河南省郑州市2024届中考五模数学试题含解析

河南省郑州市桐柏一中学2024学年中考五模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为20,18,23,17,20,20,18,则这组数据的众数与

中位数分别是（）

A.18分，17分B.20分，17分C.20分，19分D.20分，20分

2.2017年5月5日国产大型客机C919首飞成功，圆了中国人的“大飞机梦”，它颜值高性能好，全长近39米，最大

载客人数168人，最大航程约5550公里.数字5550用科学记数法表示为（）

A.0.555xl04B.5.55X103C.5.55xl04D.55.5xl03

3.上体育课时，小明5次投掷实心球的成绩如下表所示，则这组数据的众数与中位数分别，是（）

数为（）

5.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）

A.Za=60°,Na的补角N0=12O。，Zp>Za

B.Za=90°,/a的补角N0=9O。，Zp=Za

C.Za=100°,Na的补角N0=8O。，Zp<Za

D.两个角互为邻补角

6.如图，已知AABC,ADCE,△FEG,AHGI是4个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,

7.如图，已知。的周长等于6万。"则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（)

C.殳叵D.27石

2

以原点为位似中心，相似比为：，把

8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（—3,6）、B（—9,一3）,OAABO

0

缩小，则点A的对应点A，的坐标是（）

A.（—1,2）

B.（—9,18）

C.（—9,18）或（9,—18）

D.（―1,2）或（1,—2）

9.6的绝对值是（）

11

A.6B.-6C.—D.-----

66

10.已知正多边形的一个外角为36。，则该正多边形的边数为（）.

A.12B.10C.8D.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.二次根式后行在实数范围内有意义，x的取值范围是

12.分解因式：x3y-2x2y+xy=.

13.函数y==，中，自变量x的取值范围是

14.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是

332121

15.对于任意非零实数a、b,定义运算“㊉”，使下列式子成立：1㊉2=-耳，2㊉In,,（-2）㊉5=正，5㊉（-2）=-y

贝！］a©b=

16.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A,B,C,O都在格点处，A5与CZ）相交于0,

则tanZBOD的值等于

17.如图，在△ABC中，ZC=120°,AB=4cm,两等圆。A与。B外切，则图中两个扇形的面积之和（即阴影部分）

为cn?（结果保留兀）.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,EF过点O,并与AD,BC分别交于点E,F,

已知AE=3,BF=5

（1）求BC的长；

（2）如果两条对角线长的和是20,求三角形AAOD的周长.

19.（5分）如图，男生楼在女生楼的左侧，两楼高度均为90m，楼间距为43,冬至日正午，太阳光线与水平面所成

的角为32.3，女生楼在男生楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7，女生楼在男

生楼墙面上的影高为ZM,已知CD=42m.

（1）求楼间距A5；

（2）若男生楼共30层，层高均为3%,请通过计算说明多少层以下会受到挡光的影响？（参考数据：sin32.3。0.53,

cos32.3。0.85,tan32.3a0.63，sin55.7a0.83，cos55.7»0.56,tan55.7《1.47)

C

男

生

楼

D

20.（8分）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一个动点（不与点AC重合），连接必过点P作/N,

交直线。C于点尸.作PELAC交直线。C于点E,连接AE,3b.

（1）由题意易知，AADC且AABC,观察图，请猜想另外两组全等的三角形/____0A；/________0A

（2）求证：四边形AEFB是平行四边形；

（3）已知AB=2挺，APEB的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

4

21.（10分）如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=1.sinZA=y,点D是BC的中点，点P是AB上一动点（不与

点B重合），延长PD至E,使DE=PD,连接EB、EC.

（1）求证；四边形PBEC是平行四边形；

（2）填空：

①当AP的值为时，四边形PBEC是矩形；

②当AP的值为时，四边形PBEC是菱形.

B

22.（10分）（2016山东省烟台市）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两

种型号的防雾霾口罩共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：

Ki料成本128

航掷小价1812

生产提成10.8

（1）若该公司五月份的销售收入为300万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？

（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本（原料总成本+

生产提成总额）不超过239万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润

（利润=销售收入-投入总成本）

23.（12分）随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的

普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下

面两个统计图.

（1）本次调查的学生共有人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是人；

（2）“非常了解”的4人有Ai,小两名男生，Bi,以两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树

状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.

