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成f(x)>0或f(x)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x)有最小值g(a),则f(x)>0恒成立⇔g(a)>0,f(x)≥0恒成立⇔g(a)≥0.(2)如果f(x)有最大值g(a),则f(x)<0恒成立⇔g(a)<0,f(x)≤0恒成立⇔g(a)≤0.[对点训练3](2024·湖北荆门模拟)设函数f(x)=ex-ax,x≥0且a∈R.(1)求函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(x)≥x2+1恒成立,求实数a的取值范围.考点三分类讨论法解决不等式恒(能)成立问题例4(12分)(2023·全国甲,文20)已知函数(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;突破口:换元及因式分解.(2)若f(x)+sin

x<0,求a的取值范围.关键点:端点值代入获得临界条件,分类讨论确定参数范围.审题指导:(1)将a=1代入解析式求导后,将f'(x)的表达式整理为关于cos

x的形式,然后换元,因式分解,从而确定f'(x)的符号,得到函数的单调性.(2)将不等式化为g(x)<0的形式,然后借助g(x)在区间端点处的函数值g(0)=0以及其单调性应满足的条件来推断g'(x)满足的条件应为a≤0,然后再通过分类讨论解决问题.求导后对f'(x)的表达式进行整理统一为用cos

x表示的形式换元

因式分解

确定导数的符号

借助区间端点处的函数值g(0)=0及其单调性应满足的条件来推断g'(x)满足的条件分类讨论a=0时的情况

借助放缩法与a=0时的情况联系

教师讲评(1)本例第(2)问为不等式恒成立求参数的取值范围问题,求解时,没有进行参数分离,而是将不等式化为g(x)<0的形式,然后借助g(x)在区间端点处的函数值以及其单调性应满足的条件来推断g'(x)应满足的条件,从而得到参数的取值范围,然后通过分类讨论解决问题.(2)本例第(2)问在求解时,首先是借助区间端点处应满足的临界条件,缩小参数的取值范围,然后分析论证该范围即为所求,这种通过观察区间端点值来解决问题的方法也称为“端点效应法”,“端点效应法”是特殊化思想的具体运用,往往可以简化问题的求解过程.考点四同构法解决不等式恒(能)成立问题例5(2024·福建漳州模拟)已知函数f(x)=aex+x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x>1时,

,求实数a的取值范围.解

(1)函数定义域为R,且f'(x)=aex+1.当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增.当a<0时,令f'(x)>0,可得x<-ln(-a),令f'(x)<0,可得x>-ln(-a),所以f(x)在(-∞,-ln(-a))内单调递增,在(-ln(-a),+∞)内单调递减.综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增;当a<0时,f(x)在(-∞,-ln(-a))内单调递增,在(-ln(-a),+∞)内单调递减.规律方法“同构法”解决不等式恒成立问题在不等式恒成立求参数的取值范围问题中,如果不等式中同时含有ex和lnx

两种形式的函数,可以考虑将不等式进行合理的转化、变形、拼凑,将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式,然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题,从而解决问题,这种解题方法通常称之为“同构”,同构的三种基本模式如下:[对点训练5](2024·安徽铜陵模拟)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的极值;(2)若存在实数x>0使得xebx-ex+(b-1)x2+xln

x≥0成立,求实数b的取值范围.解

(1)函数定义域为R,且f'(x)=ex-a.①当a≤0时,函数f(x)在R上单调递增,不存在极值.②当a>0时