2022-2023学年福建省厦门某中学高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）定义F^\=ad-be,已知数列｛斯｝为等比数列，且a3=l,g68=0,则w=（）

ica\oa8

A.4B.±4C.8D.±8

2.（5分）已知产为抛物线C：;/=4x的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2,则|”|=（）

A.3B.4C.5D.6

3.（5分）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行

心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B,C,。三所高中各至少需要1名心理学教授，则不

同的分配方案有（）

A.150种B.540种C.900种D.1440种

4.（5分）3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播

等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买

了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格

灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004,不

合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4,若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%,现一顾客在

该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（）

A.0.103B.0.301C.0.897D.0.699

5.（5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变

量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量y〜B（“，P）,当

〃充分大时，二项随机变量y可以由正态随机变量x来近似，且正态随机变量x的期望和方差与二项随

机变量y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了p=%的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p

进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60

次的概率为（）

（附：若X〜N卬，O2）,贝！|尸⑺-。WXWu+。）心0.6827,尸⑺-2。WXW（i+2。）20.9545,P

（厂3。WXWu+3o）^0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

6.（5分）已知菱形ABC。的边长为3,对角线长为5,将△A3。沿着对角线2。翻折至△A5D,使得

线段AC长为3,则异面直线与。所成角的余弦值为（）

7.（5分）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取

得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则。（X）的最大值是（）

X012

Pab1

9

8.（5分）若实数无，y满足4/«%+2/"1三/+4,-4,则（）

A.久y=¥B.x+y=y[2C.x+y=l+V2D.x3y=l

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

（多选）9.（5分）总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它

反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了

了解中国人均G。1（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，

采用2012〜2022近十年来的数据（方,v，zD（i=l,2,10）绘制了散点图，并得到经验回归方

程z=7.54+0.33x,y=2.88-0.41x,对应的决定系数分别为形，形，则（）

2012年2016年2018年2022年12

1

时

11/

11

10匹

1时

.01

1他

1.8

./6福

职

1

1

0於

07

2t

1般

1

B

1

1.0

68

人均GDP/万元

A.人均GDP和女性平均受教育年限正相关

B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关

C.量V形

D.未来三年总和生育率将继续降低

(多选)10.(5分)已知函数/(x)=(?-3)",xER,贝U()

A.函数尤）有且只有2个零点

B.函数/（无）的递减区间为（-3,1）

C.函数/（尤）存在最大值和最小值

D.若方程/（x）="有三个实数解，则ae（-2e,6e'3）

（多选）H.（5分）已知圆C：（x-a）2+（j-e0）2=1,则（）

A.存在两个不同的m使得圆C经过坐标原点

B.存在两个不同的a,使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等

C.存在唯一的a,使得圆C的面积被直线y=e尤平分

D.存在三个不同的m使得圆C与x轴或y轴相切

（多选）12.（5分）如图，正方体ABC。-A向C1P中，M为线段CC1上的动点，AA/_L平面a,则（）

A.直线与平面a所成角的正弦值范围为［字，孝］

MCI-

B.已知N为。。1中点，当AM+MN的和最小时，—=2-V2

C.点M为CQ的中点时，若平面a经过点8,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.点〃与点Ci重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）（1+x）i0-（1-%）9展开式中/的系数为.

14.（5分）从0,1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A,B,则方程At+2y=0

所表示的不同直线共有条.

x2y2

15.（5分）过双曲线>-匕=l（a>0,b>0）的右焦点/作其中一条渐近线的垂线，垂足为。，直线

与双曲线的左、右两支分别交于点N,若|MQ=3|QW，则双曲线的离心率是.

16.（5分）正方形A8CO位于平面直角坐标系上，其中A（1,1）,B（-1,1）,C（-1,-1）,D（1,

-1）.考虑对这个正方形执行下面三种变换：（DL逆时针旋转90°.（2）R；顺时针旋转90°.（3）

S：关于原点对称.上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A,B,C,。四个点所在的位置会发

生变化.例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从（1,1）移动到（1,-1）,然后再作一次变换S

之后，A移动到(-1,1).对原来的正方形按。2,以的顺序作人次变换记为4142…延，其中山日工，

R,S｝,i=l,2,k.如果经过上次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变

换是k-恒等变换.例如，RRS是一个3-恒等变换.则3-恒等变换共种；对于正整数n,n

-恒等变换共种.