24.（14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，函数=匕.〈川的图象经过点4、1,6,直线1，=a一2与x轴交于点

B（-l,0）-求左，拼的值；过第二象限的点尸危一2力作平行于x轴的直线，交直线丫=座一2于点C，交函数丫=%<0）

的图象于点D.

①当“=_】时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由;

②若PD22PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】分析：根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个;

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数.

详解：将数据重新排列为17、18、18、20、20、20、23,

所以这组数据的众数为20分、中位数为20分，

故选：D.

点睛：本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误

选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，

则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

2、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axlOn的形式，其中l$|a|＜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【题目详解】

解：5550=5.55x1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中lW|a|V10,"为整数，表示时关键

要正确确定a的值以及n的值.

3、D

【解题分析】

解：按从小到大的顺序排列小明5次投球的成绩：7.5,7.8,8.2,8.1,8.1.

其中8.1出现1次，出现次数最多，8.2排在第三，

,这组数据的众数与中位数分别是：8.1,8.2.

故选D.

【题目点拨】

本题考查众数；中位数.

4、D

【解题分析】

先利用互余计算出NFDB=28。，再根据平行线的性质得/CBD=NFDB=28。，接着根据折叠的性质得

ZFBD=ZCBD=28°,然后利用三角形外角性质计算NDFE的度数.

【题目详解】

解：•••四边形ABCD为矩形，

；.AD〃BC,ZADC=90°,

,/ZFDB=90o-ZBDC=900-62o=28°,

；AD〃BC,

.\ZCBD=ZFDB=28O,

•.,矩形ABCD沿对角线BD折叠，

/.ZFBD=ZCBD=28°,

:.ZDFE=ZFBD+ZFDB=280+28°=56°.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

5、C

【解题分析】

熟记反证法的步骤，然后进行判断即可.

解答：解：举反例应该是证明原命题不正确，即要举出不符合叙述的情况；

A、Na的补角Np>Na,符合假命题的结论，故A错误；

B、Na的补角N0=Na,符合假命题的结论，故B错误；

C、Na的补角Np<Na,与假命题结论相反，故C正确；

D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误.

故选C.

6、D

【解题分析】

21BC1

解：：/\48。、4。可、小月£；6是三个全等的等腰三角形，.177/=43=2,6/=5。=1,8/=23。=2,，一,—=一，

BI42A52

ABBCACAB

：.—=——.,/ZABI=ZABC,：./A\ABI^ACBA,:.——=—."：AB=AC,：.AI=BI=2.VZACB=ZFGE,

BIABAIBI

.QIGI114…

•tAC//FGt••—=—=—>:.QI=—A/=—.故选D.

AIa333

点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB〃CZ)〃E尸，AC〃OE〃FG是解题

的关键.

7、C

【解题分析】

过点O作OHLAB于点H,连接OA,OB,由。O的周长等于Mem,可得。。的半径，又由圆的内接多边形的性质

可得NAOB=60。，即可证明小AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可求出OH的长，根据S正大娜ABCDEF=6SAOAB

即可得出答案.

【题目详解】

过点。作OHLAB于点H,连接OA,OB,设。O的半径为r,

OO的周长等于6kcm,

:.27rr=67r,

解得：r=3,

OO的半径为3cm,即OA=3cm,

,••六边形ABCDEF是正六边形，

1

.,.ZAOB=-x360°=60°,OA=OB,

6

AOAB是等边三角形，

AB=OA=3cm,

VOH±AB,

1

/.AH=-AB,

2

AB=OA=3cm,

33巧

:.AH=—cm,OH=—AH2=-----cm,

・Q«1.3A/3_27A/3

••S正六边形ABCDEF—OAB-OX-XJX---------------------------(cm2).

222

故选C.

【题目点拨】

此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

8、D

【解题分析】

试题分析：方法一：•.,△ABO和△A，B9关于原点位似，.•.△ABOS^A，B9且-.AArE

0A3AD0D3

=』AD=2,OE=-OD=1..*.A,(-1,2).同理可得A”(1,—2).

33

方法二：,••点A(—3,6)且相似比为工，.•.点A的对应点A，的坐标是(一3x!，6x-),AA,(-1,2).

333

•.•点A”和点A，(—1,2)关于原点O对称，...A”(1,—2).

故答案选D.

