2024届四川省攀枝花市高三年级下册第三次统一考试文科数学试题及其详细解析

文科数学

注意事项：

1.答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在条形码

区.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知全集U={M<x<6，xeN},A={2,3},3={2,4,5},则@可。叽（）

A.{4,5}B.{2,3,4,5}C.{2}D,{2,4,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由并集和补集的定义求解即可.

【详解】因为U={x[l<x<6,xeN}={2,3,4,5},A={2,3},3={2,4,5},

故gA={4,5},所以（，力uB={2,4,5}.

故选：D.

A.2&B.2C.72D.1

【答案】C

【解析】

22/~

【详解】因为币=1,所以用故选C.

【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算、复数的模的概念，复数在高考中主要以小题形式出现，属容

易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是等基础内容.

3.某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业已处理的废水进行

实时监测.对当地甲、乙两家企业20天内已处理的废水的某项指标值的检测结果如下图，则下列说法正确

的是（）

57789

6899

7999

87889

95

甲企业样本数据？・叶图乙企业样本数据频率分布直方图

A.甲企业样本数据的中位数是72

B.甲企业样本数据的平均数大于80

甲企业样本数据的众数大于乙企业样本数据的众数

D.不低于80的样本数据个数，甲企业多于乙企业

【答案】C

【解析】

【分析】求得甲企业样本数据的中位数判断A；求得甲企业样本数据的平均数判断B；求得甲乙企业样本数

据的众数判断C；求得甲乙两企业不低于80的样本数据个数判断D.

72+74

【详解】对于A：甲企业样本数据的中位数是-------=73,故A错误;

2

对于B：甲企业样本数据的平均数为:

-1

%=—(57x2+58+59+66+68x2+69x2+72+74+79x4+87+88x2+89+95)=74,

故甲企业样本数据平均数小于80,故B错误；

对于C：甲企业样本数据的众数为79,由频率分布直方图可得乙企业样本数据的众数为75,故C正确;

对于D：不低于80的样本数据个数甲企业为5个，乙企业为20x（0.02+0.005）x10=5,故D错误.

故选：C.

4.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是3

的倍数的概率为（）

12

AB.一D.-

-I343

【答案】B

【分析】利用列举法，根据古典概型概率公式即得.

【详解】从6张卡片中无放回抽取2张，共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2

4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种结果,

其中数字之和为3的倍数的有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5),共5种结果，

故抽到的2张卡片上的数字之和是3的倍数的概率为2=工.

153

故选：B.

5.函数/(£)=卜+:卜05%的部分图象大致是()

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A；由特值法可排除B；当x>0,且X趋近。时，所以/(£)>0可排除

C,即可得出答案..

【详解】/(可=、+：卜05%的定义域为3%/0},

所以〃龙)为奇函数，故A错误；

当%>0,且尤趋近0时，x+—>0,cos%>0,

X

所以/(x)>0,故C错误,

当x=2兀时，I7r+^jcos7t=-f27t+^-1<0,故B错误.

故选：D.

6.由直线y=x上的一点P向圆（X—4了+丁=4引切线，切点为Q,贝||PQ|的最小值为（）

A.72B.2C.76D.2亚

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件，求得闸=力2"=加_4,由此可知d=J备=20时，|PQ|取得最

由已知有：圆的圆心（4,0）,半径为r=2,直线的一般方程为x—y=0,

设点尸到圆心的距离为d,则有PQLCQ,所以|尸0=7[7=犷7，

所以d取最小值时，|PQ|取得最小值，

因为直线上点P到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，

所以d=^U=2夜，故I尸Q|的最小值为=J，二2.

V1+1

故选：B

7.若正项等比数列｛叫满足a“4+i=22"则数列｛4｝的前4项的和S4的值是（）

L15X/2L1-

A.1572B.C.8A/2D.60+6

4

【答案】A

【解析】

?2(n+1)

【分析】设正项等比数列｛4｝的公比为q>0,由4Mm=22"(〃eN*),可得a~a求解

4。"+12

可得4,进而可求得明，可求得数列｛%｝的前4项的和S4的值.