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

n

17.(10分)数列｛斯｝满足ai=2,an+i=Xan+2(〃€N*),人为常数.

(1)是否存在实数入，使得数列｛加｝成为等比数列，若存在，找出所有的入，及对应的通项公式；若不

存在，说明理由；

(2)当人=2时,记为=抑求数列｛加｝的前〃项和.

18.(12分)下表是某单位在2023年1〜5月份用水量(单位：百吨)的一组数据：

月份X12345

用水量y2.5344.55.2

(1)从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7(单位：百吨)的概率；

(2)若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05,视为“预测可靠”，那么由该单

位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由.

参考公式：对于一组数据(％1,yi),(及，”)，…，(xn,如)，其回归直线y=匕％+。的斜率和截距的

口।一斗八一八加外；(x-x)(y-y)x-nxy-_

取小一乘估计公式分别为：b=――---;---------2----i--y---------，a=y-bx.

第1gr)Va_位2

19.(12分)如图所示，在三棱柱4BC-A1B1C中，底面△A8C是正三角形，侧面AA1C1C是菱形，点4

在平面ABC的射影为线段AC的中点。，过点Bi,B,。的平面a与棱4cl交于点E.

(1)证明：四边形881匹是矩形；

(2)求平面A3B1和平面23匹夹角的余弦值.

20.(12分)已知点(1,5)在椭圆氏—+—=l(a>h>0)±,且E的离心率为二.

(1)求E的方程；

(2)设尸为椭圆E的右焦点，点、P(m,”)是E上的任意一点，直线尸尸与直线3mx+4町=0相交于

点Q求|尸。|的值.

21.(12分)某种疾病可分为I、II两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患

该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患I型病的人数占男性病人的女性患I型病

6

的人数占女性病人的土

(1)若依据小概率值a=0.005的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至

少有多少人？

(2)某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多排2个接种

周期进行试验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p(O<p<l),每人每次接种花费机(加

>0)元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体测终止本接种周期进入第二个接种周

期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，

否则依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体概率为q每人每次花

费〃(«>0)元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，

则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期、假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相

互独立.当n=p=q时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研

发的决策是正确的.

参考公式：K2=…图篇(b+d)(其中〃=a+b+c+d为样本容量)

参考数据：已知函数

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.89710.828

22.,(12分)已知函数/(x)=x^+klnx(kER),f(x)为/(%)的导函数.

Q

(1)当女=6时，求函数g(%)=/(%)-//(%)+1的单调区间和极值；

”也、工升/工*的u「1口、.」(巧)+」(第2)、/，1)一/，2)

(2)当左三3时，求证：对任息的％1,X2G[L+8),且有>

2%1-%2

2022-2023学年福建省厦门一中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.（5分）定义『h\=ad-bc,已知数列｛斯｝为等比数列，且43=1,器8=0,则°7=（）

lcOCLQ

A.4B.+4C.8D.±8

【解答】解：数列｛斯｝为等比数列，且。3=1,1=0,

|o。8

所以-8X8=0,

所以〃6・〃8=64,

则617=±8,

因为。7与〃3符号一致，

故€17=8.

故选：C.

2.（5分）已知P为抛物线C：y2=4x的焦点，A为c上的一点，A尸中点的横坐标为2,则|4川=（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：由题意得：F（1,0）,准线方程为尤=-1,

设A（加，〃），则A尸中点的横坐标为一--,

故"F=2'解得：机=3，

由抛物线的焦半径可知：|AF|=3+1=4.

故选：B.

3.（5分）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行

心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B,C,。三所高中各至少需要1名心理学教授，则不

同的分配方案有（）

A.150种B.540种C.900种D.1440种

【解答】解：先从6名教授中任选1名教授到A高中，有程=6种不同的方法,

再将其余5名教授分配到2,C,。三所高中，可分两类:

①8,C,。三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有=90种方

掰

法;

②B,C,。三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有•若=60种不同

掰

的方法,

不同的分配方案共有6X（90+60）=900种.

