考研数学三(无穷级数)模拟试卷17(题后含答案及解析)

考研数学三(无穷级数)模拟试卷17(题后含答案及解析)

题型有：1.选择题2.填空题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设级数收敛，则下列选项必为收敛级数的为()

A.

B.un2

C.(u2n-1一u2n)。

D.(un+un+l)o

正确答案：D

解析：因为级数un收敛，而un+1与un只差一项，故un+1收敛，再由收

敛级数的和仍收敛可知，级数(un+un+1)收敛，故选D。知识模块：无穷级数

2.如果级数an和bn都发散，则()

A.(an-bn)必发散。

B.anbn必发散。

C.(an+|bn|)必发散。

D.(|an|+|bn|)必发散。

正确答案：D

解析：由于an发散,则|an|发散，而|an|W|an|+|bn|),故(|an|+|bn|)必发散，故

选D。知识模块：无穷级数

3.已知级数an收敛，则下列级数中必收敛的是()

A.

B.an2

C.(a2n-1--1--a2n)。

D.(an+an+k),k为正整数。

正确答案：D

解析：由于(an+an+k)=an+an+k,而级数an+k为原级数an去掉了前k项，因

此也收敛，故(an+an+k)必收敛，故选D。知识模块：无穷级数

4.设an>O(n=l,2,…)，且an>收敛，常数入©(0,),则级数()

A.绝对收敛。

B.条件收敛。

C.发散。

D.敛散性与人有关。

正确答案：A

解析：利用比较法。因为=入>0,而由正项级数an收敛可知，a2n收敛，再由

比较法的极限形式知，原级数绝对收敛，故选A。知识模块：无穷级数

5.下列命题成立的是（）

A.若=0,则bn收敛时，an收敛。

B.=8,则an发散时，bn发散。

C.若=1,则中至少有一个发散。

D.若=0,则中至少有一个收敛。

正确答案：C

解析：由于anbn=l,则an=0和bn=0中至少有一个不成立，则级数中至少有

一个发散，故选C。知识模块：无穷级数

6.设OWanV。（n=l,2,…），则下列级数中一定收敛的是（）

A.

B.

C.

D.

正确答案：D

解析：由OWan<可知，0Wan2<,而由收敛及正项级数的比较判别法知，

级数an2收敛，从而（一l）nan2绝对收敛，故选D。知识模块：无穷级数

7.级数（a>0,B>0）的敛散性（）

A.仅与B取值有关。

B.仅与a取值有关。

C.与a和B的取值都有关。

D.与a和B的取值都无关。

正确答案：C

解析：由于⑴当01时，级数收敛。（3）当0=1时，原级数为，当a>l时收

敛，当aW1时发散，故选C。知识模块：无穷级数

8.设常数入>0,且级数an2收敛，则级数（）

A.发散。

B.条件收敛。

C.绝对收敛。

D.敛散性与人有关。

正确答案：C

解析：取an=,显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对

收敛，故选c。知识模块：无穷级数

设-2

9.-，…，则下列命题正确的是()

若pn

A.an条件收敛,则都收敛。

若

B.an绝对收敛,则都收敛。

若

条件收敛,

C.若an则敛散性都不定。

D.an绝对收敛,则敛散性都不定。

正确答案：B

解析：若an绝对收敛，即|an|收敛，由级数绝对收敛的性质知an收敛。而

pn=,再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B。知识模块：无穷级数

10.an和bn符合下列哪一个条件可由an发散得出bn发散?()

A.anWbn。

B.|an|Wbn。

C.anW|bn|。

D.|an|W|bn|。

正确答案：B

解析：反证法。如果bn收敛，由|an|Wbn知，|an畋敛，从而an收敛与题设

矛盾，故选B。知识模块：无穷级数

11.若级数an收敛，bn发散，则()

A.anbn必发散。

B.an2必收敛。

C.bn2必发散。

D.(an+|bn|)必发散。

正确答案：D

解析：由bn发散可知，|bn|必发散，而an收敛，则(an+|bn|)必发散，故选D。

知识模块：无穷级数

12.如果级数(an+bn)收敛，则级数()

A.都收敛。

B.都发散。

C.敛散性不同。

D.同时收敛或同时发散。

正确答案：D

解析：由于an=(an+bn)—bn,且(an+bn)收敛，当bn收敛时，an必收敛；而

当bn发散时，an必发散，故选D。知识模块：无穷级数

13.设a是常数，则级数()

A.绝对收敛。

B.条件收敛。

C.发散。

D.敛散性与口的取值有关。

正确答案：c

解析：由于收敛，则收敛，但发散，则发散，故选Co知识模块：无穷级

数

14.设(a2n-l+a2n)收敛，则()

