2025优化设计一轮第5节 第2课时　利用导数证明不等式

第5节函数与导数中的综合问题第2课时利用导数证明不等式高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025考点一作差构造单函数法证明不等式规范解答:(1)解

函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=aex-1.1分当a≤0时,aex≤0,所以f'(x)=aex-1<0恒成立,因此f(x)在R上单调递减.2分当a>0时,令f'(x)=aex-1=0,解得x=-ln

a,当x<-ln

a时,f'(x)<0,f(x)在(-∞,-ln

a)内单调递减;当x>-ln

a时,f'(x)>0,f(x)在(-ln

a,+∞)内单调递增.4分综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;当a>0时,f(x)在(-∞,-ln

a)内单调递减,在(-ln

a,+∞)内单调递增.5分

不要漏掉这种情形

分类讨论后要将结果进行综述

借助(1)中单调性得到函数的最小值

将欲证不等式转化

构造函数

确定函数最小值证得结果

首先证明常用放缩不等式ex≥x+1将欲证不等式进行转化

对f(x)放缩

确定函数最小值证得结果

构造函数

规律方法作差构造单函数证明不等式(1)当欲证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证.(2)利用作差构造单函数法证明不等式的基本步骤:①作差或变形;②构造函数g(x);③利用导数研究g(x)的单调性或最值;④根据单调性及最值,得到欲证的不等式.[对点训练1](12分)(2024·安徽阜阳模拟)已知函数f(x)=(2-x)ex.(1)求函数f(x)在区间[-1,2]上的最值;考点二拆分构造双函数法证明不等式规律方法拆分构造双函数证明不等式若采用作差构造单函数的方法,在对该函数直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证不等式进行拆分变形,化为不等号两边各有一个代数式的形式,然后构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目的.特别是当题目中同时含ln

x和ex时,通常将ln

x与ex分离到不等式两边,分别构造函数并求出函数最值,借助最值进行证明.[对点训练2](2024·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)=x3-3ln

x+11.(1)判断函数f(x)的单调性;(2)证明:当x>0时,f(x)>-x3+3x2+(3-x)ex.令f'(x)=0可得x=1,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(0,1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,在(0,1)内单调递减.(2)证明

由(1)可得f(x)min=f(1)=12.令g(x)=-x3+3x2+(3-x)ex,则g'(x)=-3x2+6x-ex+(3-x)ex=(2-x)(ex+3x),由g'(x)=0,解得x=2,当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0;当x∈(0,2)时,g'(x)>0,∴g(x)在(2,+∞)内单调递减,在(0,2)内单调递增,可得g(x)max=f(2)=e2+2.由于12>e2+2,即f(x)min>g(x)max,所以f(x)>g(x),故当x>0时,f(x)>-x3+3x2+(3-x)ex.考点三放缩法证明不等式例3(2024·江苏南通模拟)已知函数f(x)=a(ln

x+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当a>0时,f(x)≤2a2-2a.当a≤0时,f'(x)≤0,所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞),当a>0时,令f'(x)>0得0<x<a,令f'(x)<0得x>a,所以f(x)的单调递减区间是(a,+∞),单调递增区间是(0,a).(2)证明

由(1)可得,当x=a时,f(x)取得极大值也是最大值,即f(x)≤f(a)=a(ln

a+a)-a.设g(a)=ln

a-a+1,则g'(a)=

-1,令g'(a)>0得0<a<1,令g'(a)<0得a>1,所以g(a)的单调递减区间是(1,+∞),单调递增区间是(0,1),所以g(a)≤g(1)=0,即ln

a≤a-1.因为ln

a≤a-1,所以ln

a+a≤2a-1,所以a(ln

a+a)≤2a2-a,故a(ln

a+a)-a≤2a2-2a,命题得证.规律方法放缩法证明不等式的两种基本方法(1)参数放缩:当给出参数取值范围来证明不等式恒成立时,可以把参数按取值范围放缩为常数.例如:已知参数a≥1证明af(x)>0恒成立时,可按去参数放缩得到af(x)≥f(x)>0,即只需要证明f(x)>0即可.(2)函数不等式放缩:在导数方法证明不等式中,最常见的是lnx

和ex

与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对lnx

与ex

进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下:①ex

≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立);②lnx≤x-1(当且仅当x=1时,等号成立).[对点训练3](2024·福建泉州模拟)已知函数f(x)=ex-axsin

x-x-1(a∈R).(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=时,证明:对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0.(1)解

当a=0时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1.令f'(x)>0,解得x>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增;令f'(x)<0,解得x<0,f(x)在(-∞,0)内单调递减.所以f(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).考点四特殊化处理证明数列不等式例4(12分)(2022·新高考Ⅱ,22)已知函数f(x)=xeax-ex.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x>0时,f(x)<-1,求实数a的取值范围;规范解答:(1)解

当a=1时,f(x)=xex-ex,f'(x)=xex.1分当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故函数f(x)在(0,+∞)内单调递增,在(-∞,0)内单调递减.2分(2)解

令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,则g'(x)=(ax+1)eax-ex,且f(x)<-1转化为g(x)<0.3分因为g(0)=0,且x>0时,g(x)<0,所以g(x)在x>0时不能单调递增,否则存在x0∈(0,+∞)使得g(x0)>0,所以当x>0时,g'(x)≤0.4分记h(x)=g'(x),则h'(x)=(a2x+2a)ea