【详解】设正项等比数列｛%J的公比为q>0,

2n+1

an?()

n+1+2

因为anan+l=22"(“eN*),所以»=—=4=/,

anan+l2

解得4=2,所以42、2=22"(4>0),

2n-l2-1

所以。“=2亍，所以4=2三=应，

所以$4=3(1-24)=15血，

所以数列｛%,｝的前4项的和$4的值为15&.

故选：A.

8.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()

A.48+871B.48+16兀C.64+871D.64+16兀

【答案】C

【解析】

【分析】由三视图可知，该几何体是一个正方体截去两个半圆柱，结合圆柱的表面积公式计算即可求解.

【详解】由三视图可知，该几何体是一个正方体截去两个半圆柱，

其表面积为2x4?+2><271><4+2（42-22兀）=64+8兀.

故选：C

22

9.已知双曲线=-七=1(°>0/>0)的左、右焦点分别为耳(―2,0),耳(2,0),尸为双曲线上位于第二象限

ab

内的一点，点。在y轴上运动，若|为2|+|。6|-归耳|的最小值为半，则双曲线的渐近线方程为()

A.y=+yf2xB.y=+2%C.y-±VlTxD.y—±2^3%

【答案】C

【解析】

【分析】由|「。|+|。8|一|尸片闫尸《|一|尸耳|=2。，可求得。，再由左、右焦点分别为

月(-2,0),8(2,0),可求得c,进而求得力，可求双曲线的渐近线方程.

【详解】作出双曲线的示意图，如图所示：

连接尸工,因为|「。|+|。8I—|PK必尸鸟|一|尸耳|=2a,

当且仅当尸,。,马在同一直线上时取等号，

又IPQI+IQ凡I-1代1的最小值为38,

3

所以2a=冬回，所以。=立，

33

又因为双曲线的左、右焦点分别为片(-2,0),且(2,0),

10.将函数y=siMx-cos2x的图象向右平移，篦(加＞0)个单位长度后得到的图象与y=sin2x的图象关于原

点对称，则〃2的最小值是()

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知条件利用二倍角公式化简求出函数的解析式/（X）=-cos2x,根据函数的变化规律结

合诱导公式即可求得结论.

【详解】令/（DusinA-cos?%,则有/（x）=-cos2x,

设"％）向右平移m伽＞0）个单位长度后得到的函数为g（X）,

则有=-cos[2（x-m）]=-cos（2x-2m）,

根据已知条件g（x）图象与y=sin2x的图象关于原点对称，

则有g（x）=-sin（-2x）=sin2x,即-cos（2x-2m）=sin2x,

所以-2zn="1•+2E（左eZ）,解得机=—E（左eZ）,

3兀

又因为相＞0,所以当左二一1时，机取最小值为一.

4

故选：B

11.在一个圆锥中，。为圆锥的顶点，。为圆锥底面圆的圆心，P为线段的中点，A£为底面圆的直径，

ABC是底面圆的内接正三角形，A5=,给出下列结论:①BEH平面PAC；②。A，平面PBC；

③圆锥的侧面积为也兀；④三棱锥尸—ABC的内切球表面积为（2-退）兀.其中正确的结论个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据正弦定理求得圆锥的底面半径，从而求的圆锥的高，再计算出圆锥的侧面积即可判断③；采

用反证的方法可判断①；根据线面垂直的判定定理可判定平面尸5C判断②，求出三棱锥尸-ABC

的各个面的面积及体积，再利用等体积法求出内切球的半径，即可判断④.

【详解】由ABC是底面圆的内接正三角形，AB=AD=6，

AUN—7

设圆锥的底面半径为「，则可得------=2r,即也,则r=1，

sin60—

2

因为AD=y/3,故局DO=,3-1=V2，

所以圆锥的侧面积S侧=兀八4£）=6兀，故③正确；

假设5石〃平面上4C,由于BEu平面ABC,平面ABCc平面Q4C=AC,

WBEIIAC,则NB£A=NEAC,而因为AE为底面圆的直径，ZABE=90，

又/胡。=60，且/胡。=/历1石+/£4。=/84石+/5石4=90°（矛盾），故BE、AC不可能平

行，

故假设不成立，所以BE与平面PAC不平行，故①错误；

因为尸为线段。。的中点，故PA=PB=PC=、"+^=^,

V42

则上好+/=3=AB?,PA2+PC2=3^AC2，PB?+PC?=3=BC"

