立体几何讲义-2024届高考数学三轮复习

2024年高考数学三轮冲刺之立体几何

基本立体图形

【知识梳理】

1、一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形

叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶

点.

2、一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋

转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.

3、一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边

都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱

柱的底面，它们是全等的多边形；其余的各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边

形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.

4、一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做

斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行

六面体.

5、一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所

围成的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫

做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶

点.

6、棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱

锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.底面是正多边形，并且顶点与底面

中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.

7、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做

棱台.在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.

8、由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

9、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做

圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于

轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做

圆柱侧面的母线.

10、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围

成的旋转体叫做圆锥.

11、用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

12、半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成

的旋转体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的

线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.

13、斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点

O.画直观图时，把它们画成对应的/轴和，轴，两轴相交于点0',且使/

x，O，y=45。（或135°）,它们确定的平面表示水平面.（2）已知图形中平行于x轴

和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X,轴和y'轴的线段.（3）已知图形中平行

于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为

原来的一半.

14、正四面体的表面积为S=石片（。为棱长）.

15、一般地，如果棱柱的底面积是S,高是力，那么这个棱柱的体积嗫柱=5丸.

16、一般地，如果棱锥的底面积是S,高是〃，那么这个棱柱的体积唳锥=Ls/z.

i次土出3

17、由于棱台是棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式

唳台=g/i（s'+J不M+S）,其中s'、s分别为棱台的上、下底面积，五为棱台的

高.棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点雨

垂足之间的距离.

18、圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的面积和.它们的表面积公式：

S圆柱=2万厂（r+/）（r是底面半径，/是母线长）

S圆锥=万厂（厂+/）（「是底面半径，/是母线长）

S圆台=%（尸2+/+//+〃）”,「是上、下底面半径，/是母线长）

19、圆柱、圆锥、圆台的体积公式

%柱=»/%（厂是底面半径，力是高）

喂锥产"（r是底面半径，力是高）

%台=g乃丸（r"+厂，+/）（尸，厂是上、下底面半径，/是母线长）

20、球的表面积与体积

如果球的半径为R,那么它的表面积是S球=4万尺2；它的体积是限=d〃R3.

【针对性训练】

1.将水平放置的梯形MCD沿竖直方向平移一段距离至HB'C'D,所形成的空间几何体

ABCD-496是（）

A.四棱柱B.四棱锥C.四棱台D.五棱柱

2.若某圆锥的高等于其底面圆的半径，则它的底面积和侧面积之比为（）

A.1:虚B.1：6C.1:2D.1:3

3.已知三棱锥的各面均为直角三角形，且三棱锥最长的棱为4,则此三棱锥外接球的表面

积为—.

4.已知一平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中。4_L49,AB'=BrC'=2,

求该平面图形的周长和面积.

0'X

5.如图所示的图形中有（）

B.圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球

6.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（）

A.一个球B.一个球挖去一个圆柱

C.一个圆柱D.一个球挖去一个长方体

7.在直观图中，四边形OAEC为菱形且边长为2c机，则在坐标系xOy中原四边形

OABC为（填形状），面积为cm2.

C'/-----

0,A'x

8.如图，己知正六棱柱的最大对角面的面积为1加2,互相平行的两个侧面的距离为1加,

则这个六棱柱的体积为（）

,1：

B.—m3C.bw3D.—m3

42

9.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32万，则母线长为（

)

A.2B.2-J2C.4D.8

10.设正方体的表面积为245？，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）

A.cm3B.6cm3C.—8ncm3D.—471cm3

33

二.基本图形位置关系

【知识梳理】

1、基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.（或“不共线的三点确

定一个平面"）

基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点

的公共直线.

利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”可以得到下面三个推

论：

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

2、我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位

置关系有三种：

["本击〃4f相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点；

<共面直线[，平行直线：在同一个平面内，没有公共点；

、异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

3、直线与平面的位置关系有些只有三种：

（1）直线在平面内-有无数个公共点；

（2）直线与平面相交-有且只有一个公共点；

（3）直线与平面平行-没有公共点.

当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外.

