北京市海淀区2024届十校联考最后数学试题含解析

北京市海淀区名校2024届十校联考最后数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1.甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字个数的统计结果如下表：

班级参加人数平均数中位数方差

甲55135149191

乙55135151110

某同学分析上表后得出如下结论：

①甲、乙两班学生的平均成绩相同；

②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字村50个为优秀)；

③甲班成绩的波动比乙班大.

上述结论中，正确的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

2.去年二月份，某房地产商将房价提高40%,在中央“房子是用来住的，不是用来炒的”指示下达后，立即降价30%.设

降价后房价为X,则去年二月份之前房价为()

A.(1+40%)x30%xB.(1+40%)(1-30%)x

x_____________x____________

°(1+40%)X30%(1-30%)(1+40%)

3.如图，四边形ABCD中，AB=CD,AD/7BC,以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD

是平行四边形，AB=3,则次E的弧长为()

TC3兀

A.—B.7tC.—D.3

22

4.如图，半径为1的圆Oi与半径为3的圆。2相内切，如果半径为2的圆与圆01和圆。2都相切，那么这样的圆的个

数是()

A.1B.2C.3D.4

5.当x=l时，代数式x3+x+m的值是7,则当x=-1时，这个代数式的值是（）

A.7B.3C.1D.-7

6.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4

米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）

A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米

7.从边长为。的大正方形纸板中挖去一个边长为〃的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然

后拼成一个平行四边形（如图乙）。那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（）

A.a2~b2-(^a-byB.(«+=a2+lab+b1

C.(a—Z?)—cr—2,ctb+b~D.a?—=(a+b)(a—b)

8.已知点A（0,-4）,B（8,0）和C（a,-a）,若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小

值是（）

V2

•----B.72C.6D.2

2

9.如图，。。的半径为1,△ABC是。。的内接三角形，连接OB、OC,若NBAC与NBOC互补，则弦BC的长为

()

A

C.3若D.156

10.13|的值是（）

11

A.3B.-C.-3D.--

33

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，反比例函数y=&（x<0）的图象经过点A（-2,2）,过点A作A8_Ly轴，垂足为5,在y轴的正半轴上

x

取一点尸（0,力，过点尸作直线04的垂线/,以直线/为对称轴，点5经轴对称变换得到的点方在此反比例函数的

A.1+75B.4+^/2C.4-^/2D.-1+75

12.如图，点。，瓦户分别在正三角形ABC的三边上，且AD即也是正三角形.若AABC的边长为。，AD防的边长

为b,则AAEF的内切圆半径为

13.若am=5,an=6,则am+三.

14.如果2（a+x）=Z?+x,那么=（用向量a，b表示向量％）.

15.如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y=幺（*>0）的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE

X

的面积为1,则女=

16.二次函数尸（a-1）通了+“2」的图象经过原点，则〃的值为.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）现在，某商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡（注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款），花300

元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物.顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什

么情况下购物合算？小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？小张按合算的方案,

把这台冰箱买下，如果某商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元？

18.（8分）如图山坡上有一根旗杆AB,旗杆底部B点到山脚C点的距离BC为米，斜坡BC的坡度i=l：小

明在山脚的平地F处测量旗杆的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得旗杆顶部A的仰角为45。,

旗杆底部B的仰角为20°.

（1）求坡角NBCD；

（2）求旗杆AB的高度.

（参考数值：sin20°«0.34,cos20°=0.94,tan20°M.36）

XI

19.（8分）解方程：---=3.

x-22-x

20.（8分）如图，已知等腰三角形A5c的底角为30。，以5c为直径的。。与底边A5交于点O,过。作

垂足为E.证明：OE为。。的切线；连接OE,若5c=4,求AOEC的面积.

21.（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG〃DB交CB

的延长线于G.求证：△ADE^ACBF；若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的

结论.

D

22.（10分）如图，四边形A3C。的外接圆为。。，4。是。。的直径，过点3作。。的切线，交的延长线于点E,

(1)求证：平分NAOC；

(2)若EB=10,CD=9,tanZABE=-,求。。的半径.

2

23.(12分)(1)计算：(-2)2+(^-^-)°+11-2sin60°|；

/A、ZUZefc—1/2a—1、

(2)化简：-----+(〃-------).

aa

24.计算：(一)2—(兀一+|2I+6tan30°

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、D

【解析】

分析：根据平均数、中位数、方差的定义即可判断;

详解：由表格可知，甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同；

根据中位数可以确定，乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；

根据方差可知，甲班成绩的波动比乙班大.