故，Q4B，AB4C,PBC均为直角三角形，即上4_LP5,PA1PC,

又PBcPC=P,P3,PCu平面尸5C,所以以，平面P3C,故②正确；

又SABC=^x百义百sin60=-^->SPAB=SPAC=SPBC=々乂*乂1=['

乙l"乙乙乙1"

v3DC_1V23A/3_76

V

P-ABC=[SAflc-PO=-X--X,

JJZ4o

设三棱锥尸—ABC的内切球的半径为R,则V1P-_/A1BQCL=-(\S.A/1BQCL+SlpAlxBLJ+SPrZAivC.+S1PDBl_Cx/}R,

V|_if空p瓜

即+3x-R‘解得R=D

83I447

所以三棱锥尸一ABC的内切球的表面积S=4兀A?=4兀x（2—0）兀，故④正确.

故选：C

12.已知正数。满足〃lnZ?=Z?e'=c〃，则()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】法一：由。1也=皿得c=lnA,构造函数/(x)=lnx—x(x>0),求导利用导数判断函数的单

调性求最值，进而比较b、J由或=加。两边同除以be得巴=二，构造函数g(x)=J(元>0),求导

bex

利用导数判断函数的单调性求最值，进而比较人、a,由此可比较〃，b,。的大小.法二：化c=lnb为

b=e°，作差法并构造函数Mx)=eX-M%>0),求导利用导数求出函数最值，比较b、c大小，再利用

作差法比较”、Z?大小，即可比较。，b,c的大小.

【详解】法一：

由alnZ?=ca得c=lnb,令/(x)=lnx-x(x>0),则尸(力=1^,

当x«O,l)时,明勾>0,"%)在(0,1)上单调递增，

当xe(l,y)时，/'(力<0,7(%)在(1,+8)上单调递减，

所以/^("=/(1)=一1，所以/(x)K—1在(0,+“)上恒成立，

所以/。)<0,即lnb<b,所以c=ln/?<b,所以/7>c；

zycx

由ca=加。两边同除以A得9二e上，令g(x)=e

bex

则g，⑺=:(：T)(%〉0),所以g⑺2e在(0,+功上恒成立,

当xw(O,l)时,g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减，

当龙G(l,+30)时，g'(X)>0,g(X)在(1,+8)上单调递增，

所以gmin(%)=g⑴=e，所以g(x)2e在(0,+O0)上恒成立,

cc

所以g(c)>l,即J〉l,所以q='〉lna〉6,从而a>b>c.

cbc

法二：

由alnZ?=c〃得c=lnb,即b=e°，所以Z?-c=e0-c

令/z(x)=0),”(x)=e*-l(x>0),

当X£(0,+00)时，/ir(x)>0,/z(x)在(0,+8)单调递增,

所以/?(%)>/z(0)=0,所以/z(c)=e'—c>0,

则有Z?—c=e‘一c>0=>Z?>c;

Q2C

由bec=ca得e°•e°=ca，即a=——

c

因为e0>0，c>0,ec-c>0>所以a-b>0,即。>b

故a>"c.

故选：A

【点睛】方法点睛：比较大小时，可根据数值构造函数，利用函数的单调性，最值比较大小.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x+y-4<0

13.已知实数x,y满足约束条件X—y20,则z=x+2y的最大值为.

y>0

【答案】6

【解析】

x+y-4<0

【分析】作出实数x,y满足约束条件,-丁30对应的平面区域，然后数形结合即得.

y>0

"x+y—4«0

【详解】作出实数尤，y满足约束条件丁20对应的平面区域如图所示：

y>0

,„1z

由z=x+2y,侍>=x-\—,

22

|71Z

平移直线y=—QX+由图象可知当直线y=—QX+万经过点A时,

1z

直线y=--x+—的截距最大，此时z最大.

22

x+y-4=0

由＜，得A（2,2）,

x-y=Q

此时z的最大值为z=2+2x2=6,

故答案为：6.