4、两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：

（1）两个平面平行-没有公共点；

（2）两个平面相交-有一条公共直线.

5、基本事实4平行于同一直线的两条直线平行.

6、定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.

定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线

与交线平行.

定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.

定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.

7、已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线a7/a,b'Hb,我们把直

线优与。'所成的角叫做异面直线a与人所成的角（或夹角）.如果两条异面直线所成的

角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.

8、一般地，如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a

互相垂直，记作直线/叫做平面a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线与平

面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.

9、过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则

该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该

平面的距离.

10、定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

定理垂直于同一个平面的两条直线平行.

定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这

条直线与另一个平面垂直.

11、一个直线/与平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，

斜面与平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面a引垂线PO,过垂

足0和斜足A的直线A0叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上

的射影所成的角，叫做这条直线和平面所成的角.

12、-条直线与个平面平行时，这条直线上任意•点到这个平面的距离，叫做这条

直线到这个平面的距离.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个

平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

13、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的

棱，这两个半平面叫做二面角的面.在二面角a-/-4的棱/上任取一点O,以点。为

垂足，在半平面a和夕内分别作垂直于棱/的射线0A和0B,则射线0A和0B构成的

ZAOB叫做二面角的平面角.

【针对性训练】

11.下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.过一条直线的平面有无数个

C.两条直线确定一个平面

D.两个相交平面的交线是一条线段

12.设平面ar//平面直线autz,直线则直线a,6的位置关系为（）

4平行B.相交C.异面D.平行或异面

13.如果直线a//平面a,那么直线。与平面tz内的（）

A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交。.任意一条直线不相交

14.若直线a在平面/外，则（）

A.allyB.。与7至少有一个公共点

C.=AD.a与7至多有一个公共点

15.给出下列四个命题，其中正确的是（）

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间四条直线a,b,c,d,如果did,且a//d,那么6//c.

A.①②③B.②④C.③④D.②③

16.如图，一块矩形木板ABCD的一边钻在平面a内，把这块矩形木板绕钻转动,

在转动的过程中，回的对边CD与平面c的位置关系是（）

B.相交

C.在平面a内D.平行或在平面a内

17.已知平面a//平面/?,直线a//平面a,直线6//平面尸，则。与6的位置关系可能

是（）

A.平行或相交B.相交或异面

C.平行或异面D.平行、相交或异面

18.如图，在正方体ABCD-A4G2中，E、F、G、”分别为A4,、AB.BB「Bg

的中点，则异面直线EF与G/I所成的角等于（)

C.90°D.120°

19.如图所示,若斜线段AB是它在平面a上的射影的2倍,则与平面々所成的角

是（）

C.30°D.120°

20.设〃是两条不同的直线，ci、£是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A.若mI/a,n!la,则〃z///B.若m11a,mlIf},则a//月

C.若〃z//〃，则“_L（zD.若m//a,aX./3,则〃?_1_4

三.空间向量及其运算

【知识梳理】

1、。是直线/上一点，在直线/上取非零向量a,则对于直线/上任意一点P,由数乘向

量的定义及向量共线的充要条件可知,

存在实数无，使得OP=/la.

我们把与向量。平行的非零向量称为直线/的方向向量.这样直线I上任意一点都可

以由直线/上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向

向量确定.

2、如果表示向量a的有向线段。4所在的直线OA与直线/平行或重合，那么称向量a平

行于直线/.如果直线OA平行于平面a或在平面a内，那么称向量。平行于平面a.平

行于同一个平面的向量，叫做共面向量.

3、如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对（x,y）使0=xa+＞匕.

b

4、向量a向向量b投影，得到与向量〃共线的向量c,则c=|a|cos＜a）＞—,向量c

\b\

称为向量a在向量方上的投影向量.

5、三垂线定理在平面的一条直线，如果与这个平面内的一条斜线在这个平面上的射

影垂直，那么它也与这条斜线垂直.

6、定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的

有序实数组（x,y,z）,使得p=xa+yb+zc.