故①②③正确，

故选D.

点睛：本题考查平均数、中位数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2、D

【解析】

根据题意可以用相应的代数式表示出去年二月份之前房价，本题得以解决.

【详解】

由题意可得，

x

去年二月份之前房价为：x-r(l-30%)+(1+40%)=(]_30%)0+40%)，

故选：D.

【点睛】

本题考查了列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式.

3、B

【解析】

四边形AECD是平行四边形,

；.AE=CD,

VAB=BE=CD=3,

；.AB=BE=AE,

/.△ABE是等边三角形,

.\ZB=60°,

60万x2x3

AE的弧长=-------------------=71.

360

故选B.

4、C

【解析】

分析：

过Oi、02作直线，以0102上一点为圆心作一半径为2的圆，将这个圆从左侧与圆。1、圆02同时外切的位置（即圆

。3）开始向右平移，观察图形，并结合三个圆的半径进行分析即可得到符合要求的圆的个数.

详解：如下图，(1)当半径为2的圆同时和圆Oi、圆Ch外切时，该圆在圆03的位置;

(2)当半径为2的圆和圆Oi、圆02都内切时，该圆在圆04的位置；

(3)当半径为2的圆和圆Ch外切，而和圆Ch内切时，该圆在圆05的位置；

综上所述，符合要求的半径为2的圆共有3个.

故选C.

点睛：保持圆6、圆th的位置不动，以直线0102上一个点为圆心作一个半径为2的圆，观察其从左至右平移过程中

与圆01、圆02的位置关系，结合三个圆的半径大小即可得到本题所求答案.

5、B

【解析】

因为当x=l时，代数式一的值是7,所以l+l+m=7,所以m=5,当x=-l时，=-1-1+5=3,

故选B.

6、C

【解析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度.

【详解】

在RtAA'BD中，•.,NADB=90°,A，D=2米，BD2+A,D2=A,B,2,,,.BD2+22=6.25,.,.BD2=2.25,VBD>0,：.BD=1.5

米，.,.CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选C.

MCBD

【点睛】

本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键.

7、D

【解析】

分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式.

【详解】

阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2-b2,乙的面积=(a+b)(a-b).

即：a2-b2=(a+b)(a-b).

所以验证成立的公式为：a2-b2=(a+b)(a-b).

故选：D.

【点睛】

考点：等腰梯形的性质；平方差公式的几何背景；平行四边形的性质.

8、B

【解析】

首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x的交点坐标,

再求得交点与D之间的距离即可.

【详解】

AB的中点D的坐标是(4,-2),

,.'C(a,-a)在一次函数y=-x上，

•••设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b,

把(4,-2)代入解析式得：4+b=-2,

解得：b=-l,

则函数解析式是y=x-l.

y=x—6

根据题意得：］，

y=-x

则交点的坐标是(3,-3).

则这个圆的半径的最小值是：J(4-3y+(—2+3)2=&.

故选：B

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C(a,-a),一定在直线y=-x上，是关键.

9、A

【解析】

分析：作OH_LBC于H,首先证明NBOC=120,在RtABOH中，BH=OB«sin60°=lx,即可推出BC=2BH=g,

详解：作OH_LBC于H.

,.'ZBOC=2ZBAC,ZBOC+ZBAC=180°,

.,.ZBOC=120°,

VOH±BC,OB=OC,

/.BH=HC,ZBOH=ZHOC=60°,

在RtABOH中，BH=OB«sin60°=lxB=昱,

22

.,.BC=2BH=V3.

故选A.

点睛：本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线.

10、A

【解析】

分析：根据绝对值的定义回答即可.

详解：负数的绝对值等于它的相反数，

卜3|=3.

故选A.

点睛：考查绝对值，非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、A

【解析】

4

根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（22）得至（Jk=-4,即反比例函数解析式为丫二一，且OB=AB=2,

则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以NAOB=45。，再利用PQLOA可得到NOPQ=45。，然后轴对称的性质得

一4

PB=PB\BBUPQ,所以NBPQ=NBTQ=45。，于是得到B，PJ_y轴，则点B的坐标可表示为t）,于是利用

t

44

PB=PB，得t-2=|—|=-,然后解方程可得到满足条件的t的值.