14,等差数列｛%｝的前几项和为=7,&=7。2,则。6=-

【答案】13

【解析】

【分析】由等差数列的前几项和和等差中项的性质求出公差，再由等差数列的通项求出最后结果即可.

【详解】因为｛4｝为等差数列，

所以S5="%；生）_5a3=7出,

所以g=5,

所以d—CI3—=2,

所以R=%+32=7+6=13,

故答案为：13.

15.已知平面向量a=（sinacosd）为=（3,1）,若。//。，贝Ucos，cos［，-；］=.

【答案】正##'行

55

【解析】

【分析】由平行向量的坐标表示可得tan6=3,再由两角差的余弦公式和同角三角函数的商数关系求解即

可.

【详解】因为平面向量a=（sinacosd）为=（3,1）,若

所以sing-3cos6=0,所以tan6=3,

ffj-VXcos0cos［0-^-\=cos6^^cose+g^sin。

I4；I22J

cos28+cosOsin。、®l+tane、_0n+3、_02_VI

VU+tan^J-VLi+9j-VX5

cos2+sin20,

故<答案为：立

5

16.已知椭圆。：=+与=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为耳、鸟，点在。上，且

ab

FXF2=3MN,FXMLF2N,则椭圆。的离心率为.

【答案】石-行##-五+君

【解析】

【分析】延长耳M,^N交于点B,由题意可求出三,曰］,因为点M在C上，代入椭圆的方程，化简

即可得出答案.

【详解】延长耳M,gN交于点B,因为片鸟=3儿W,所以|NAf|=g,

所以点8在y轴上，因为耳所以△8心心为等腰直角三角形，

JT

所以NM1P=—,过点M作MP，耳心交片工于点尸，

4

所以画=府='，所以三审；因为点M在C上，

C24c2C24c2

所以J+竺y=l,即4+=9,

9a29b2a2a2-c2

2

则。2（片-c2^+4a2c2=9«a2—c2

BP14«2C2-C4-9«4=0，即e‘一14e2+9=0,

所以J=*-=7土2A/I3，因为0<e<l,所以/=7—2JH，

所以e=y/5—y/2,■

故答案为：J?-行.

M/\\N

kFXP\oF2）X

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每

个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（―）必考题：共60分.

17.随着互联网的普及和数字化技术的发展，网络直播成为了一种新型的营销形式，因其更低的营销成本,

更快捷的营销覆盖而深受商家青睐.某电商统计了最近5个月某商品的网络直播线上月销售量y（单位：千

件）与售价%（单位：元/件）的情况如下表所示.

售价X（元/件）5349515047

月销售量y（千件）597109

（1）求相关系数小并说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当川6[0.75,1]时，可以认为两

个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；

（2）建立V关于*的线性回归方程，并估计当售价为52元/件时，该商品的线上月销售量为多少千件？

一（七一元）（%-9）

参考公式：对于一组数据（%y）（i=l,2,3,…,〃），相关系数/―1---------------1---------------，其回归直线

1

y=bx+a\的斜率和截距的最小二乘估计分别为:b='n,a=ybx.

£a-元『

Z=1

515J，yT）2=4，&"2.236.

参考数据：=1986年（七一向一=275,

i=lVi=l

【答案】（1）r=-0.78,可以

（2）6.6千件

【解析】

5

【分析】（1）由表中数据易计算得到；,7,再利用相关系数公式r=|$汩|5，等价转化

Jx,.y,,-5xy

i=l

,从而代入已知数据可计算得到相关系数，然后通过题目中给的条件来

vi=lVz=l

判定相关性的强弱，来决定是否用线性回归模型拟合.

5

Z&-元）（x7）

（2）直接使用斜率和截距的最小二乘估计公式6=上J-------------和a=y-加，来进行计算求出线性

可之

1=1

回归方程，当x=52时，代入线性回归方程，计算得出月销售量的估计值.

【小问1详解】

53+49+51+50+47“―5+9+7+10+9

由已知得x==50,y=-------------------=8.

5

55_

Z（%—可5-歹）砂

则相关系数r="TI5=I5TI5

卧-于四3一寸a一寸出3一百

1986—5x50x8_-14___7__7

2后4—86一4百一4x2.236

因为上|>0.75,所以y与x有很强的线性相关性，可以用线性回归模型拟合.

