湖南省湘潭市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

湘潭市2022年高二期末考试

数学试卷

全卷满分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={M<x<5},集合6={2叫“<1},则”3=(

)

A.(1,3)B.[-2,3)C.[0,2)D.[-2,0)

【答案】A

【解析】

【分析】将集合B化简，然后根据交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为集合B={x|log3x<1}={x|O<x<3},

则Ac3=(1,3)

故选:A

2.直线/：x+J5y+2022=0的倾斜角为()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】先根据直线方程求得斜率，再利用斜率和倾斜角的关系求解.

【详解】因为直线/:x+Ky+2022=0，

所以直线的斜率为z=-走，

3

设直线的倾斜角为贝hana=-走，

3

因为0°Wa<180°,

所以a=150°.

故选：D.

3.棱长为1的正方体的外接球的表面积为()

3兀

A.—B.3兀C.127cD.16K

4

【答案】B

【解析】

【分析】根据正方体与其外接球之间的关系，求出外接球的半径，即可得出球的表面积.

【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为A,

则2H="中乔=6,故氏=等・

所以S=4TIR2=4兀=3兀.

故选：B.

4.已知函数/(x)=V+i,则lim()

Ax

3

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【解析】

【分析】利用导数的定义求解.

【详解】解：因为函数/。)=/+1,

所以y以匕「2=1"时+1-2=lim=2,

°AxAXTOMAXTO\7

故选：c

5.定义在R上的偶函数〃x)满足：对任意的七,W€(YO,0](石工马)，有八"八〃<0,则

玉一9

()

A./(-2)</(3)</(4)B./(-2)>/(3)>/(4)

C./(3)</(4)</(-2)D.门4)</(—2)</⑶

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得/(X)在(-00,01上单调递减，再根据偶函数性质得到/(X)在(0,+8)上的单调性,

根据单调性与奇偶性判断即可.

有小匕9<0

【详解】解:因为对任意的玉，wG(YO,0](X]

玉-x2

所以/(x)在(-8,0】上单调递减，又/(x)为偶函数，

所以“X)在(0,+8)上单调递增，则〃2)</(3)</(4),

又/(-2)=/(2),所以/(-2)</(3)</(4).

故选：A

1—Xo

6.已知奇函数f(x)=lg-------F(tan—2)-,贝Ijsin必一cos2。的值为()

1+X

37

A.-B.-C.2D.3

55

【答案】B

【解析】

【分析】根据奇函数的性质/(—x)=-/(x)求出tan。，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦

化切，最后代入计算可得.

1_Y1_y

【详解】对于函数/(x)=1g——+(tan。—2>/，令一>0,解得一1<%<1,所以函数的定义域

1+X1+X

为(-1,1),

।I丫।__丫

又函数为奇函数，则。(一力=一/(力，即1g-----+(tan6>-2)-x2=-lg--------(tan61-2)-x2,

1-x1+x

1—%,l+x

即2(tan^-2)-x2=-lgF

1+x

(1—x.1+x1-xl+x

一怆二十但工=Tg=0,

1+x1-x

所以tan6-2=0,即tan6=2,

2sin0cos^-cos20+sin20

所以sin2。一cos20=

cos2+sin20

2tan/9-l+tan2^2x2-l+227

l+tan201+225

故选：B

X2孑=1(4>6〉0)的左，右顶点分别为A,B,且椭圆C的离心率为噜，点P是

7.已知椭圆C:一+

a~

椭圆C上的一点，且tanNPA3=,，则tan/APB()

4

101111

A.-----B.——c.—-7

91010

【答案】B

【解析】

【分析】设尸(飞,几)是椭圆上的点，设仁=tan/PA6=；,右=-tanNPB4求出匕•卷为定值，从而

能求出tanZPBA的值，然后根据tanZAPB=-tan(NB4B+NPBA)求解.