由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是

｛p|p=xa+yb+zc,x,y,zeR｝.这个集合可看作由向量a,b,c生成的，我们把｛a,

b,c｝叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都

可以构成空间的一个基底.

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1,那么这个基底叫做

单位正交基底，常用｛"j,左｝表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向

量a,均可以分解为三个向量直，yj,zk,使a=x，+y/+z上.把一个空间向量分解

为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.

7、在空间选定一点O和一个单位正交基底｛"j,k｝,以点O为原点，分别为，，j,

火的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都

叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系。孙z,。叫做原点，力，j,左都

叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为。町平面，平面,

平面，它们把空间分成八个部分.画空间直角坐标系。孙z时，一般使NxOy=135。

（或45。），ZyOz=90°,在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指

指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

8、在空间直角坐标系。xyz中，i,j,左为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个

向量。4,且点A的位置由向量Q4唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序

实数组（x,y,z）使O4=x，+y/+z氏.在单位正交基底｛"j,左｝下与向量。4

对应的有序实数组（x,y，z）,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A（x,

y,z）,其中x叫做A点的横坐标，y叫做A点的纵坐标，z叫做A点的竖坐标.

9、在空间直角坐标系。xyz中，给定向量a,作。4=。，由空间向量基本定理，存在唯

一的有序实数组（x,y,z）使a=xi+y/+z上.有序实数组（x,y,z）叫做a在

空间直角坐标系。qz中的坐标，上式可简记作a=（x,y,z）.这样，在空间直角坐标系

中，空间中的点坐标和向量都可以用三个有序实数表示.符号（x,y,z）具有双重

意义.

【针对性训练】

21.在长方体ABCD—A与G0中，AB+AD-ACi=（）

A.0B.ACC.CQD.GC

22.若向量机垂直于不共线向量&和。，向量4=+RGR,%,〃。0),则(

A.mlInB.mA.n

C.机不平行于力，机也不垂直于为D.以上三种情况都可能

23.在正方体ABC。—446〃中，与G5的夹角为.

24.已知P为空间中任意一点，A、B、C、。四点满足任意三点均不共线，但四点共

面，SLPA=-PB-XPC+-DB,则实数x的值为()

36

A.-B.一C.-D.--

3322

25.如图，在平行六面体ABCDA4G2中，设AA=a,AB=b,AD=c,M,N,P

分别是朋，BC,G。的中点，试用a,表示以下各向量：

(1)AP-,

(2)MP+NCr.

26.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,尸分别是

AB,AD的中点.计算：

(I)EFBA；

(II)EFBD-,

(Ill)EFDC；

(IV)BFCE.

27.在正方体ABCD-A.B^D,中，点Af为平面BCC^的中心，则cos/MAR的值为（

）

n1V3-Z),1

A.An.—C.

133T2

28.若Q=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),贝Ua・(b+d)=()

A.4B.15C.7D.3

29.已知空间三点。(0,0,0),4(-1,1,0),B(0,1,1),在直线上有一点“满

足则点"的坐标为()

A.(-2,2,0)B.(2,-2,0)C.,0)D.(-,--,0)

2222

30.已知°=(2,-1,3),b=(0,-1,2),求

(1)a+b；

(2)2a—3b；

(3)a-b；

（4）m+b）・（”b）.

四.空间向量的应用

【知识梳理】

1、设a=（q,%,%）,力二（4，Z?2,4），

a+b=（%+/%+4,%+4），a-b-{ax-bva2一处％—4），

4〃二（然1，然2,4%），（4wH）a•b=a1bl+a2b2+a3b3.

当〃wO时，a//〃=〃==q=乃,％=劝2,的=&（%wR）

〃_Lb=a・b=O=q4+%4+%&二。；|a|=•a=Ja；+>；+；

,a-b岫+aM+ah

cos<a,b>=----=./—，j一

I〃II。IJa；+a；+a；Qb；+/+b；

2、空间两点间的距离公式J（XI—X2）2+（X—%）2+（Z1—Z2）2

3、在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量0P来

表示.我们把向量。P称为点P的位置向量.