考点：位似变换.

9、A

【解题分析】

试题分析：1是正数，绝对值是它本身1.故选A.

考点：绝对值.

10、B

【解题分析】

利用多边形的外角和是360。，正多边形的每个外角都是36。，即可求出答案.

【题目详解】

解：360。+36。=10,所以这个正多边形是正十边形.

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查了多边形的外角和定理.是需要识记的内容.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、x<l

【解题分析】

根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可.

【题目详解】

解：由题意得，1-迂0,

解得，x<l,

故答案为烂1.

【题目点拨】

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.

12、xy(x-1)1

【解题分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【题目详解】

解：原式=xy(x^lx+l)=xy(x-1)

故答案为：xy(x-1)1

【题目点拨】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13、x>2

【解题分析】

根据被开方式是非负数列式求解即可.

【题目详解】

依题意，得尤-220,

解得：x>2,

故答案为：x>2.

【题目点拨】

本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，

字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数

为非负数.④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义.

14、10

【解题分析】

由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE,交AC于P,连接BP,则此时PB+PE

的值最小，进而利用勾股定理求出即可.

如图，连接。E,交AC于P,连接BP,则此时P3+PE的值最小.

V四边形ABCD是正方形，

:.B、。关于AC对称，

：.PB=PD,

：.PB+PE=PD+PE=DE.

'：BE=2,AE=3>BE,

.\AE=6,AB=8f

•,.DE=762+82=10,

故PB+PE的最小值是10.

故答案为10.

ab

【解题分析】

试题分析：根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案:

3I2-22322-125y-2『

:I㊉2二——二------,2㊉1=—=------5©(-2)=-y

21x222x15x(-2)

a㊉

ab

16、3

【解题分析】

试题解析：平移CD到CTT交AB于O，，如图所示,

则NBOB=NBOD,

tanZBOD=tanZBOrDr,

设每个小正方形的边长为a,

则。国=后+(2》=&O'D，=92a>-(2a>=2&a，BD'=3a,

作BELOD于点E,

BD'D'F3a22a3而

贝n!IIBE==二==、，

OD砺2

J4：-BE：=-(峥;=孕

/a

BE~9~0

..tanBOrE=----=-三一=.：>,

O'E色

tanZBOD=3.

考点：解直角三角形.

2

17、—71・

3

【解题分析】

图中阴影部分的面积就是两个扇形的面积，圆A,B的半径为2cm,则根据扇形面积公式可得阴影面积.

【题目详解】

(ZA+ZB)^-x2260^x42/

----------乙------=----------7U(cm2).

3603603

2

故答案为一乃.

3

考点：1、扇形的面积公式；2、两圆相外切的性质.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)8;(2)1.

【解题分析】

(1)由平行四边形的性质和已知条件易证△AOE也aCOF,所以可得AE=CF=3,进而可求出BC的长；

(2)由平行四边形的性质：对角线互相平分可求出AO+OD的长，进而可求出三角形△AOD的周长.

【题目详解】

(1)I•四边形ABCD是平行四边形，

；.AD〃BC,AO=CO,

:.ZEAO=ZFCO,

在4AOE和4COF中

ZEAO=ZFCO

<AO=CO,

ZAOE=ZCOF

/.△AOE^ACOF,

/.AE=CF=3,

；.BC=BF+CF=5+3=8；

(2)•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.AO=CO,BO=DO,AD=BC=8,

VAC+BD=20,

.,.AO+BO=10,

.,.△AOD的周长=AO+BO+AD=L

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定以及全等三角形的性质，能够根据平行四边形的性质证明三角形全

等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键.

19、（1）AB的长为50机；（2）冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受

到挡光的影响.

【解题分析】

（1）如图，作CMJ_依于M,DN工PB于N.则AB=CM=DN,设A3==想办法构建方程即可

解决问题.

（2）求出AC,AD,分两种情形解决问题即可.

【题目详解】

解：（1）如图，作于M,DN工PB于N.则AB=CM=DN,设AB=CM=DN=xm.

在中，PM=xtan32.3=0.63x(m),

在Rt_PDN中,P/V=xtan55.7=1.47x(m),

CD-MN-42m,

「.1.47%-0.63%=42,

...x=50,

二.AB的长为50m.