【详解】设尸(%,几)代入椭圆方程，则乌+*=1(。>人>0)

整理得：状=与(。2一片),设仁=tan/PAB=；,k2=-tanZP5A

又匕=」一，%2=一^,所以

工0+Q/一Q

pQ^=£=—与=—4=一(j2)=」

7

xQ+axQ-ax0—aaa'6

1?2

而4=tan/PA8=一,所以％?=-tan/P8A=——,所以tanNP8A=—

*433

12

—1—

/.nn//八i/八八八tanZPAB4-tanZPBA43_11

tanZAPB=-tan(ZPAB+/PBA)=----------------------=

''1-tan^PABtanZPBA11210

43

故选：B

22

8.已知双曲线「：「一二=l(a>0力>0)的右焦点为E(c,0)(c>0),M是双曲线的左支上的一点，点

a~b~

垂足为£>,sinZD斤8=，，且|MD1=3则双曲线「的离心率为

()

A.75B,姮C.2D.叵

37

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义得|W|=4x,|MN|=4尤—2a,焦点三角形中由余弦定理可得

x="+J2cI-"二进而由勾股定理里即可得49c.4一][4a2c2+65出=o,由齐次式即可求解.

4

【详解】设左焦点为N,在直角V如中，|即《si”电/般n|附小

设尸|=x,则|M尸|=4x,|MV|=|M可—2a=4x—2a,故在焦点三角形MNF中,

c°s/MFN一由+所-1MM2=—+4c2-（4x-2a）2=工,

2\MF\\NF\2X4XX2C,解得

2C

由于J2r2_/=Jc2+02―/）＞。，故

“苦三舍去,只取“=若三

在直角V3OE中,\BDf+\DFf^\BFf,故"'Ze。-/

I7

化简得49114/+65/=。，进而49m+65=。，解得/啜或e』（舍去），故

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，复数4=l+2i,Z2=2-i,则（）

A.Z1共规复数为T+2iB.|z1|=|z2|

C.4+Z2为实数D.Z1<2在复平面内对应的点在第一象限

【答案】BD

【解析】

【分析】根据共规复数的定义可判断A,根据模长的计算公式可判断B,根据复数的加法以及乘法运算即

可判断CD.

【详解】对于人,马=1+方，4=1一石,故人错误，

对于B,Z1=l+2i/2=2-i,则团=石,闫=石，故团=七|,故B正确,

对于C,4+Z2=3+i为虚数，故C错误，

对于D,z/Z2=(l+2i)(2—i)=2—i+4i-2i2=4+3i,对应的点为(4,3),故马已在复平面内对应的

点在第一象限，故D正确，

故选：BD

10.下列求导运算正确的是()

A.(In7y=,B.[(J+2)sinxJ=2xsinx+(%2+2)cosx

C田'_2i2

D.[…吟工

[e,厂e，

【答案】BC

【解析】

【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,(In7)'=0,故A错误，

对于B,[(V+zgnx]=(/+2)sinx+(x2+2)(sinx)'=2xsinx+(x2+2)cosx,故B正确,

22v

5'(x)e'-x(e)_2x-x2

对于c,故C正确,

(e')2ex

3

对于D,[ln(3x+2)]'=^^,故D错误，

3x+2

故选：BC

11.已知等差数列｛4｝,其前〃项和为S“,%=9,S7=49,则下列说法正确的是()

A.«„=2〃-1B.S“=〃2

16

C.a„+---最小值为6D.数列｛2"”｝是公比为2的等比数列

an+\

【答案】AB

【解析】

【分析】对A,B选项由等差数列通项公式和前〃项和公式得到方程组，解出q,d,从而得到勺=2〃-1,

216c,16

S=n2,对C选项，a„+——=2»-l+---利用基本不等式可求出最值，但是要注意取等条件，对

n-2/1+1

D选项计算会的值即可.

"1+4d=9,

a.=9o4=1

【详解】；即〈7x（7-1），解得LC，

由=497q+———^=49[d=2

、2

2

：.an=1+2（H—l）=2n—1,S“—〃"+~—=n,故AB正确，

aH

n——=2«-1+-2n+\+-----2>2A/16-2=6，（当且仅当2〃+1=—，即〃=3时,

/+i2/1+12〃+12〃+12

取“="，但〃eN*），

16.1631

所以当〃=2时，«„+——=3+玄=三，

4+155

16,1619311631

a+=+

当〃=1时，n+---=1—V>V'---的最小值为一，故C错误，

4+1335an+l5

2%+i

・.・——=2"*%=22=4,

2册

•••{24}是公比为4的等比数列，故D错误.