4、给定空间一点A和一条直线/,则过点A且垂直于直线/的平面是唯一确定的.我们

可以利用点A和直线/的方向向量来确定平面.若直线取直线/的方向向量a,

我们称向量a为平面a的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量

为法向量的平面完全确定，可以表示为

集合{P|a-AP=0}.

5、若两条直线平行，则它们的方向向量平行；反之，若两条直线的方向向量平行，则

这两条直线平行.

6、一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直

线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.

7、求直线/外一点P到直线/的距离

已知直线/的单位方向向量为a,A是直线/上的定点，P是直线/外一点,

设A尸二。，则向量AP在直线/上的投影向量AQ=(Q・")〃，在RsAPQ中，由勾

股定理，得「Q=J|AP|2—|AQ|2=J/_(a-M)2.

8、求平面a外一点P到平面a的距离

已知平面a的法向量为“，A是平面a内的定点，P是平面a外一点.

过点P作平面a的垂线/,交平面a于点Q,则〃是直线/的方向向量，且点P到

平面a的距离就是4P在直线/上的投影向量QP的长度.因此

PQ=\AP~|=|1=.

I«ll»l\n\

9、若异面直线乙，4所成的角为。，其方向向量分别是"，"，则

八，,,.\u-v\

cosc^=cos<u,v>=-----1=--------.

\u\\v\\u\\v\

10、直线AB与平面a相交于点B,设直线AB与平面a所成的角为氏直线AB的方

向向量为a,平面a的法向量为〃，则sin8=|cos<〃,">|=|""川.

\u\\n\\u\\n\

11、平面a与平面夕相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。的二面

角称为平面a与平面D的夹角.若平面a,夕的法向量分别是〃1和〃2，则平面a和平

面夕的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面a与平面£的夹角为6,则

COSe=|cos<4,%>1=1"&1=.

14II%II%II%I

【针对性训练】

31.若点A(l,0,-1),3(2,1,2)在直线/上，则直线/的一个方向向量是()

4.(2,2,6)B.(-1,1,3)C.(3,1,1)D.(-3,0,1)

32.已知向量。=(2,4,5),b=4,x,y),分别是直线/1、［的方向向量，若

IJ/k,贝i」（）

A.x=69y=15B.x=3,y=15C.x=-y=WD.x=6,T

33-2

33.已知平面a,尸的法向量分别是(一2,3,m),(4,A,0),若a//4,则2+机的

值()

A.8B.6C.-10D.-6

34.已知点A(0，1，0),5(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,y),若B4_L平面

ABC,则》=,y=.

35.已知平面a的一个法向量”=(3,4,-5),点A(2,-1,3),B(1,0,4),若

Aec,B龟a,则点5到平面e的距离为()

A.显B.巫c2

5555

36.在长方体ABCD-A耳G2中，AB=2,BC=6,朋=4,E为8月的中点，则平面

4现）与平面ABCD夹角的余弦值为（）

7223722

A.B

~n-t22

37.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角Z14BE为直二面角，M为钙的中

点，放与BD所成的角为夕，且cos。=且，则理=（）

9BC

B

E

A.1B.V2C.—D.-

22

38.设平面tz的法向量为(1,2,-2),平面〃的法向量为(-2,-4,k),若a//〃，则

k=.

39.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，出_1,底面ABCD,AB1.AD,AC±CD,

ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点，证明：

(1)AEYCD-,

(2)PD_L平面ABE.

40.已知正方形ABCD的边长为1,PD_L平面ABCD,且PD=1,E,尸分别为AB,

3C的中点.

(1)求点。到平面PEF的距离；

(2)求直线AC到平面PEF的距离.

B

2024年高考数学三轮冲刺之立体几何

参考答案与试题解析

基本立体图形

1.将水平放置的梯形ABCD沿竖直方向平移一段距离至A'3'C'D,所形成的空间几何体

/WCD—43'。'。'是（）

A.四棱柱B.四棱锥C.四棱台D.五棱柱

【答案】A

【考点】棱锥的结构特征；棱台的结构特征

【专题】整体思想；立体几何；计算题；数学运算；综合法

【分析】由平移的性质知，平移后平面A'?。'。'//平面ABCD且梯形A'3'C'D'v梯形

ABCD,即可判断.

