高二数学期末模拟卷+人教A版2019选修二+三全部+一轮复习集合+函数+-金卷+2023-2024学年高中下学期期末模拟考试含解析

高二数学期末模拟卷+人教A版2019选修二+三全部+一轮复习集合+函数+-金卷+2023-2024学年高中下学期期末模拟考试2023-2024学年高二年级数学下学期期末模拟卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。5.考试范围：选择性必修2、选择性必修3（数列、导数、计数原理、随机变量及其分布、成对数据分析）第Ⅰ卷选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则的子集个数是（）A.3 B.4 C.8 D.162.已知，向量，且，则在上的投影向量为（）A. B. C.5 D.3.某学校运动会男子决然中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第百分位数为，则B.若该八名选手成绩的众数仅为，则C.若该八名选手成绩的极差为，则D.若该八名选手成绩的平均数为，则4.若，函数为奇函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）A．B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．记第n行的第个数为，则D．第20行中第8个数与第9个数之比为6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A.96种 B.132种 C.168种 D.204种7.已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.8.已知函数的最小值为，则（）A. B.1 C.2 D.3选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁10.给定一组数：，且的平均数和方差分别为和，则下列说法正确的是（）A.，，…，的平均数为21B.，，…，的方差为5C.0，，，…，，30的平均数为11D.0，，，…，，30的方差为49.811.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（）A. B.C. D.第Ⅱ卷填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数，则______.13.若展开式中的常数项为，则实数______.14.已知函数，若，则实数的取值范围是_____.解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式;（2）求.16.（15分）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求的大小；(2)若平分交于且，求面积的最小值.17.（15分）立德中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，（1）写出，，的值;（2）求与的关系式，并求;（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为，求的期望.18.（17分）如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，平面.（1）求证：平面平面；（2）如果，且三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.19.（17分）已知函数．（1）证明曲线在处的切线过原点；（2）讨论的单调性；（3）若，求实数的取值范围．2023-2024学年高二年级数学下学期期末模拟卷02数学·参考答案第Ⅰ卷选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678CBAADCCA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011CDACDABD第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12##0.213．114．三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.(13分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，（2）根据等差数列求和公式即可求解.【小问1详解】由题意(1)由(1)(2)可得所以【小问2详解】，，，故为等差数列，.16.(15分）【答案】(1)；(2).【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得.（2）根据已知条件求得或，结合基本不等式求得三角形面积的最小值.【解析】（1）依题意，，则，故，则，，，由于，所以，所以，则为锐角，且.（2）依题意平分，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，所以，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，在三角形中，由余弦定理得，所以，整理得，所以或.当时，三角形是等边三角形，，，，所以.当时，，当且仅当时等号成立，所以三角形.综上所述，三角形面积的最小值为.17.(15分）【答案】（1），，；（2），；（3）4【解析】【分析】（1）分析传球的情况，写出，，的值；（2）分析传球次时的情况，得到与的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出新数列的通项公式，从而得到的通项公式；（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出.【小问1详解】传球一次，球一定不在甲手中，所以；传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲乙甲，甲丙甲，所以；传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，此时传给甲的概率为，所以.【小问2详解】传球次时球在甲手中，说明传球次时球不在甲手中，概率为，此时，传球给甲的概率为，所以有，所以，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，故与的关系式为，.【小问3详解】的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，有两种情况，甲乙丙，甲丙乙，所以，若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，即，解得，所以的期望为4.18.