【小问2详解】

55

1为「可（”歹）］9厂5双1986-5x50x8-14

由干人二—-----------------二—............=-----------------=-----二-

出丁55/f—\2”

2（"才：£（玉-叶仅⑹20

1=11=1

a=y—左=8-（-0.7）x50=43,

所以y关于x的线性回归方程为y=_Q.7x+43，

当x=52时，^=-0.7x52+43=6.6，

故当售价为x=52元/件时，该商品的线上月销售量估计为6.6千件.

同c

18.请在①2。—6=200053,②-----=tanC+tanB，③6sin（A+3）=3-2cos2—三个条件中选择

ccosB2

一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

ABC的内角A,3,C所对的边分别是a,b,c,已知.

（1）求角C；

（2）若6=4,点£>在边A3上，CD为NACB的平分线，△CDB的面积为区3,求边长。的值.

3

【答案】（1）答案见解析；

（2）a=2.

【解析】

【分析】（1）选①，利用余弦定理求解即得；选②，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求解即得；选③，

利用诱导公式及二倍角公式，结合辅助角公式计算即得.

（2）利用三角形面积公式建立方程求解即得.

【小问1详解】

/,22

选①，由2a—Z?=2ccos3及余弦定理，得2a-6=2c---------------,

2ac

2.7221

整理得片+从一°2=曲，则cosC="一°」，

2ab2

而Ce（O,兀），所以C=g.

选②由Vlu=tanC+tan3及正弦定理，得卫则_=2叫+反叫，

ccosBsinCcosBcosCcosB

岳inA=%CB+g=sinA,而sinA>0,cos於0,贝

sinCcosBcosCcosBcosCcosBsinCcosC

即tanC=百，又Ce（O,兀），所以C=g.

c

选③，由Gsin（A+3）=3—Zcos?',得瓜诂。=2—cosC，即石sinC+cosC=2，

于是2sin（C+'）=2,即sin（C+至）=1,而Ce（0,兀）,。+工e（二,独），

66666

所以。+巴=/，即。=q.

623

【小问2详解】

在一ABC中，由点。在边AB上，CD为/ACB的平分线，得=5AAe0+S/c。，

即LabsinP=La-CDsin^+LA-C£>sinP,则工心CD+CD=吗，

2326264

又S&cDB='a.CD=空,联立消去。>得4——g=0,

△CDB4333

而a>0,解得a=2,所以边长a=2.

19.如图，直三棱柱ABC-A^IG中，A5=BC,点M在线段4。上，且点M为&A&G的重心,

AXC±AM.

A

（1）证明：Ac1ABi；

（2）若C4=A5=6,求三棱锥用—A3M的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵3娓

【解析】

【分析】（1）推导出与。人4G，与。，AA,从而得到4。，面ACC4,进而得到与A。，再结

合题干条件，可证出4。，面AA。，由此得证所需结果；

（2）根据等体积法可知LLABM=%.A期，又因为M在AC上的三等分点的位置，根据相似关系可知三棱

锥M-ABB,的高是三棱锥C-ABB,高的;，通过求三棱锥C-ABB,的体积，可得三棱锥M-ABB,的体

积，即为所求几何体体积.

【小问1详解】

证明：延长40交AG于点。，连结与。，

点、M为A&G的重心，•••£＞为AG的中点，

由BA=BC得B]D人AG，

直三棱柱ABC-4与。1中，A&J_平面44，

A4jnAG=A，AGu平面AjCjCA,

B[D1平面AjQCA,又•.•ACu平面AG。4，

.,.BQ±4。，

又AC_LAD,ADc4£>=£）,且AD、耳。（=平面4与。,

.•.AC,平面AB]。，又；Agu平面AB1。，

.-.ABX1*.

小问2详解】

解：由△AC"sA，41=*nAC2=cM.,

ZvliCc4i又CM=2AM,

21421C.^i

即6舷4^=36,%=几，故01=24=2^,

所以朋=y/CA^-AC2=7（376）2-62=30，

则匕ABM^VMABB=~VCABB~SAABB-h~XABXBB,X—■AB346

bI一/\D1VLIVL-/\DDy3C<—ADD^/\/\f>r>11g1

故三棱锥B「ABM的体积为3指.