故选：C.

4.（5分）3月15日是国际消费者权益日.中央电视台特地推出3.15公益晚会，曝光了食品、医美、直播

等多领域乱象，在很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识.一名市民在某商店买

了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话.通过调查，发现该商店将一些不合格

灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客.假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004,不

合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为04若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%,现一顾客在

该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（）

A.0.103B.0.301C.0.897D.0.699

【解答】解：由全概率公式，可得任取一零件，它是合格品的概率为（1-0.4）X25%+（1-0.004）X

75%=0.897.

故选：C.

5.（5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变

量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量y〜B（小P）,当

〃充分大时，二项随机变量丫可以由正态随机变量x来近似，且正态随机变量x的期望和方差与二项随

机变量Y的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了p=：的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的0

进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60

次的概率为（）

（附：若X〜N⑺，。2）,贝!|尸（四-。WXWu+。）心0.6827,尸（口-2。WXWR+2。）^0.9545,P

（H-3。WXWp_+3o）^0.9973）

A.0.1587B.0.0228C.0.0027D.0.0014

【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，

设硬币正面向上次数为X,

1

则X〜5（100,-）,

2

111

故E（X）=np=100x^=50,D（X）=np（1-7?）=100x*x（1-皮）=25,

由题意可得，X~N（|i,。2）,且|1=石（X）=50,。2=。（X）=25,

'：P（-2。WXWu+2。）勺0.9545,

.,.用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P（X>60）=P（X>50+2X5）=

1-0,9545

-0.0228.

2

故选：B.

6.（5分）已知菱形ABCD的边长为3,对角线BD长为5,将沿着对角线BD翻折至△48。，使得

线段A'C长为3,则异面直线A'B与CD所成角的余弦值为()

3V548

A.一B.—C.一D.—

4499

【解答】解：如图，因为A'C=A'D=CD=3,

—TT—>—>—>—>—>—»

所以24c-CD=(A'C+CD?-A'C2-CD2=A'D2-A'C2-CD2=-9,

因为C8=CO=3,BD=5,

—>—>—>—>—>T

所以2cB-CD=CB2+CD2-(CB-CD)2=CB2+CD2-DB2=9+9-25=-7,

所以Z/B,CD={A'C+CB),CD=A(,CD+CB,CD=-尹3=-8,

TT8

Fin/xTLvA'B,CD—8-

即cos〈/B,CD)=—=>----——=Q9

\A'B\ACD\

O

所以异面直线A8与。所成角的余弦值为3

故选：D.

7.（5分）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取

得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则。（X）的最大值是（）

X012

pab1

9

3241747

A.——B.-C.——D.——

8193681

24

8/

9E(

X9J_-

【解答】解：由已知得a+bJX)9

所以。(X)=E(X2)-[E(X)]2

=的+$一(b+1)2=-32+奈

又因为56(0/各，所以b—.时'D(X)min—

故选：C.

8.(5分)若实数x,y满足4/〃x+2/〃y，W+4y-4,则()

12

A.xy=B.x+y=V2C.x+y=l+V2D.x3y=l

【解答】解：,.•4/〃x+2/〃y2x2+4y-4(x>0,y>0),

•\2[ln(x2)+/〃y]2/+4y-4,

BPIn(/)+lny>^x2+2y-2,

ln[(—%2)*(2y)]>^x2+2y-2,

设b=2y(«>0,Z?>0),

贝U有lnab^a+b-2,

BPlna+lnb^a+b-2,

•.Ina-tz+l+^Inb-b+1)20,

令g(%)=lnx-x+1,

则g'(X)=^-i=F，

・••当xW(0,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当xW(L+°°)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

・・g(X)max=§(1)=0，

要使g(。)+g(b)20成立，

只有当〃=/?=1时即g(a)=g(/?)=0时才满足，

.,.x=V2,y=5,经检验选项A符合题意.