(17分）【答案】（1）证明过程详见解析.（2）二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）易得，由线面垂直的性质证明，再根据线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）易得两两垂直，求出，以点C为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】分别是侧棱的中点，，，平面，平面，，又平面，平面，又平面，平面平面.【小问2详解】平面，平面，，，又由题意得是等腰直角三角形，，此时易算三棱锥体积为：，故符合题意.平面，，平面，又平面，，两两垂直，如图，以点C为原点，建立空间直角坐标系，则，故设平面的法向量为，则有，可取，平面，即为平面的一条法向量，故，由三棱锥的体积和法向量的方向可知，二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为.19.（17分）【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可；（2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a的取值，求函数的单调区间;（3）把问题转化为，利用一次函数单调性得，只需证，利用导数研究单调性即可.【小问1详解】由题设得，所以，又因为，所以切点为，斜率，所以切线方程为，即恒过原点．【小问2详解】由（1）得，①时，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减；令，则②且时，即时，，在上单调递增，时，，，则，或，得所以在上单调递增，在上单调递增；，则，则，所以在上单调递减，③时，，则，则，所以在上单调递减；，则，所以在上单调递增，综上：时，在上单调递增；在上单调递减；时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递增；在上单调递减，时，在上单调递减；在上单调递增，【小问3详解】当时，，即，下面证明当时，，，即证，令，因为，所以，只需证，即证，令，，，令，，令，，与在上单调递减，所以在上单调递减，，，所以存在，使得，即，所以，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，，，令，时，所以在上单调递增，所以，所以，，所以在上单调递减，，，，，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，综上所述．【点睛】第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当时的函数值比较，从而得到结论.2023-2024学年高二年级数学下学期期末模拟卷02数学·全解全析第Ⅰ卷选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则的子集个数是（）A.3 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】化简集合，求出判断子集个数.【详解】，，，所以的子集个数为个.故选：C.2.已知，向量，且，则在上的投影向量为（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】由，则有，即，则，故.故选：B.3.某学校运动会男子决然中，八名选手的成绩（单位：）分别为：，，，，，，，，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第百分位数为，则B.若该八名选手成绩的众数仅为，则C.若该八名选手成绩的极差为，则D.若该八名选手成绩的平均数为，则【答案】A【解析】【分析】举反例判断A，利用众数和平均数定义判断B、D，分情况讨论判断C.【详解】对A：因为，当，八名选手成绩从小到大排序为：，，，，，，，，故该八名选手成绩的第百分位数为，但，故A错误；对于B：由众数是出现次数最多的数据，故该八名选手成绩的众数仅为，则，故B正确；对于C：当，极差为，不符合题意；当，极差为，符合题意；当，极差为不符合题意，综上若该八名选手成绩的极差为，则，故C正确；对于D：平均数为，解得，故D正确.故选：A4.若，函数为奇函数，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性.【详解】因为，所以，所以，所以此时是奇函数，所以p是q的充分条件.若是奇函数，则，即，所以，即所以p是q的不必要条件.综上得：p是q的充分不必要条件.故选：A.5.习近平总书记在“十九大”报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（

）A．B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C．记第n行的第个数为，则D．第20行中第8个数与第9个数之比为【答案】D【分析】根据题意，归纳可得：第行的第个数为，由组合数的性质依次分析选项是否正确，综合可得答案．【详解】根据题意，由数表可得：第行的第个数为，由此分析选项：对于A，，A错误；对于B，第2023行中从左往右第1013个数为，第1014个数为，两者不相等，B错误；对于C，记第行的第个数为，则，则，C错误；对于D，第20行中第8个数为，第9个数为，则两个数的比为，D正确．故选：D．6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A.96种 B.132种 C.168种 D.204种【答案】C【解析】【分析】对其余位主播分两种情况讨论，按照先分组、再分配的方法计算可得.【详解】依题意其余位主播有两种情况：①位主播去一个景点，位主播去另外一个景点；②分别都是位主播去一个景点；所以不同游玩方法（种）.故选：C7.已知数列满足点在直线上，的前n项和为，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得数列是等差数列，根据等差数列的求和公式求出，从而可得，设，利用导数研究其单调性，结合即可求解.【详解】因为数列满足点在直线上，所以.因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，则.设，则，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.又，，所以，即的最小值为.故选:C.8.已知函数的最小值为，则（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】先由二倍角的余弦公式，辅助角公式化简，再由与相交的两个交点的最近距离为，结合解出即可.【详解】，因为，所以，因为当时，对应的的值分别为，所以与相交的两个交点的最近距离为，又的最小值为，所以，即，故选：A.