A.an收敛。

B.an发散。

C.an=0o

D.当an>0时an必收敛。

正确答案：D

解析：当an>0时，级数[*](a2n-l+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其

部分和数列[*]=(al+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-l+a2n)有上界，从而可知正项级数[*]an

的部分和数列Sn=al+[*]a2+…+an有上界，则级数[*]an必收敛，故选D。知识

模块：无穷级数

15.已知（一l）n-lan=2,a2n-l=5,则an等于（）

A.3o

B.7o

C.8o

D.9o

正确答案：c

解析：(一l)n-lan=2X5—2=8,故选C。知识模块：无穷级数

16.正项级数an收敛是级数an2收敛的()

A.充要条件。

B.充分条件。

C.必要条件。

D.既非充分条件，又非必要条件。

正确答案：B

解析：由于正项级数an收敛，则an=0o当n充分大时0Wan2Wan,从而ana2

收敛。但an2收敛时，an不一定收敛，如an=。因此，正项级数an收敛是级数

an2收敛的充分条件，故选B。知识模块：无穷级数

17.设un=(—l)nln(l+),则()

A.都收敛。

B.都发散。

C.un收敛而un2发散。

D.un发散而un2收敛。

正确答案：C

解析：是一个交错级数，而ln(l+)单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级

数un收敛。而ln2(当n-8),发散，则发散，故选c。知识模块：无穷级数

18.设募级数anxn与bnxn的收敛半径分别为，则幕级数的收敛半径为

()

A.5o

B.o

C.O

D.o

正确答案：A

解析：设极限都存在，则由题设条件可知Ra=于是基级数的收敛半径为

R==5,故选A。知识模块：无穷级数

填空题

19.若数列｛an｝收敛，则级数(an+1—an)。

正确答案：收敛

解析：由题干知，级数(an+1—an)的部分和数列为Sn=(a2一al)+(a3-a2)+…

+(an+l—an)=an+l—al,因为数列｛an｝收敛,所以｛Sn｝收敛。因此，级数(an+1

一an)收敛。知识模块：无穷级数

20.设al=l,=2021,则级数(an+1—an)的和为。

正确答案：2020

解析：级数(an+1—an)的部分和数列为Sn=(a2-al)+(a3—a2)+…+(an+l

一an)=an+l—al=an+l—1。则一1=2021—1=2020。知识模块：无穷级数

21.若数歹U(al+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-l+a2n)+…发散，贝I级数

ano

正确答案：发散

解析：根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设an收敛，则

级数(al+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-l+a2n)+…收敛，与题设矛盾，故an发散。知识

模块：无穷级数

22.募级数的收敛半径R=。

正确答案：V3

解析：首先设an=,则当满足条件的收敛域为o

正确答案：[一1,1)

解析：因为=1,则收敛半径R=l。当x=-l时，原级数为收敛；当x=l时，

原级数为发散。因此收敛域为[一1,1)。知识模块：无穷级数

24.募级数的收敛域为。

正确答案：[4,6)

解析：易级数的系数为An=.则有因此，累级数的收敛半径为R=l,其收敛

区间为(4,6)o当x=4时，原级数为收敛；当x=6时，原级数为发散，故累级数

的收敛域是[4,6)o知识模块：无穷级数

25.无穷级数的收敛区间为o

正确答案：(一J2,V2)

解析：在原级数中令=t,原级数可化为，只需讨论的收敛半径和收敛区间即

可。对于级数，由于因此，的收敛半径为1,收敛区间为(一bl)o由于=t,t

G(0,1)所以x=±J2t,即原级数的收敛区间为(一J2,V2)o知识模块：无穷

级数

26.募级数的收敛半径R=。

正确答案：

解析：设an=,则当满足条件=2x2<l时，即|x|<该哥级数是收敛的。因此,

易级数的收敛半径是知识模块：无穷级数

27.无穷级数的收敛区间为0

正确答案：

解析：募级数的系数为an=(l+)n2则因此，募级数xn的收敛半径为，收敛

区间为。知识模块：无穷级数

28.设累级数anxn的收敛半径为3,则易级数nan(x-l)n+l的收敛区间

为。

正确答案：(一2,4)

解析：根据哥级数的性质对原基级数逐项求导后，得，其收敛半径不变，因

此有nan(x一l)n+l=(x一l)2nan(x一l)n-L其收敛区间为|x—l|an(x+2)n

在x=0处收敛,在x=-4处发散，则募级数an(x―3)n