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

(多选)9.(5分)总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和.它

反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数.为了

了解中国人均GDPx(单位：万元)和总和生育率y以及女性平均受教育年限z(单位：年)的关系，

采用2012~2022近十年来的数据(xi,yi,z,')(z=l,2,10)绘制了散点图，并得到经验回归方

程z=7.54+0.33X,y=2.88-0.41x,对应的决定系数分别为或，形，则()

2012年2016年2018年2022年

1

1

.^0

.8

1

1.s/6

1

1s

.2

.0

1

1

1

1

O

68

人均GDP/万元

A.人均GOP和女性平均受教育年限正相关

B.女性平均受教育年限和总和生育率负相关

C.R1<Rl

D.未来三年总和生育率将继续降低

【解答】解：由回归方程z=7.54+0.33%可知，人均GOP和女性平均受教育年限正相关，故A正确;

因为z=7.54+0.33x,y=2.88-0.4U,所以女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为y=2.88

八/1z—7.54

-04lx~033~'

所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故8正确;

由散点图可知，回归方程z=7.54+0.33%相对y=2.88-0.41尤拟合效果更好，所以故C错

误;

根据回归方程y=2.88-0.45预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故。

错误.

故选：AB.

(多选)10.(5分)已知函数/(x)=(/-3)/,xER,贝U()

A.函数/(x)有且只有2个零点

B.函数/(x)的递减区间为(-3,1)

C.函数/(x)存在最大值和最小值

D.若方程/(x)=。有三个实数解，则ae(-Ze,6e3)

【解答】解：对于4由/(无)=0得％=±75,即函数了(无)有且只有2个零点，故A正确；

对于8：f(x)=(x2-3)/,xGR,

则/(x)—(/+2x-3)F,

由7(x)=0得x=-3或尤=1,由/(无)>0得x>l或x<-3,由/(x)<0得-3<x<l,

：.f(x)在(-8,-3)和(1,+co)上单调递增，在(-3,1)上单调递减，

故8正确；

对于C：由选项B得/(x)在(-8,-3)和(1,+co)上单调递增，在(-3,1)上单调递减,

当x=-3时，f(x)取得极大值/(-3)—6e~3,当x=l时，f(无)取得极小值/(1)=-2e,

由图象得了(X)min^f(1)=-2e,无最大值，故C错误；

对于。：由图象得若方程/(x)=。有三个实数解，则ae(0,6/3),故。错误.

故选：AB.

(多选)11.(5分)已知圆C：(尤-a)2+(y-e")2—1,则()

A.存在两个不同的。，使得圆C经过坐标原点

B.存在两个不同的a,使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等

C.存在唯一的a,使得圆C的面积被直线y=ex平分

D.存在三个不同的°,使得圆C与x轴或y轴相切

【解答】解：圆(尤-a)2+(y-e。)2=1的圆心坐标为(a,e"),半径为1,

对于A：设圆C过原点(0,0),则/+(e。)2=1,

方程/+建。)2=1的解的个数等价于函数>="的图象与曲线/+，=1的交点个数,

作函数y=，与圆/+y2=l的图象可得：

所以函数>="的图象与曲线/+y2=l的交点个数为2,

所以存在两个不同的〃，使得圆。经过坐标原点，A正确；

对于5：圆。在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于2VT，=2,1-0)2,

即〃2=(e。)2,即e〃±a=O,

方程e"±a=O的解的个数函数g(x)="+%和/z(x)="-x的零点的个数和相等,

因为g，(x)="+1>0,又g(-1)=/1-IVO,g(0)=1-0>0,

所以函数g(x)在区间(0,1)上存在一个零点，即函数g(x)存在一个零点，

因为hf(x)="-1,

当x>0时，h'(x)>0,函数〃(x)在(0,+8)上单调递增，

当xVO时，h'(x)<0,函数力(x)在(-8,0)上单调递减，

又h(0)=1>0,所以用(x)>0,故函数%(%)没有零点，

所以方程ea±a=O的解的个数为1,

即存在一个。，使得圆。在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误;

对于C圆。的面积被直线y=ex平分等价于y=ex过圆心，

所以令/(〃)=ea-ea,

求导可得/(〃)=ea-e,令/(Q)=0,可得〃=1,

当〃>1时，f(〃)>0,函数/(〃)在(1,+8)上单调递增，

当〃VI时，/(4)<0,函数f(〃)在(-8,1)上单调递减，

又/(I)=0,所以函数/(〃)=e“-只有一个零点，

即方程ea=ea只有一解，

所以存在唯一的“，使得圆C的面积被直线y=ex平分，C正确；

对于O：圆。与l轴或y轴相切等价于⑷=1或|e"|=l,

则〃=±1或〃=0,共3解，

所以存在三个不同的“，使得圆。与％轴或y轴相切，。正确；

故选：ACD.