故选：AB.

12.已知抛物线C：V=i2x,点尸是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上的一点，点M（4,3）,则下列

说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为％=-3

B.若|P目=7,则△PMF的面积为26—T

C.耳-|PM|的最大值为

D.△PMF的周长的最小值为7+JTU

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为％=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到％=4,故

P点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B,利用三角形任意两边之差

小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到，"用-|初|）皿=|岫，计算即可判断C,三角形

PA"的周长=|刊4+|〃尸|+|P~|=|PM+|PF|+J13,再结合抛物线定义即可求出IPM1+1PEI的

最小值，即得到周长最小值.

【详解】y2=12x,.-.p=6,.-.F（3,0）,准线方程为x=—3,故A正确；

根据抛物线定义得iPEkxp+TnXp+Bu7,xp=4,M（4,3）,

，PM〃丁轴，当x=4时，y=±4G，

若P点在第一象限时，此时尸1,4，5）,

1O

故尸河=48一3，AftW的高为1，故SPMF=/xk6-3卜1=26-展

若点P在第四象限，此时P（4,-46）,故PM=46+3，

的高为1,故5.=^（46+3卜1=26+5，故8错误；

\PF\-\PM\<\MF\,.-.（\PF\-\PM|）nnK=\MF\=J（4-3『+（3-0『=M，故C正确；

（连接FM,并延长交于抛物线于点尸，此时即为I尸用-IPMI最大值的情况，

图对应如下）

过点P作尸准线，垂足为点。，

x=把-3'

△PMF的周长=|PM|+|"尸|+归目=|PM|+|PF|+V10=|PM|+|PD|+V10,

若周长最小，则|尸徵+归口长度和最小，显然当点位于同一条直线上时，耳的和最

小，

此时|PW|+|MF|=|叫=7,

故周长最小值为7+故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知在一次降雨过程中，某地降雨量），（单位：mm）与时间r（单位：min）的函数关系可近似表

示为y=J7，则在f=4min时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为mm/min.

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】将函数y=〃关于f求导，再将，=4代入上式的导函数，即可求解.

1

【详解】因y—y/，

（1[1

所以r«）=产=_!_/,

k72

I.11

■■■/⑷=于42=屋

故在。=4min时的瞬时降雨强度（某--时刻降雨量的瞬间变化率）为lmm/rnin.

4

故答案为：—.

4

14.在.ABC中，BC=2,AC=V3,ZB=60°，则ZA=.

【答案】900

【解析】

【分析】根据正弦定理求解即可.

【详解】根据正弦定理可知=代入题中数据/一=X—=2,可知sinA=l,所以

sinAsin8sinAsin60°

ZA=90°

故答案为:90°

2S

15.已知等比数列{4},其前〃项和为S“，%=2，4=77,则满足2＜口＜15的所有〃的和为

【答案】5

【解析】

SS

【分析】首先求出公比0，即可得到4、s“，即可得到再令2<j<15,即可得到5<3"<31，

a„a„

从而求出”的取值范围，再根据〃eN*,即可求出”的值.

【详解】在等比数列｛4｝中，其前〃项和为s“，%=2，«6=—，

3a611

所以g则4=彳，

«3273

n-3

(1、

所以〃〃=2x-=54xri,则

<357

3

27

所以显

S1

令2<j<15,即2<—(3"—1)<15,BP5<3"<31.^rttlog35</7<log331,

an2

因为“eN*,所以〃=2或〃=3,

S

所以满足2<」<15的所有〃的和为2+3=5.

a“

故答案为：5

16.己知点A(2,1),B(2,-3),若直线H-y+3-4Z=0上存在点尸使得B4.pB<o成立，则实数A的

取值范围是.

【答案】g，+8)

【解析】

【分析】设2%,%),得(4-2)2+(%+1)2<4,得在圆(x-2)2+(y+l)2=4的内部，得

圆心(2,-1)到直线的距离小于半径2,即可解决.