20.已知抛物线。：/=20；5〉0）上一点。到焦点产的距离为2,点Q到y轴的距离为

（1）求抛物线C的方程；

（2）过尸的直线交抛物线。于A3两点，过点B作X轴的垂线交直线AO（。是坐标原点）于。，过A

GD

作直线。尸的垂线与抛物线C的另一交点为E,直线BD与AE交于点G.求的取值范围.

GB

【答案】（1）£=2〉

⑵（1,2）

【解析】

【分析】（1）设。（%,%），由题可得＜"可二2,代入抛物线方程解得：上1,从而得到抛物线方程;

闯=岛

,1

（2）设直线AB：y=kx+^,设A（%，X）,5（X2，%），联立，y=KX+—

2,可得玉+%2=2左，七％2=-1，

X?=2y

进而可得,且年=%，结合条件可得"=2%+%+1,从而得到

。，，3

幽=%%.11，进而即得.

\GB\%+%+12%+1

【小问1详解】

%+日=2丫一2—"

为2,

设。（1，%），则有,L即《

闻=岛闯=①

则有=2p\2-^\^p2-p=Q,解得p=l或2=0（舍）.

，抛物线。的方程为好=2y

【小问2详解】

设直线AB：y二丘+；,设A（石,％）,5（入2。2），

x2一2区一1二0，

・・X]+X2=2左，%]%2=—1.

M%

直线Q4：y=—x=—x,

玉2

因为。尸，AE，所以七E=X2

即直线AE：y-yt=x2(x-xl).

为=2%+%+L

c3

...+

GB\%+%+1

23

.|GD而i+24y；+6%+2]11

"\GBJ_+y+i4y；+4%+l2y1+T

A十%十,

4%

2%+le(l,+8),则7^=1+

(jrZ)Zyi+1

GD/、

所以r的取值范围为(1,2).

Gn

21.已知函数〃%)=lnx+@-1(〃£R).

(1)当。=2时，求函数/(%)在x=l处的切线方程；

⑵设函数/(%)的导函数为/''(%),若/'(石)=/'(42)(工户》2)，证明：/(^)+/(^2)+—>1.

【答案】(1)y=-x+2

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)先由解析式求/。)，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式求切线方程；

(2)由/'(%)=/'(%2)可得a—+—=1，由此证明/(xj+/(x2)>ln(4a2)_i,设

\X1X2J

g(a)=ln(W)+--2,利用导数证明g(a"O,由此证明结论.

【小问1详解】

2

当4=2时，/(x)=ln%+——1,则/⑴=1.

而/‘(x)ms，所以<'⑴=-L

所以在尤=1处的切线方程为y—1=—(%—1),即y=-x+2.

【小问2详解】

因为'且/'(内)=/'(/)(%W%)

4]-4/1人？

1a1a11aa

所以-----2=-----T，所以------=—----2=CL

再再入2%2石%2%九2

因为石w犬2，Xj>0,x2>0,

(11、

所以a—I----1=>。>0.

(石Xl)

aia

所以/(%)+/(々)=1%H--------F111%2-I-------2=ln(x1x2)-l.

所以再%>4片,

所以/(%)+/(%2)=皿％尤2)-1>1口(4。2)-1.

设g(a)=ln(4/)+，_2=21na+，+21n2—2.

r【f(\212Q_1

则g(«)=----Q=——•

aaa

当时，g'(a)<0,g(a)单调递减；

当时,

aeg+sg'(a)>0,g(a)单调递增.

所以当a=5时，g(a)min=g0.

所以ln(44)+4—220,

所以In（4a~）—1H—21,即/（xj+f—>1.

【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：

（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；

（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；

（3）适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；

（4）构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.如图，在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，极轴所在的直线为x轴，建立极坐标系，曲线

G是经过极点且圆心C|在极轴上，半径为1的圆；曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为

Q=l-sine(ee[0,27r]).

（1）求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线C2交点（异于。点）的极径;

71

X=tCOS—

6

(2)曲线的参数方程为《（为参数），若曲线