浙江省金华市十校2023-2024学年高三年级下册4月模拟考试数学试题 含解析

金华十校2024年4月高三模拟考试

数学试题卷

注意事项：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页.考试时间120分钟.试卷总分为150分.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

选择题部分（共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合54尸2"。},则4八（）

A.{0}B,{1}

C.{1,2}D.{1,2,3）

【答案】B

【解析】

分析】根据一元二次不等式求解§={x|0<x<2},即可由交集求解.

【详解】B={X|^2-2X<0}={X|0<X<2},故A8={1},

故选：B

—!—=（

2.）

2+i

12.12.

A—+—iB.---------1

5555

12.12.

C.—+—iD.---------1

3333

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算即可求解.

i（2-i）_l+2i

【详解】

2+1（2+i）。-i广三-

故选：A

3.设ae(0,兀)，条件p:sintz=g,条件q:costz=弓"，则p是“的()

A.充分不要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义，结合同角三角函数基本关系，即可求解.

【详解】由于。«0,兀)，

若sina=L则cosa=土-sin%=土乎，充分性不成立,

2

若COSa=——，则sina=Jl-cos%=L必要性成立，

22

故。是q的必要不充分条件.

故选：B.

4.设直线/:x—2y—。2=0,圆C：(x——2)2=1,则/与圆。()

A.相交B.相切C.相离D.以上都有可能

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线/的距离，与半径比较即可判断求解.

【详解】圆C:(x—l)2+(y—2)2=1的圆心为C(L2),半径厂=1,

11_4-a21(3+a2)

则圆心C到直线I的距离d=-^>1=

故直线/与圆C相离.

故选：C.

5.等差数列｛4｝的首项为正数，公差为d，S”为｛a/的前〃项和，若。2=3,且邑，Sl+S3,名成等

比数列，贝Ud=()

9

A.1B.2cTD.2或三

22

【答案】B

【解析】

【分析】由等比中项的性质得到S2s5=($+S3)2,结合求和公式得到d=-34或d=2q,再由4=3,

q〉0计算可得.

【详解】因为邑，E+S3,其成等比数歹I],

所以S2s5=（SJ+S3）\即（ZQ+dXSq+lOdludai+Sdy,

即（3q+d）（2q-J）=O,

所以d=—3%或d=2d],

又。2=3,a]>0,

3

当d=-3%,则％+d=q-34=3,解得“=-]（舍去）,

当d=2〃],则q+d=4+2%=3,解得％=1,则d=2.

故选：B

6.在△ABC中，sinB=亘，C=120°,BC=2,

则△A5C的面积为(

7

A.6A/3B.4^3

C.3gD.2M

【答案】D

【解析】

【分析】根据两角差的正弦公式求出sinA,再由正弦定理求出6,代入面积公式即可得解.

【详解】由题意，

V3J211A/2T_A/21

sinA=sin（60°-B）=sin60°cosB-cos60°sinB=

2V492714

.2x___

°…eQbiasmB7.

由正弦定理，-----=-----,即匕=一----二-金一=4,

sinAsinBsinA<21

IT

=­absinC=-x2x4x—^-=2\^，

所以S^BC

222

故选：D

7.金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学

校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有（）

A.72种B.48种C.36种D.24种

【答案】A

【解析】

【分析】首先取2名教学型老师分配给一个学校，再把剩余老师分成A；组，然后分给剩余2个不同学校有

A；种不同分法，再由分步乘法计数原理得解.

【详解】选取一个学校安排2名教学型老师有C；C；种不同的方法,

剩余2名教学型老师与2名管理型教师，各取1名，分成两组共有A；种,

这2组分配到2个不同学校有A；种不同分法,

所以由分步乘法计数原理知，共有C；•C%A，A；=3x6x2x2=72种不同的分法.

故选：A

8.已知cos(o-/)=—，sinosin/=---,则-sin2。=(

312

111

A-—2B.-C.一D.

368

【答案】C

【解析】

【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出cosacos/?,然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化

简即可求解.

【详解】由COS(df—/7)=,得85。85万+5111。5山/?=」，

33

又sinasin/7=-'，所以cosacos/?=：,

所以cos2asin?B-1+。。，2a1-cos2/3_cos2°+cos2'一++—+cos—(a—')]

C°S"sin"22—2—2

=cos(a+p)cos(6Z-(3)

=(cosacos/3—sinasin尸)(cosacosjS+sinasinp)

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50〜35OKW-h之间，进行

适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示，记直方图中六个小矩形的面积从左

A.x的值为0.0044

B.这100户居民该月用电量的中位数为175

C.用电量落在区间［150,350）内的户数为75

6

D.这100户居民该月的平均用电量为£（50i+25）s,

i=\

【答案】AD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中频率之和为1即可判断A,根据中位数的计算即可求解B,根据频率即可求

解C,根据平均数的计算即可判断D.