【详解】

如图,

•••点A坐标为(-2,2),

・・k=-2x2=-4,

4

・・・反比例函数解析式为y=—,

x

VOB=AB=2,

AAOAB为等腰直角三角形，

.\ZAOB=45°,

VPQ±OA,

.\ZOPQ=45°,

•・•点B和点B，关于直线1对称，

APB=PBr,BBUPQ,

.\ZBTQ=ZOPQ=45°,ZBTB=90°,

・・・B，P，y轴，

4

・•・点B，的坐标为(―,t),

t

VPB=PBr,

44

t-2=|--1=-f

整理得t2-2t-4=0,解得11=1+5/^,t2=l-^/5（不符合题意，舍去）,

的值为1+百.

故选A.

【点睛】

本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性

质及会用求根公式法解一元二次方程.

12、-^-(a-b)

【解析】

根据△ABC、AEFD都是等边三角形，可证得△AEF^^BDE丝△CDF,即可求得AE+AF=AE+BE=a,然后根据切

线长定理得到AH=，(AE+AF-EF)=-(a-b)；,再根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径.

22

【详解】

解：如图1,是△ABC的内切圆，由切线长定理可得：AD=AE,BD=BF,CE=CF,

图1

/.AD=AE=-[(AB+AC)-(BD+CE)]=-[(AB+AC)-(BF+CF)]=-(AB+AC-BC),

222

d

如图2,'.•△ABC,△DEF都为正三角形，

/.AB=BC=CA,EF=FD=DE,ZBAC=ZB=ZC=ZFED=ZEFD=ZEDF=60°,

,,.Zl+Z2=Z2+Z3=120°,Z1=Z3；

在小AEF^ACFD中，

'ABAC=AC

<Z1=Z3,

EF=FD

/.△AEF^ACFD(AAS)；

同理可证：△AEFg△CFD^^BDE；

/.BE=AF,即AE+AF=AE+BE=a.

设M是△AEF的内心，过点M作MHLAE于H,

则根据图1的结论得：AH=-(AE+AF-EF)=-(a-b)；

22

VMA平分NBAC,

/.ZHAM=30°；

；・HM=AH・tan30°=；(a-b)=—b)

故答案为:,(a—b).

【点睛】

本题主要考查的是三角形的内切圆、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定，切线的性质，圆的切线长定理，

根据已知得出AH的长是解题关键.

13、1.

【解析】

根据同底数塞乘法性质am.an=am+n,即可解题.

【详解】

解：am+n=am,an=5x6=l.

【点睛】

本题考查了同底数幕乘法计算，属于简单题，熟悉法则是解题关键.

14、b-2a

【解析】

•；2(a+x)=5+%,二24+2尤%=B-24,

故答案为b—2a.

点睛:本题看成平面向量、一元一次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题.

15、1

【解析】

分析：设D(a,利用点D为矩形OABC的AB边的中点得到B(2a,-),则E(2a,—),然后利用三角形

aa2a

ikk

面积公式得到7・a・(—―)=1,最后解方程即可.

2a2a

详解：设D(a,-),

a

•・•点D为矩形OABC的AB边的中点，

k

AB(2a,-),

a

VABDE的面积为1,

1kk

.'.-•a.）=1,解得k=L

2a2a

故答案为1.

点睛：本题考查了反比例函数解析式的应用，根据解析式设出点的坐标，结合矩形的性质并利用平面直角坐标系中点

的特征确定三角形的两边长，进而结合三角形的面积公式列出方程求解，可确定参数k的取值.

16、-1

【解析】

将（2,2）代入y=（a-1）x2-x+a2-l即可得出a的值.

【详解】

解：•.•二次函数y=（a-1）x2-x+a2-l的图象经过原点，

a2-l=2,

a=±l,

Va-1^2,

Aa/l,

；.a的值为-1.

故答案为-L

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象过原点，可得出x=2时，y=2.

三、解答题（共8题，共72分）

17、（1）当顾客消费等于1500元时买卡与不买卡花钱相等；当顾客消费大于1500元时买卡合算；（2）小张买卡合算,

能节省400元钱；（3）这台冰箱的进价是2480元.

【解析】

（1）设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等，根据花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的

8折购物，列出方程，解方程即可；根据x的值说明在什么情况下购物合算

（2）根据（1）中所求即可得出怎样购买合算，以及节省的钱数；

（3）设进价为y元，根据售价-进价=利润，则可得出方程即可.