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效问卷4000份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（）A.a＝0.028B.在4000份有效问卷中，短视频观众年龄在10~20岁的有1320人C.估计短视频观众的平均年龄为32岁D.估计短视频观众年龄的75%分位数为39岁【答案】CD【解析】【分析】根据频率和为可构造方程求得，可判断A；由频率和频数的关系可求得观众年龄在岁的人数，可判断B；由平均数和百分位数的计算方法可验证CD.【详解】对于A，∵(0.015＋0.033＋a＋0.011＋0.011)×10=1，∴a=0.03，故A错误；对于B，由频率分布直方图，短视频观众年龄在10～20岁的对应频率为0.15，∴短视频观众年龄在10~20岁的有4000×0.15=600(人)，故B错误；对于C，平均年龄为＝(0.015×15＋0.033×25＋0.03×35＋0.011×45＋0.011×55)×10=32(岁)，故C正确；对于D，设75%分位数为x，由年龄在10~20岁和20~30岁两组频率是(0.015＋0.033)×10=0.48，又年龄在10~20岁和20~30岁，30~40岁三组频率是(0.015＋0.033+0.03)×10=0.78，所以75%分位数位于年龄在30~40岁这一组，则0.015×10＋0.033×10＋(x-30)×0.03=0.75，解得x=39，故D正确.故选：CD.10.给定一组数：，且的平均数和方差分别为和，则下列说法正确的是（）A.，，…，的平均数为21B.，，…，的方差为5C.0，，，…，，30的平均数为11D.0，，，…，，30的方差为49.8【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数的计算公式，可判定A正确；根据方差的计算公式，可求得B错误；根据平均数的计算公式，求得，可判定C正确；将和作为一组，中间8个数作为另一组，结合，可判定D正确.【详解】对于A中，由题意得，所以，所以A正确；对于B中，由题意得，所以，所以B错误；对于C中，，所以C正确；对于D中，将和作为一组，其平均数和方差分别为，，将中间8个数作为另一组，其平均数和方差分别为，，由C知，，所以D正确．故选：ACD．11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意，，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.【详解】因为，令得：，又因为，所以，故A正确；因为是定义域为的奇函数，所以，且为偶函数.令，可得：①再用代替可得：②①②得：所以：，所以是周期为3的周期函数，所以：，故B正确.因为：，，所以：，所以：，故C错误；又因为亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以令，可得：，所以.所以：.故D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：对于可导函数有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数.若定义在上的函数是可导函数，且周期为，则其导函数也是周期函数，且周期也为.第Ⅱ卷填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若复数，则______.【答案】##0.2【解析】【分析】根据复数的乘方及除法运算可得，进而可得，根据乘法运算即可求解.【详解】，所以，.故答案为：13.若展开式中的常数项为，则实数______.【答案】【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，代入可得，解得.故答案为：.14.已知函数，若，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式.【详解】的定义域为，又在上单调递增，所以在上单调递增，由，得，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（13分）已知等差数列的公差不为零，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式;（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，（2）根据等差数列求和公式即可求解.【小问1详解】由题意(1)由(1)(2)可得所以【小问2详解】，，，故为等差数列，.16.（15分）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求的大小；(2)若平分交于且，求面积的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）结合三角形的内角和定理、诱导公式化简已知条件，由此求得.（2）根据已知条件求得或，结合基本不等式求得三角形面积的最小值.【解析】（1）依题意，，则，故，则，，，由于，所以，所以，则为锐角，且.（2）依题意平分，在三角形中，由正弦定理得，在三角形中，由正弦定理得，所以，由正弦定理得.在三角形中，由余弦定理得，在三角形中，由余弦定理得，所以，整理得，所以或.当时，三角形是等边三角形，，，，所以.当时，，当且仅当时等号成立，所以三角形.综上所述，三角形面积的最小值为.17.（15分）立德中学篮球训练营有一项三人间的传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，（1）写出，，的值;（2）求与的关系式，并求;（3）第1次仍由甲将球传出，若首次出现连续两次球没在甲手中，则传球结束，记此时的传球次数为，求的期望.【答案】（1），，；（2），；（3）4【解析】【分析】（1）分析传球的情况，写出，，的值；（2）分析传球次时的情况，得到与的关系式，利用待定系数法，构造新数列，求出新数列的通项公式，从而得到的通项公式；（3）分析传球两次结束的情况，以及传球两次后求回到甲手中的情况，列出关系式，求出.【小问1详解】传球一次，球一定不在甲手中，所以；传球两次，球在甲手中时，有两种情况，甲乙甲，甲丙甲，所以；传球三次，球在甲手中，说明传球两次时球不在甲手中，概率为，此时传给甲的概率为，所以.【小问2详解】传球次时球在甲手中，说明传球次时球不在甲手中，概率为，此时，传球给甲的概率为，所以有，所以，所以，因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，故与的关系式为，.【小问3详解】的最小取值为2，表示传球2次后，球连续两次不在甲手中，有两种情况，甲乙丙，甲丙乙，所以，若传球2次后，球在甲手中，则回到了最初的状态，所以有，即，解得，所以的期望为4.18.（17分）如图，在三棱锥中，分别是侧棱的中点，，