C

男

生

楼

D

（2）由（1）可知：PM=31.5m,

：.AD=90-42-31.5=16.5(m),47=90—31.5=58.5,

16.5+3=5.5,58.5+3=19.5,

冬至日20层（包括20层）以下会受到挡光的影响，春分日6层（包括6层）以下会受到挡光的影响.

【题目点拨】

考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

20、(1)PEF,PCB,ADE,BCF.(2)见解析；(3)存在，2

【解题分析】

(1)利用正方形的性质及全等三角形的判定方法证明全等即可；

(2)由(1)可知APEF当APCB,则有所=3C,从而得到=最后利用一组对边平行且相等即可证明；

(3)由(1)可知APEF当APCB,则=从而得到APB厂是等腰直角三角形，则当尸5最短时，APBF的

面积最小，再根据AB的值求出PB的最小值即可得出答案.

【题目详解】

解：(1)四边形ABC。是正方形，

AD=DC=BC,ZACD=ZACB=45°,

,PE1AC,PB1PF,

ZEPC=ZBPF=90°，

ZEPF=ZCPB,ZPEC=NPCE=45°,

:.PE=PC,

在"EF和APCB中,

ZPEF=ZBCP

<PE=PC

ZEPF=ZCPB

"EF/APCB(ASA)

：.EF=BC=DC

.-.DE=CF

在AADE■和ABCF中，

AD=BC

<ND=ZBCF=90",

DE=CF

MDE沿2CF(SAS)

故答案为PEF,PCB,ADE,BCF；

(2)证明：由(1)可知APEPgAPCfi,

:.EF=BC,

■,AB=BC

:.AB=EF

AB//EF

四边形AEEB是平行四边形.

(3)解：存在，理由如下：

APEF^APCB

：.PF=PB

ZBPF=90°

.•.APM是等腰直角三角形，

二.尸5最短时，APB厂的面积最小，

二当。5LAC时，最短，此时P3=A3-cos45°=2j^x受=2,

2

APBF的面积最小为-x2x2=2.

2

【题目点拨】

本题主要考查全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定，掌握全等三角形的判定方法和平行四边形的判定方法是

解题的关键.

21、证明见解析；(2)①9；②12.5.

【解题分析】

(1)根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证明即可；

(2)①若四边形P3EC是矩形，则NAPC=90。，求得AP即可；

②若四边形P5EC是菱形，贝!JCP=PB,求得AP即可.

【题目详解】

•••点。是3c的中点，：.BD=CD.

•.•OE=PZ>,.•.四边形尸5EC是平行四边形；

(2)①当NAPC=90。时，四边形P5EC是矩形.

4

\'AC=1.sinZA=j,：.PC^12,由勾股定理得：449,.•.当AP的值为9时，四边形尸8EC是矩形；

4

②在AA5C中，；ZACB=90°,AC=1.sinZA=j,所以设BC=4x,AB^Sx,贝U(4x)2+l2=(5x)2,解得：x=5,：.AB^5x=2.

当PC=PB时，四边形PBEC是菱形，此时点尸为A3的中点，所以4尸=12.5,.•.当AP的值为12.5时，四边形P5EC

是菱形.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定和性质、矩形的判定，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质.

22、(1)甲型号的产品有10万只，则乙型号的产品有10万只；(2)安排甲型号产品生产15万只，乙型号产品生产5

万只，可获得最大利润91万元.

【解题分析】

(1)设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有(20-x)万只，根据销售收入为300万元可列方程18x+12(20-

x)=300,解方程即可；

(2)设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产(20-y)万只，根据公司六月份投入总成本(原料总成本+

生产提成总额)不超过239万元列出不等式，求出不等式的解集确定出y的范围，再根据利润=售价-成本列出W与

y的一次函数，根据y的范围确定出W的最大值即可.

【题目详解】

(1)设甲型号的产品有x万只，则乙型号的产品有(20-x)万只，

根据题意得：18x+12(20-x)=300,

解得：x=10,

则20-x=20-10=10,

则甲、乙两种型号的产品分别为10万只，10万只；

(2)设安排甲型号产品生产y万只，则乙型号产品生产(20-y)万只，

根据题意得:13y+8.8(20-y)<239,

解得：y<15,

根据题意得:利润W=(18-12-1)y+(12-8-0.8)(20-y)=1.8y+64,

当y=15时，W