【详解】对于A,由频率分布直方图的性质可知，

(0.0024+0,0036+0,0060+%+0.0024+0.0012)x50=1,

解得x=0.0044,故A正确；

对于B,因为(0.0024+0.0036)x50=0.3<0.5,(0.0024+0.0036+0.0060)x50=0.6>0.5,

所以中位数落在区间口50,200)内，设其为加，

则0.3+0〃-150)*0.006=0.5,解得加。183,故B错误；

对于C,用电量落在区间口50,350)内的户数为

(0.0060+0.0044+0.0024+0.0012)x50x100=70,故C错误；

对于D,这100户居民该月的平均用电量为

6

(50+25)^+(50x2+25)5,++(50x6+25)=X(50z,+25X)故D正确.

i=i

故选：AD.

10.已知m>n>l,则（

A.ba>abB.”>心

clog{>log/D.log/>log//n

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解即可.

【详解】对于A,因为。<。<6<1,所以指数函数y在R上单调递减，且所以/>〃，

因为塞函数y=f在(0,+8)上单调递增，且a<b,所以〃<户，

所以故A正确，

对于B,取m=5,n=2,则5?<25,故B错误；

对于C,因为对数函数y=logi,x在(0,+8)上单调递减，y=log,“x在(0,+s)上单调递增，

所以10gzla〉log"6=l,logmn<log,,,m=l,

所以10gzia>log,"“，故C正确；

对于D,因为y=lnx在(0,+co)上单调递增，

LLt、「FTrx八mi.InmInm,

所以InavlnZ?<0,lnm>0,则log。根=■；——>——=logm,

InaIn。b

因为对数函数y=log“％在(o,+s)上单调递减，

所以log“log。m>log/",故D正确.

故选：ACD.

11.在矩形ABC。中，AB=2AD,E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△4。后.若M

为线段4。的中点，则在△ADE从起始到结束的翻折过程中，()

A.存在某位置，使得

B.存在某位置，使得CELA。

C.MB的长为定值

D.MB与CD所成角的正切值的最小值为g

【答案】BCD

【解析】

【分析】当AC，DE时,可得出DE1平面A。。，得出OC，OE推出矛盾判断A,当。，平面BCDE

时可判断B,根据等角定理及余弦定理判断C,建系利用向量法判断D.

【详解】如图，

设。E的中点。，连接OCOA,则。4i，DE，若ACLDE,由4。=4,4。，4。匚平面人。。,

可得QE1平面A。。，OCu平面A。。，则可证出OCLOE,显然矛盾（CDwCE）,故A错误；

因为CELDE,所以当。4，平面3CDE,由CEu平面3CDE可得O|A，CE,由旦4DE=O,

O]A,DEu平面ADE,即可得CEL平面A。后,再由平面4DE,则有CEL4。，故B正确;

取CD中点N,MNIIA.D,MN=^AiD,BNIIED,且N"NB,N4DE方向相同，

所以NMNB=NADE为定值，所以=JMN?+BN?—2MN.BMcosZMNB为定值，故C正确；

不妨设AB=2j5，以OE,ON分别为苍y轴，如图建立空间直角坐标系，

设ZAON=9,则4（0,cos。,sin。），5（2,1,0）,C（1,2,0）,MH,1+^^,^|^j,D（-l,O,O）,

DC=（2,2,0）,3=仁，等岑]

叫=平,设MB与CD所成角为。,

\DCBM\3-COS6>22752指

贝i]cose=^~_UJ——=今一,即MB与CD所成最小角的余弦值为包，此时

|DC|.|BM|2V5V555

tan°=g,故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：处理折叠问题，注意折前折后可变量与不变量，充分利用折前折后不变的量，其次

灵活运用线面垂直的判定定理与性质定理是研究垂直问题的关键所在，最后不容易直接处理的最值问题可

考虑向量法计算后得解.

非选择题部分（共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知单位向量a,匕满足|。-2们=百，则a与6的夹角为

【答案】j(或写成60。)

【解析】

【分析】将等式|a-2匕|=6两边平方即可.

【详解】因为|“一26|2=。2-4。力+4"2=3,

所以。•/?=—,

2

rr1TC

所以cos〈a,b〉=5,.a/.w［0,兀［♦〃/♦=1.

故答案为：y.

冗2JY*<0

13.己知函数/'(>)="—，若/(%)在点处的切线与点［，/5))处的切线互相垂直，则

lux.x>0

【答案】—工##-0.5

2

【解析】

【分析】分别求出函数在两段上的导数，根据导数的几何意义求出切线斜率，再由切线垂直得解.