【解答】解：由平移的性质知，平移后平面A'B'C'D//平面ABCD且梯形A'B'C'D三梯形

ABCD,

所以空间几何体ABCD-AB'C'D'是四棱柱.

故选：A.

【点评】本题考查了空间几何体的结构特征，属于基础题.

2.若某圆锥的高等于其底面圆的半径，则它的底面积和侧面积之比为（）

4.1:虚B.1：6C.1:2D.1:3

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【专题】转化思想；数学运算；综合法；立体几何

【分析】设圆锥的底面半径为r,则根据题意可得圆锥的高也为r,从而可得圆锥的母线长

为夜广，再根据圆的面积公式与扇形面积公式，计算即可求解.

【解答】解：设圆锥的底面半径为r,则根据题意可得圆锥的高也为广，

圆锥的母线长为虎厂，

该圆锥的底面积为兀r1,侧面积为工x2;rrx0厂=0万产，

2

•••该圆锥的底面积和侧面积之比为1:72,

故选：A.

【点评】本题考查圆锥的侧面积与底面积的计算，属基础题.

3.已知三棱锥的各面均为直角三角形，且三棱锥最长的棱为4,则此三棱锥外接球的表面

积为_16万_.

【考点】球的体积和表面积

【专题】转化思想；计算题；空间位置关系与距离；综合法；数学运算

【分析】推导此三棱锥的外接球的直径为2,由此能求出此三棱锥的外接球的表面积.

【解答】解：三棱锥P—ABC中，PC_L平面ABC,且AB_L3C,

可得APC4,APCB,AABC,APBA为直角三角形，则最长的棱24=4,

此三棱锥的外接球的直径为4,即此三棱锥的外接球的半径为2,

此三棱锥的外接球的表面积为4万笈=16%.

故答案为：16%.

【点评】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查三棱锥、球等基础知识，考查运算

求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属基础题.

4.已知一平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中。A:B'=B'C'=2,

求该平面图形的周长和面积.

【答案】该平面图形的周长为12+40,其面积为12梃.

【考点】斜二测法画直观图；平面图形的直观图

【专题】综合法；立体几何；转化思想；方程思想；数学运算；计算题

【分析】根据题意，由直观图作出原图，求出原图中四边形各边的边长，计算可得答案.

【解答】解：根据题意，直观图中，O'A±A'B',A'B'=B'C'=2,

而ZAY7C=45。，贝！|OA=2+2=4,O'C=2^2,

其原图如图：其中。4=4,OC=4A/2,BC=2,AB=74+32=6,

(4+2)x40

则该平面图形的周长/=4+40+2+6=12+4&,其面积5==1272.

2

y

C

x

»

【点评】本题考查直观图的坐法，注意斜二测画法的应用，属于基础题.

B.圆柱、球和圆锥

C.球、圆柱和圆台D.棱柱、棱锥、圆锥和球

【答案】B

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【专题】对应思想；定义法；空间位置关系与距离；直观想象

【分析】利用球、圆柱、圆锥、圆台的定义直接求解.

【解答】解：图（1）是球，图（2）是圆柱，图（3）是圆锥，

.•.图形中有圆柱、球和圆锥.

故选：B.

【点评】本题考查几何体形状的判断，考查球、圆柱、圆锥、圆台的定义等基础知识，是基

础题.

6.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴（虚线）旋转一周，形成的几何体为（）

A.一个球B.一个球挖去一个圆柱

C.一个圆柱D.一个球挖去一个长方体

【答案】B

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【专题】对应思想；定义法；立体几何；直观想象

【分析】由旋转体的概念知该几何体是一个球挖去一个圆柱剩余的部分.

【解答】解：由题意知，该旋转体是一个球挖去一个圆柱剩余的部分.

故选：B.

【点评】本题考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题.

7.在直观图中，四边形O4EC为菱形且边长为2c机，则在坐标系xOy中原四边形

OABC为矩形（填形状），面积为—arc.