【详解】由题意得，A(2,1),B(2,一意,直线麻一田+3一软=0,

设P（Xo，%），

所以PA=（2-Xo，l—%），依=（2_为,一3_%）,

所以朗・依=（2_/）2+（1-%）（_3_%）<0，

化简得（％-2y+（%+1尸<4,

所以P（尤0,%）在圆（x-2>+（>+=4的内部，

所以圆。一2）2+（y+l）2=4与直线丘-丁+3-4&=0相交，

所以圆心（2,-1）到直线的距离小于半径2,

|2女+1+3—443

所以一7―—[<2,解得%>二，

VF714

所以实数我的取值范围是（|,+B]

故答案为：（a'+00]

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛%｝的前w项和为S,,S3=15,S12=222.

（I）求｛%｝的通项公式；

（2）若2=-----,求数列也｝的前〃项和7；.

anan+｝

【答案】（1）。〃二3八一1

（2）7；,=-———

"69n+6

【解析】

【分析】（1）根据公式法求解即可；

（2）由于根据裂项相消求和即可解决.

3\3n-\3n+2j

【小问1详解】

由题知，等差数列｛4｝的前«项和为5„,S3=15,SI2=222,

S3=q+%+/=15(

所以卜建安即[+d=w5，

4=2

解得《C

["=3

所以Q〃=2+(〃_1),3=3〃-1,

所以｛4｝的通项公式为q=3〃-1；

【小问2详解】

由(1)得，an-3n-l,

111_1

3〃+2_69〃+6

J_1

所以数列也｝的前〃项和7；

69n+6

18.中国数学交通大会暨博览会将于9月在北京新国展举办.为做好本次博览会的服务工作，需从某高校

选拔志愿者，现对该校踊跃报名的60名学生进行综合素质考核，将得到的分数分成3段:

[40,60),[60,80),[80,100],得到如图所示的频率分布直方图:

(1)求〃?的值并估计这60名学生成绩的中位数(中位数保留一位小数)；

(2)从报名的60名学生中，根据考核情况利用比例分配的分层抽样法抽取6名学生，再从这6名学生中

选取2人进行座谈会，求这2人考核成绩来自同一分数段的概率.

【答案】(1)根=[，中位数约为73.3

40

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，求出加的值，再根据中位数计

算规则求出中位数；

（2）利用分层抽样各层抽取的人数，再利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算

可得.

【小问1详解】

解：由频率分布直方图可得（卷+加+需）x20=1,解得机=4,

因为---x20<—>,所以中位数位于［60,80）之间,

1202

I11220

设中位数为x,则一x20+(x-60)x—=-,解得x=——。73.3,

120v74023

即中位数约为73.3.

【小问2详解】

解：由题意［40,60）中抽取6x^x20=l人，

［60,80）中抽取6*x20=3人,［80,100］中抽取6x*x20=2人,

分别记作A、B］、与、&、G、C2,

从中选取2人，则可能结果有Ag、AB?、AB,、AC,.AC2.片层、片4、Bg、

4c2、与层、B£、52c2、B3C1、4c2、GC2共15个结果，

其中满足这2人考核成绩来自同一分数段有自与、44、B03、GC2共4个结果，

4

所以这2人考核成绩来自同一分数段的概率P.

19.已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线/交抛物线。于A,8两点，当轴

时，|A8|=12.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）当线段A3的中点的纵坐标为3时，求直线/的斜率.

【答案】⑴r=12%

（2）2

【解析】

【分析】（1）根据题意可得当/J_X轴时，A,B两点的横坐标工=会，代入抛物线计算

可得|A3|=2p=12,即可得到答案；

⑵设A（X1,y）,B（x,,y2）,x}^x2,由A,8两点都在产=12X上，得y：=12%和y；=12%，可

得0一%）（'+%）=]2,由AB中点的纵坐标为3得史2~=3,从而可求得直线/的斜率

西-x22

【小问1详解】

由题意知，尸]^，0}当/，x轴时，A,8两点的横坐标了=]■,

代入y2=2px得y2=p2,y=±p,则|Afi|=2p=12,解得p=6,

所以抛物线C的标准方程为y2=l2x；

【小问2详解】

根据题意得，直线/的斜率存在，

设A（%],y）,5（3％）,工产元2，

A,B两点都在y?=12x上，则有y；=12%，y1=12x2,

则弁_£=12a-x2）,即（弘一呼—+，2）=]2,

又AB中点的纵坐标为3,则号&=3,y+%=6,

y,-y2_12_12

则一一"一,，

%一々x+%6

即直线/的斜率女=上丛=2.

