2022-2023学年南京市重点中学数学高三上期末检测模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，已知三棱锥中，平面平面，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（）A． B． C． D．2．集合的真子集的个数为()A．7 B．8 C．31 D．323．若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A．B．C．D．4．若点x,y位于由曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域内（包括边界），则A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-35．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）A． B． C．1 D．36．如图，正方体中，，，，分别为棱、、、的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线7．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（）A． B． C． D．8．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（）A．9 B．7 C． D．9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C． D．10．已知，则，不可能满足的关系是（）A． B． C． D．11．根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A．1 B． C． D．12．已知复数，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为________．14．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．15．已知随机变量，且，则______16．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角.19．（12分）如图，在三棱锥中，，，侧面为等边三角形，侧棱.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥外接球的体积.20．（12分）的内角的对边分别为，若（1）求角的大小（2）若，求的周长21．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且.（1）求角的大小；（2）若，求的值22．（10分）如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.（1）求证：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可.【详解】作于,于.因为平面平面,平面.故,故平面.故二面角为.又直线与平面所成角为,因为,故.故,当且仅当重合时取等号.又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号.故.故选：A【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题.2、A【解析】

计算，再计算真子集个数得到答案.【详解】，故真子集个数为：.故选：.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.3、B【解析】函数在区间内单调递增，，在恒成立，在恒成立，，函数在区间内单调递增的概率是，故选B.4、D【解析】

画出曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域，y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)【详解】画出曲线x=y-2+1与y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)和定点P(2,-1)设k=y+1x-2，结合图形可得k≥k由题意得点A,B的坐标分别为A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范围为-∞,-3故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把y+1x-25、A【解析】

根据复数除法运算化简，结合纯虚数定义即可求得m的值.【详解】由复数的除法运算化简可得，因为是纯虚数，所以，∴，故选：A.【点睛】本题考查了复数的概念和除法运算，属于基础题.6、C【解析】

充分利用正方体的几何特征，利用线面平行的判定定理，根据判断A的正误.根据，判断B的正误.根据与相交，判断C的正误.根据，判断D的正误.【详解】在正方体中，因为，所以平面，故A正确.因为，所以，所以平面故B正确.因为，所以平面，故D正确.因为与相交，所以与平面相交，故C错误.故选：C【点睛】本题主要考查正方体的几何特征，线面平行的判定定理，还考查了推理论证的能力，属中档题.7、D【解析】

根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可.【详解】∵双曲线的一条渐近线方程为，可得，∴，∴双曲线的离心率.故选：D.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题.8、C【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得.【详解】设，，则.因为平面，平面，所以.又，，所以平面，则.易知，.在中，，即，化简得.在中，，.所以.因为，当且仅当，时等号成立，所以.故选：C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.9、A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A．考点：函数的定义域．10、C【解析】

根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．【详解】∵；∴，；∴，，故正确；，故C错误；∵，故D正确故C．【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题11、C【解析】

根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．12、B【解析】

利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得【详解】，故.故选：B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设抛物线上任意一点的坐标为，根据抛物线的定义求得，并求出对应的，即可得出结果.【详解】设抛物线上任意一点的坐标为，抛物线的准线方程为，由抛物线的定义得，解得，此时.因此，抛物线上到其焦点的距离为的点的个数为.故答案为：.【点睛】本题考查利用抛物线的定义求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.14、1．【解析】

先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15、0.1【解析】

根据原则，可得，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：随机变量，则期望为所以故答案为：【点睛】本题考查正态分布的计算，掌握正态曲线的图形以及计算，属基础题.16、1【解析】

根据程序框图直接计算得到答案.【详解】程序在运行过程中各变量的取值如下所示：是否继续循环ix循环前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1故答案为：1．【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去；得曲线的极坐标方程为.由，，，可得，即曲线的直角坐标方程为；（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，可得，，设，是点对应的参数值，，，则.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.18、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由余弦定理解得，即可得到，由面面垂直的性质可得平面，即可得到，从而得证；（Ⅱ）在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法得到二面角的余弦，即可得到的关系，从而得解；【详解】解：（Ⅰ）证明：在中，，解得，则，从而因为平面平面，平面平面所以平面，又因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面；（Ⅱ）解：在平面中，过点作于点，则平面，如图所示建立空间直角坐标系，设，其中，则设平面的法向量为，则，即，令，则又平面的一个法向量，则从而，故则直线与平面所成的角为，大小为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题.19、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）设中点为，连接、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理得出，由线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）先确定三棱锥的外接球球心的位置，利用三角形相似求出外接球的半径，再由球体的体积公式可求得结果.【详解】（1）设中点为，连接、，因为，所以.又，所以，又由已知，，则，所以，.又为正三角形，且，所以，因为，所以，，，平面，又平面，平面平面；（2）由于是底面直角三角形的斜边的中点，所以点是的外心，由（1）知平面，所以三棱锥的外接球的球心在上.在中，的垂直平分线与的交点即为球心，记的中点为点，则.由与相似可得，所以.所以三棱锥外接球的体积为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了三棱锥外接球体积的计算，找出外接球球心的位置是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20、（1）（2）11【解析】

（1）利用二倍角公式将式子化简成，再利用两角和与差的余弦公式即可求解.（2）利用余弦定理可得，再将平方，利用向量数量积可得，从而可求周长.【详解】由题解得，所以由余弦定理，，再由解得：所以故的周长为【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式，属于基础题.21、（1）（2）【解析】

利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式得到关于的方程,解方程即可求解;由知,在中利用余弦定理得到关于的方程,与方程联立求出,进而求出,利用两角差的正弦公式求解即可.【详解】由题意得，,由二倍角的余弦公式可得,,又因为，所以，解得或，∵，∴.在中,由余弦定理得,即①又因为,把代入①整理得，，解得，，所以为等边三角形，，∴,即.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的坐标表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟练掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.22、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）要证明平面平面BDE，只需在平面内找一条直线垂直平面BDE即可；（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面BEF的法向量，平面的法向量，算出即可