【考点】平面图形的直观图

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学运算

【分析】根据题意，由斜二测画法还原四边形OLBC,据此分析可得答案.

【解答】解：根据题意，在尤Oy坐标系中，四边形。4BC如图：

则原四边形OABC为矩形，

其中Q4=2,OC=4,则其面积为4x2=8a",

故答案为：矩形；8.

【点评】本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题.

8.如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为11,互相平行的两个侧面的距离为加,

则这个六棱柱的体积为（）

【考点】LF-棱柱、棱锥、棱台的体积

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何

【分析】根据正六边形的性质求出底面边长，利用矩形的面积得出棱柱的高.

【解答】解：设正六棱柱的底面边长为。，高为九

则;=1,解得h=

=132

六棱柱的体积V=—X（―）2X6X—.

4324

故选：B.

【点评】本题考查了正棱柱的结构特征，棱柱的体积计算，属于基础题.

9.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32万，则母线长为（

）

A.2B.242C.4D.8

【答案】C

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【专题】转化思想；定义法；立体几何；逻辑推理；数学运算

【分析】利用圆台的侧面积公式，列出关于母线长的方程，求解即可.

【解答】解：设圆台的母线长为/,上、下底面半径分别为r,R,

因为圆台的侧面积是32万，

所以32万=万&+尺）/=2"产，

解得尸=16,

所以/=4.

故选：C.

【点评】本题考查了旋转体的理解与应用，解题的关键是掌握圆台的侧面积公式，考查了运

算能力，属于基础题.

10.设正方体的表面积为24c加，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（）

338343

A.万cmB.6cmC.—TIcmD.—ncm

33

【答案】D

【考点】LG：球的体积和表面积

【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离

【分析】根据已知中正方体的全面积为24。加，一个球内切于该正方体，结合正方体和圆的

结构特征，求出球的半径，代入球的体积公式即可求出答案.

【解答】解：,正方体的全面积为24c病，

正方体的棱长为2cm,

又一球内切于该正方体，

这个球的直径为2皿，

则这个球的半径为1加，

，球的体积V=—cm3，

3

故选：D.

【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据正方体和圆的结构特征，求出球的半径，

是解答本题的关键.

二.基本图形位置关系

11.下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.过一条直线的平面有无数个

C.两条直线确定一个平面

D.两个相交平面的交线是一条线段

【答案】B

【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】综合法；直观想象；空间位置关系与距离；转化思想；计算题；方程思想

【分析】根据题意，由平面的基本性质依次分析选项是否正确，即可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,不共线的三点确定一个平面，A错误；

对于过一条直线的平面有无数个，3正确；

对于C,平行或相交的两条直线确定一个平面，3错误；

对于。，两个相交平面的交线是一条直线，。错误；

故选：B.

【点评】本题考查平面的基本性质，涉及确定平面的方法，属于基础题.

12.设平面a//平面£,直线auc,直线则直线a,。的位置关系为（）

A.平行B.相交C.异面D.平行或异面

【答案】D

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】直观想象；综合法；整体思想；空间位置关系与距离

【分析】由两平行平面内两直线的位置关系得答案.

【解答】解：由平面a//平面〃，直线aua,直线6u6，得直线a,。的位置关系为平

行或异面.

故选：D.

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，是

基础题.

13.如果直线a//平面e，那么直线a与平面a内的（）

A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.无数条直线不相交D任意一条直线不相交

【答案】D

【考点】直线与平面平行

【专题】阅读型

【分析】根据直线与平面平行的定义可知直线与平面无交点，从而直线与平面内任意直线都

无交点，从而得到结论.

【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点

•直线a//平面直线。与平面a没有公共点

从而直线a与平面0内任意一直线都没有公共点，则不相交

故选：D.

【点评】本题主要考查了直线与平面平行的性质，以及直线与平面平行的定义，同时考查了

推理能力，属于基础题.

14.若直线a在平面/外，则（）

A.allyB.a与7至少有一个公共点

C.aQ/=AD.。与7至多有一个公共点

【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】11：计算题；38：对应思想；40：定义法；5F：空间位置关系与距离

【分析】推导出直线。//平面/或直线a与平面/相交，从而。与/至多有一个公共点.