玉-x2

20.如图，在四棱锥P—A8CD中，Q4_L底面ABC。，底面ABC。是正方形，PA=AB,AC与BO

相交于点E,点尸在线段依上，且PF=2庄.

p

（1）求证：AF_L平面尸比）；

（2）求平面A/7）与平面CFD夹角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）叵

5

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的垂直关系证明线线垂直，即可由线面垂直的判断求证,

（2）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的夹角即可求解.

【小问1详解】

以A为原点，为x轴，AO为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

设P4=/W=3,则A（0,0,0）,3（3,0,0）,C（3,3,0）,D（0,3,0）,P（0,0,3）,E（g,|,0

故PE=（g,臼,由PF=2庄得尸F=：PE=（1,1,-2），所以尸（1,1,1）,

BD=（-3,3,0）,PB=（3,0,-3）,AF=（1,1,1）,

由于=—3+3+0=0,尸84尸=3+0—3=0,因此8。_14/,/58_14尸,

进而BD±AF,PB±A77,又BDcPB=B,BD,PBu平面PBD,

故AFJ_平面P3Z）;

【小问2详解】

AF=（1,1,1）,/!£>=（0,3,0）,

设平面从z）的法向量〃=（x,y,z）,

n-AF=x+y+z=0,、

则，取尤=1,得〃=（l,0,-l）,

n-AD=3y=0

平面CFD的法向量=,CF=（-2,-2,1）,£>C=（3,0,0）

m-CF=-2a-2b+c=0

则〈,取人=1,得加=（0,1,2）,

m-DC=3a=0

设平面A&）与平面CFD的夹角a,

r.Im*nI2___Vio

则cosa---------

I川・ln|6.x亚-5

••sina=qi-cosa=—^~•

21.已知双曲线C:4—£=1（。>0,。>0）的一条渐近线方程为丫=半%，焦距为2b.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）若O为坐标原点，过P（0,4）的直线/交双曲线C于A,B两点,且上。钻的面积为24石，求直线

/的方程.

v2r2

【答案】（1）=1

43

（2）,=±%+4或7=±2曙^—+4

【解析】

【分析】（1）根据幺=空，2c=2万，以及4+〃=/,求解即可；

h3

（2）设直线AB的方程为^=丘+4与椭圆联立，利用弦长公式表示|AB|,根据点到直线的距离公式求

解高，即可根据三角形面积公式进行求解.

【小问1详解】

由题意得：q=.2占,2c=2不>a2+b2=c2<

b3

解得：c=V7，a=2,b=A/3>

2

V九2

，双曲线C的标准方程为-——=1.

43

【小问2详解】

由题意可知，直线A8的斜率一定存在，

设直线AB的方程为丁="+4,A（X|,y）,B（x2,y2）,

y=kx+4

联立方程组1y2%2,消去y整理得（3公一4）/+24履+36=0,

U3

△=(24人了-4x36郃2-4)>0

—24k

则〈

36

=------

1-3k2-4

3/一4=0

24=,7

1A81=ViTF./xl+x2)-4x,x2=ViTF---^^2^/^•j^r^T

4

原点到直线AB的距离为"=

12后.24g2

所以SAO8=』A8|d=；X-y=3^X(-=246,

，zx/1+|3二一4

解得女2=1或公=至，故女=±i,或攵=±2?由亘,

4545

故直线方程为丁=±%+4或3；=±^^1%+4

22

22.已知椭圆。：£+£=1（。＞0力＞0）过点（—3,a）,

7⑵用

（1）求椭圆C的标准方程；

24

（2）若点P是圆O:x2+y2=M