（多选）12.（5分）如图，正方体ABC。-ALBICLDI中，M为线段CCi上的动点，AM，平面a,则)

A.直线与平面a所成角的正弦值范围为［学，孝］

MCI-

B.已知N为。。1中点，当AM+MN的和最小时，——=2-yl2

DN

C.点M为CG的中点时，若平面a经过点B,则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形

D.点M与点Ci重合时，平面a截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大

【解答】解：对于A：设正方体的棱长为2,以。为原点，DA,DC,。力所在直线为无，》z轴建立

则A(2,0,0),B(2,2,0),

设M(0,2,a)(0WaW2),

—>—>—>

因为41/_1面。，则为平面a的一个法向量，且AM=（-2,2,a),AB=(0,2,0),

V2

所以|cosV4^,AM>\==4——T1'

\AB\\AM\2Ja2+8C2_LQ3

所以直线A8与平面a所成角的正弦值取值分范围为［曰，y］,故A正确;

对于2：将矩形ACC1A1与矩形CQQ1D延展为一个平面，如图所示，

DCA

若AM+MN最短，则A,M,N三点共线，

因为CC\//DD\,

,MCAC2V2「,,.“

所以777=77?==2-鱼，故2正确；

DNAD2V2+2

―>

对于C：设平面a交棱ALDI于点E(b,0,2),点M(0,2,1),AM=(-2,2,1),

因为A做_1_面0[,DCu面a,

所以AM±DE,^AM-DE=-2b+2=0,

得b=l,

所以E(1,0,2),

所以点E为棱401的中点，

―>

同理可得，点F为棱A1B1的中点，F(2,1,2),EF=(1,1,0),

又6B=(2,2,0),

T1T

所以=/8,

所以EF//DB且EF^DB,

由空间中两点的距离公式可得DE=V22+02+I2=V5,BF=J(2—2尸+(1—2尸+(2—0)2=瓜

所以。

所以四边形2。所为等腰梯形，故C正确；

对于。：当M与CC1重合时，连接ALD,BD,AiB,AC,

在正方体ABC。-A1B1C1D1中，(7。_1面ABCD,

因为BZ)u面ABC。，

所以BZ)_LCCi,

因为四边形A3C。是正方形,

所以BD±AC,

因为CCiAAC=C,

所以B£)±®ACCi,

因为ACiu面ACCi,

所以同理可证ACi_L4。，

因为Ai£)nBO=。，

所以4。1_1面418。，

由题知△42。是边长为2近的等边三角形，面积为另4遇°=枭(2V2)2=2后

周长为2ax3=6&,

设E,F,Q,N,G,H为棱ALDI,AiBi,BBi,BC,CD,的中点，

1

所以六边形即QNGH是边长为5的正六边形，且面EFQNGH〃面AiBD,

所以六边形所QNG8的周长为6企，面积为6x字x(V2)2=3后

所以△489的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，故D错误，

故选：ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)(l+x)i°-(1-x)9展开式中/的系数为9.

【解答】解：：(1+x)1°的展开式的通项为〃+i=疗)小，

令左=2,可得展开式中小的系数为此。=45,

V(1-X)9的展开式的通项为Tr+l=Cg(―x)r=(—l)rCgXr,

令r=2,可得展开式中尤2的系数为(一1)2窃=36,

故(1+无)1°-(1-%)9展开式中/的系数为45-36=9.

故答案为：9.

14.(5分)从0,1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A,B,则方程Ax+By=0

所表示的不同直线共有20条.