【解答】解：•直线。在平面/外，

直线aII平面y或直线a与平面/相交，

直线a//平面/时，。与/没有公共点，

当直线。与平面/相交时，。与/有一个公共点.

，a与/至多有一个公共点.

故选：D.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线与平面的位置关系的应用，考查推理论证能

力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合

思想，是中档题.

15.给出下列四个命题，其中正确的是（）

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；

②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；

④空间四条直线。，b,c,d,如果a//A,did,且a//d,那么6//c.

A.①②③B.②④C.③④D.②③

【答案】B

【考点】命题的真假判断与应用

【专题】计算题；空间位置关系与距离

【分析】①在空间若两条直线不相交，则它们平行或异面；②由平行公理知②正确；③一条

直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交或异面；④由平行公理知④正

确.

【解答】解：①在空间若两条直线不相交，则它们平行或异面，故①不正确；

②由平行公理知：平行于同一条直线的两条直线平行，故②正确；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交或异面，故③不正确；

④空间四条直线a,b,c,d,

如果a//6,did,且a//d,

那么所以H/c.故④正确.

故选：B.

【点评】本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意平行公理的合理运

用.

16.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面c内，把这块矩形木板绕转动，

在转动的过程中，的对边CD与平面a的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.在平面。内D.平行或在平面。内

【答案】D

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系

【专题】分类讨论；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理

【分析】当CDutz时，8在a内，当CDUa时，CD//a.

【解答】解：AB//CD,ABua,

二当。Due时，8在a内，

当时，CD//a.

故选：D.

【点评】本题考查空间中线面位置关系有关的命题的判断，考查空间位置关系等基础知

识，考查推理论证能力，是基础题.

17.已知平面a〃平面/?,直线a//平面口，直线6//平面£,则。与b的位置关系可能

是（）

A.平行或相交B.相交或异面

C.平行或异面D.平行、相交或异面

【答案】D

【考点】空间中直线与直线之间的位置关系

【专题】综合题；空间位置关系与距离

【分析】利用平面与平面，直线与平面的位置关系，即可得出结论.

【解答】解：■平面a//平面/，直线a//e,直线。//〃，

a与6共面时，平行或相交；异面时都成立.

故选：D.

【点评】本题考查平面与平面，直线与平面的位置关系，比较基础.

18.如图，在正方体ABC。-A4G2中，E、F、G、H分别为例、AB.BB{.B©

的中点，则异面直线EF与G/f所成的角等于（）

60°C.90°D.120°

【答案】B

【考点】异面直线及其所成的角

【专题】计算题

【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点3,得到的锐角就是异面直

线所成的角，在三角形ABC】中求出此角即可.

【解答】解：如图，连48、BC1、4G，则A8=8G=aG，

且斯//42、GH//BQ,

所以异面直线。与G”所成的角等于60。,

故选：B.

【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证

能力，属于基础题.

19.如图所示，若斜线段4?是它在平面。上的射影30的2倍，则4?与平面。所成的角

是（）

A.60°B.45°C.30°D.120°

【答案】A

【考点】直线与平面所成的角

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间角；数学运算

【分析】根据题意，得到49,平面e,推出N4BO即为钻与平面a所成的角，再由题中

条件，即可求出结果.

【解答】解:因为斜线段至是它在平面。上的射影30的2倍，

所以AO_L平面a,AB=2BO,所以

因此NABO即为钻与平面c所成的角，

故选：A.

【点评】本题考查了线面角的计算，属于基础题.

20.设机、〃是两条不同的直线，a＞力是两个不同的平面，则下列命题正确的是()

A.若nJla,则《?///B.若m!I(3,则a//£

C.若〃?//",,贝!J〃_LaD.若m11a,a1/3,则根_1_月

【答案】C

【考点】2K：命题的真假判断与应用

【专题】5F：空间位置关系与距离

【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断

3的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断。的

正误.

【解答】解：A、ml/a,n/la,则机//〃，