【详解】当x>0时，r(x)=->0,所以/")=1,且点(％,/(%))不在y=lnx上，

否则切线不垂直，故不<0,

当x<0时，/'(x)=2x,所以/'(%)=2%,

由切线垂直可知，2x0xl=-l,解得毛=一；

故答案为：—

2

一X3=l(q>b>0)与双曲线G:当一==1(W>0,仇>。)有相同的焦距，它们的

14.设椭圆G：=+rx

axh%h

离心率分别为外，%,椭圆的焦点为片，F2,G,G在第一象限的交点为尸，若点尸在直线丁=工

上，且/耳尸6=90°,则二十力的值为

e\e2

【答案】2

【解析】

【分析】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,先根据题意得出点尸的坐标(c＞0),再将点尸分别代入椭圆和

双曲线的方程中，求离心率，即可得解.

【详解】设椭圆与双曲线相同的焦距为2c,则斤=。2,而一以=/,

又/耳P8=90°,所以|OP|=g|6月|=c,

又点尸在第一象限，且在直线丁=%上,

/V2加

所以尸=3c，又点P在椭圆上,

22

7

、2\2

3Cc2c1

所以12(2J,即=2,

X+=1+2

42

/\2

1

整理得：c2+c4=0,即2-4-4—+1=0,

2a—4al,2

e；

…2±0所以！…

，因为0＜《＜1,

422

、2

C'也,2C2

同理可得点在双曲线上，所以J=2，

P222

7'一=1'即IFC一

%

解得二口也

e22

所以」12+V22-V2

T+—=------+-------=2.

22

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为鼓励消费，某商场开展积分奖励活动，消费满100元的顾客可抛掷骰子两次，若两次点数之和等于

7,则获得5个积分：若点数之和不等于7,则获得2个积分.

（1）记两次点数之和等于7为事件A,第一次点数是奇数为事件3,证明：事件A,B是独立事件;

（2）现有3位顾客参与了这个活动，求他们获得的积分之和X的分布列和期望.

【答案】（1）证明见解析

（2）分布列见解析；—

2

【解析】

【分析】（1）根据古典概型分别计算P（A）,P（B）,P（AB）,由P（AB）,P（A）P（3）的关系证明；

（2）根据九次独立重复试验模型求出概率，列出分布列，得出期望.

【小问1详解】

因为两次点数之和等于7有以下基本事件：（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6个，

所以尸（A）=[=!又P（3）=g・

30O

而第一次点数是奇数且两次点数之和等于7的基本事件是（1,6）,（3,4）,（5,2）共3个,

31

所以p（AB）=±=一,

'73612

故？（/3）=尸（A）P（B）,所以事件A,B是独立事件.

【小问2详解】

设三位参与这个活动的顾客共获得的积分为X,则X可取6,9,12,15,

*X=e=C（1JJ=奈，P（X=9）=C；Q¥l-4=蔡,

所以分布列为:

X691215

1257515I

p

216216216216

仁广…125〃75八151cI15

所以石'(X)=-----x6H-------x9H------x12H-------x15——

,72162162162162

16.设/(%)=sinxcosx+QCOSX,xe0,-

2

(1)若。=1,求“X)的值域；

(2)若/(%)存在极值点，求实数。的取值范围.

【答案】a)o,咤

4

(2)(-l,+oo)

【解析】

【分析】⑴求导，得/'(x)=—(sinx+l)(2sinx—l),即可根据了(0,巳］和xe］；?判断导数的正

负确定函数的单调性，求解极值点以及端点处的函数值即可求解，

(2)将问题转化为/'(x)=0在上有解，即可分离参数得一-2sinx,利用换元法，结

<2Jsmx

合函数单调性即可求解.

【小问1详解】

兀

若〃=1,/(x)=sinxcosx+cosx,xe0,—,

/'(x)=cos2x-sin2x-sinx=-2sin2x-sinx+l=-(sinx+l)(2sinx-l)

当小时，sinx>0,2sinx-l<0,则//(x)单调递增；

当时'sinx>0,2sinx-l>0,则/(x)单调递减

所以即/(%)的值域为「,一｝］

【小问2详解】

(x)=cos2x-sin2x-asinx=1-2sin2x-asinx.

/(%)存在极值点，则/'(%)=0在xe］。,、］上有解，即a=」——2sinx有解.

令，=sinx,则〃=；一2%在♦£(0,1)上有解.

因为函数y=；—2t在区间(0,1)上单调递减，所以ae(—1,+“)，经检验符合题意.

17.如图，在三棱柱ABC-A5cl中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面8与C。是矩形,

AA1=\B.

(1)求证：三棱锥A-ABC是正三棱锥；

(2)若三棱柱ABC-4与G的体积为2友，求直线AG与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵旦

3

【解析】

【分析】(1)根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明4。，平面ABC即可；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.

【小问1详解】

分别取AB,BC中点。，E,连接CDAE交于点。，则点。为正三角形ABC的中心.