【详解】

解：设顾客购买x元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等.

根据题意，得300+0.8x=x,

解得x=1500,

所以当顾客消费等于1500元时，买卡与不买卡花钱相等；

当顾客消费少于1500元时，300+0.8x>x不买卡合算；

当顾客消费大于1500元时，300+0.8x<x买卡合算；

（2）小张买卡合算，

3500-（300+3500x0.8）=400,

所以，小张能节省400元钱；

（3）设进价为y元，根据题意，得

（300+3500x0.8）-y=25%y,

解得y=2480

答：这台冰箱的进价是2480元.

【点睛】

此题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

18、旗杆AB的高度为6.4米.

【解析】

分析：（1）根据坡度i与坡角a之间的关系为：i=tana进行计算；

（2）根据余弦的概念求出CD,根据正切的概念求出AG、BG,计算即可.

本题解析：（1）'.•斜坡BC的坡度i=l:百，，tanNBCD=9;

DC3

/.ZBCD=30°；

⑵在RtABCD中《口=8©*（：05/8©»=66*3=9,

2

则DF=DC+CF=10（米），四边形GDFE为矩形，.•.GE=DF=10（米），

VZAEG=45°,...AG=DE=10（米），

在RtABEG中,BG=GExtanNBEG=10x0.36=3.6（米），

则AB=AG—BG=10—3.6=6.4（米）.

答：旗杆AB的高度为6.4米。

5

19、-

2

【解析】

分析：此题应先将原分式方程两边同时乘以最简公分母，则原分式方程可化为整式方程，解出即可.

详解：去分母，得%-1=3(X-2).

去括号，得1-1二31一6.

移项,得3x-x=6-l.

合并同类项，得2x=5.

系数化为1,得x=3.

2

经检验，原方程的解为％=3.

2

点睛：本题主要考查分式方程的解法.注意:解分式方程必须检验.

20、(1)证明见解析；(2)B

2

【解析】

试题分析：(1)首先连接OD,CD,由以BC为直径的。O,可得CD_LAB,又由等腰三角形ABC的底角为30。，可

得AD=BD,即可证得OD〃AC,继而可证得结论；

(2)首先根据三角函数的性质，求得BD,DE,AE的长，然后求得△BOD,AODE,△ADE以及△ABC的面积，

继而求得答案.

试题解析：(1)证明：连接OD,CD,

•；BC为。O直径，

/.ZBDC=90o,

即CD1AB,

,••△ABC是等腰三角形,

；.AD=BD,

VOB=OC,

AOD是白ABC的中位线,

/.OD/7AC,

VDE±AC,

/.OD±DE,

,.•D点在。O上,

•IDE为。O的切线;

(2)解：；NA=NB=30。，BC=4,

CD=-BC=2,BD=BC«cos30°=26，

2

：.AD=BD=2石,AB=2BD=4石，

/.SAABC=IAB«CD=；x4若x2=4也,

VDE±AC,

DE=-AD=—x2-^3=>

AE=AD*cos30°=3，

SAODE=-OD*DE=-x2x^3=5/3

SAADE=-AE«DE=-xx3=,

222

-x4y/3=^3

3A/3_V3

SAOEC=SAABC-SABOD-SAODE-SAADE=46-6-逝FT

21、(1)证明见解析(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明见解析；

【解析】

(1)在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用(SAS,ASA,SSS)来证明全等；

(2)先由菱形的性质得出AE=BE=DE,再通过角之间的关系求出N2+N3=90。即NADB=90。，所以判定四边形AGBD

是矩形.

【详解】

解：(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

.•.N4=NC,AD=CB,AB=CD.

;点E、歹分别是AB、CD的中点，

AAE=-AB,CF=-CD.

22

:.AE=CF.

在AEZ）和VCBF中，

AD=CB

<ZDAE=ZC,

AE=CF

：.ADE=CBF（SAS）.

（2）解：当四边形3EDP是菱形时，四边形AGa）是矩形.

证明：•••四边形ABC。是平行四边形,

：.AD//BC.

；AG//BD,

二四边形AGB£）是平行四边形.

•••四边形3EDP是菱形，

:.DE=BE.

■:AE=BE,

AE=BE=DE.

：.Z1=Z2,Z3=Z4.

VZ1+Z2+Z3+Z4=18O，

•••2/2+2/3=1