【解答】解：(1)当A或8中有一个取0时，另一个不论取何值，方程都只能表示2条直线x=0和y

=0,

即选中0时，Ax+2y=0共能表示2条直线；

(2)当A、8从1,3,5,7,9五个数字中取值时，共有照=5x4=20,

但当取值为(1,3)和(3,9)以及(3,1)和(9,3)时表示同一条直线，

当A、B从1,3,5,7,9五个数字中取值时，Ax+By=0共能表示20-2=18条直线.

综上所述，表示成不同直线的条数是2+18=20条.

故答案为：20.

x2y2

15.(5分)过双曲线与-£7=l(a>0,b>0)的右焦点尸作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q,直线/Q

与双曲线的左、右两支分别交于点N,若|MQ|=3|QW，则双曲线的离心率是_飓_.

【解答】解：设双曲线的左焦点为尸，

双曲线的渐近线方程为历:土ay=0,\FQ\==b,|。尸|=c,

Ja2+b2

在直角三角形中，cos/如。，①

设|0N|=3则|QM=3t,\FN\^b-t,

由双曲线的定义可得|N尸|=b-t+2a,\MF\^b+3t-2a,

在三角形FA*中，可得cosNFF="+(燧力”+2炉,②

在三角形尸MF1中，可得cos/M尸尸=4c鹭:2a③

由①②化简可得f=方&,

—3a

由①③化简可得U黑，

所以a+b=3b-3a,

即b=2a9

则e=2=1+彳=V1T4=V5.

aqa

故答案为：Vs.

16.(5分)正方形ABC。位于平面直角坐标系上，其中A(1,1),2(-1,1),C(-1,-1),D(1,

-1).考虑对这个正方形执行下面三种变换：(DL逆时针旋转90°.(2)R：顺时针旋转90°.(3)

S：关于原点对称.上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A,B,C,。四个点所在的位置会发

生变化.例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从(1,1)移动到(1,-1),然后再作一次变换S

之后，A移动到(-1,1).对原来的正方形按ai,。2,at的顺序作1次变换记为。142…以,其中。e{3

R,S},i=l,2,k.如果经过％次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变

换是％-恒等变换.例如，RRS是一个3-恒等变换.则3-恒等变换共6种;对于正整数小n-

3-(-l)n+3n

恒等变换共种.

T

【解答】解：3-恒等变换必定含S,所以一共有US,LSL,SLL,RRS,RSR,SRR这6种3-恒等变

换；

注意到，作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次R变换相当于三次L变换.

我们记L为数字1,S为数字2,R为数字3,作用相应的变化就增加相应的数字.

那么如果作了"次变换。1及…即(其中包含。个L、q个5、厂个R),当p+2q+3厂是4的倍数时，就能得

到一个n-恒等变换.

我们假设作了〃次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0,1,2,3的情况数分别为金，bn,cn,

把这n次变换分解成n-1次变换和第n次变换，

假设经过n次变换之后余数为0.如果经过n-1次变换后的余数是0,则第n次变换余数不可能为0；

如果经过w-1次变换后的余数分别是1,2,3,则第九次变换余数必须分别为3,2,1.其他完全类似，

因此Ctn=bn-1+Cn-1+dn-1,

bn—an-1+Cn-1+t/n-1>

Cn=Cln-1+bn-1+dn-1)

dn—Cln-1+bn-1+Cz;-1.

把后三个式子相加可得b"+Cn+d”=3a“-1+2(bn-l+cn-1+dn-l),

代入弟一个式子可得一1,Q<2"+l+<7"=3(Un+Un-1).

所以｛斯+1+念｝是公比为3的等比数列.

已经算出03=6,而2-恒等变换有〃?，RL,SS这三种，故及=3.

n2n-2n

因此，43+。2=9,从而an+i+an=(a3+a2)X3~=9X3=3.

两边同乘€-1)n+1,可得(一ly+ian+i-(-1严斯=-(-3)n.

根据累加法可得(―l)为n—(-1)2。2=-(一3尸=一型；2)二一生堂

3-(-Dra+3n

于是即=

3-(-l)n+3n

故答案为：6；

四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

n

17.(10分)数列｛斯｝满足的=2,an+i=)Mn+2(nGN*),入为常数.

(1)是否存在实数入，使得数列｛斯｝成为等比数列，若存在，找出所有的入，及对应的通项公式；若不

存在，说明理由；