因为AT4J=A^B,CA-CB得CDJ_AB,AD}_LAB,

又4。。。=。，4。,。。＜=平面4。。，

所以AB工平面ACD，又AOu平面AC。，

则AB±A0；

取用£中点片,连接片耳，&E,则四边形9月后是平行四边形,

因为侧面是矩形，所以BCLEEi，又5CJ.AE,

又EE[AE=E,EE[,AEu平面A^E^E,

所以6cl平面AA&E,又AOu平面AAEjE,则

又ABcBC=B,AB,BCu平面ABC,所以A。，平面ABC,

所以三棱锥A-ABC是正三棱锥.

【小问2详解】

因为三棱柱ABC-4用G的体积为2夜，底面积为G，所以高4。=弋，

以E为坐标原点，E4为x轴正方向，为y轴正方向，过点E且与。&平行的方向为z轴的正方向建立空

间直角坐标系,

设平面A45d的法向量〃1,因为45=卜百,1,0),44=［一芈,0,半

AB-nx=-y/3x+y=0

则72石2A/6,取z=l，可得勺=（夜，c』），

/LA.,77.------xH-----z—0

[*”33

又AG=A4i+AC=]-述,—1，型

设直线AG与平面所成角为0,

足2.z)_||«1ACi_246_V2

所以sin0—cos%,ACJ—n——T=----.

113

18.设抛物线C:y2=2px(p>0),直线x=—1是抛物线C的准线，且与x轴交于点8,过点B的直线/

与抛物线C交于不同的两点M,N,A。,")是不在直线/上的一点，直线AM,AN分别与准线交于P,

。两点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)证明：忸目=忸0|：

(3)记△APQ的面积分别为M，S。,若SI=2S2,求直线/的方程.

【答案】(1)V=4%

(2)证明见解析(3)x±y/3y+1=0

【解析】

【分析】(1)根据准线方程可得。，即可求解；

(2)设/：x=ty-l,〃(七，x),N(w，%)，联立直线与抛物线，得出根与系数的关系，再由直线的相交

求出产,。坐标，转化为求小+为=。即可得证；

(3)由⑵可得S2=|P0,再由SI=；|MN|d,根据耳=2$2可得即可得解.

【小问1详解】

因为x=-1为抛物线的准线，

所以K=l,即2P=4,

2

故抛物线C的方程为V=4x

小问2详解】

设/：x=ty-l,丑（国,乂）,'（%,%），

联立y2=4x,消去x得/一43+4=0,

/、fy+必=4%

则△=16（产9—1>0,且与72,

'71X为=4

y—几/八(2(y.-n\

又AM：y-n=^-[x-\],令I=—1得P--~~I,

I^-1J

同理可得。-l,n——'」,

l尤2-1)

2(y,-n)2(y-n\「2(y-九)2(%-n)

所以y+y=〃—-――L+n--—2__L=2n——Z+__L

PoQ

玉_]x2-lL"i—2ty2-2

=)2(%-")(仇-2)+2(%-")侬-2)

一n⑥-2).(『2)'

2

_94。1%-(2加_4)(%+%)+8“8n-8nt_

_"__2代+为)+4-n~^T-'

故忸尸|=忸0.

【小问3详解】

I।2(y-n\2(%-n\

由⑵可得：S=\PQ\=7——VJ27-I1,

211

伙-2ty2-2/口

S]=-\MN\d=-xUt2+l-4sjt2=|2V^1.|^-2|,

2112IIv？n।11

由耳=2号,得：产—1=2,解得好土石,

所以直线/的方程为x土百y+l=O.

【点睛】关键点点睛：本题第二问中直线较多，解题的关键在于理清主从关系，据此求出RQ点的坐标

（含参数），第二个关键点在于将忸耳=忸。|转化为P,Q关于x对称，即为+为=0.

19.设p为素数，对任意的非负整数小记〃=4夕°+%21+…+%p*,Wp（n）=a0+al+a2+---+ak,

其中6e{0,1,2,…,p—1}（0W”左），如果非负整数“满足叫（«）能被p整除，则称"对p"协调”.

（1）分别判断194,195,196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；

（2）判断并证明在p2〃，p2n+l,p-n+2,...,22〃+（〃2-1）这个数中，有多少个数对。“协

调”；

（3）计算前p2个对p“协调”的非负整数之和.

【答案】（1）194,196对3“协调”，195对3不“协调

（2）有且仅有一个数对p“协调”，证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据〃对P“协调”的定义，即可计算叱(194),叱(195),叱(196),即可求解，

(2)根据〃对p“协调”的定义以及整除原理可证明引理，证明每一列里有且仅有一个数对p“协调”，即可

根据引理求证.

(3)将02〃,/7?+1，22“+2,.,/“+(02—1)这。2个数分成°组，每组0个数，