河南省九师联盟2024届高三年级下册5月联考数学试题（含答案与解析）

河南省九师联盟2024届高三下学期5月联考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：高考范围.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={0，1，2,3},8={心=坨（*+2°时则A|B=（）

A.(0,1,2)B.{1,2,3)c.{0}D.{0,1}

2.若复数z=l+i,则—+1=()

Z+1

A.1B.75c还D.亚

55

3.在矩形ABCD中，AB=(1,2),AC=(x,0),则矩形ABC。的面积为（)

A5B.10C.20D.25

4.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有（）

A.240种B.192种C.144种D.96种

12

5.记_48。的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,b=C+3C+9，/A3C的平分线交边

AC于点且比）=2,则Z>=()

A.2亚B.2币C.6D.3币

6.已知圆台Q的上、下底面半径分别为弓，2，且々=2。若半径为出的球与。的上、下底面及侧面均

相切，则Q的体积为（）

i—r-ZO7L儿

A.7A/3TIB.8A/3TIC.D.

7.已知函数/(x)=3sin12x-，4cos12X-£|,将/*)的图象向左平移卷个单位长度后，得到函数

g(x)的图象.若毛，4是关于x的方程g(x)=a在0,]内的两个不同的根，则sin['+X]+X2)=()

8.已知函数〃x)=G；2+(a—2)x—Inx,a>Q,若函数〃九)没有零点，则。的取值范围是()

<11

A.(1,+co)B,(2,+s)C.-,3D.(1,3)

12)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确是()

A.已知变量x,y的线性回归方程9=O.3x—无，且9=2.8,则元=T

B.数据4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%分位数为11

C.已知随机变量X〜3(7,0.5),尸(X=左)最大，则上的取值为3或4

D己知随机变量X〜N(O,1),尸(X21)=。，则p(—i<x<0)=；—?

10.下列函数中，最小值为1的是()

A./(x)=sin4x+cos2xB./(x)=—------1--------------

sinx+1cosx+2

7

C./(%)=2sinx+2cosx+sinxcosx+—D./(x)=|sinx|+1cosx|

11.在平面直角坐标系xOy中，P为曲线£:(/+丁2)3=8//(孙20)上任意一点，则()

人.£与曲线冲=1有4个公共点：6.2点不可能在圆。：炉+丁2=2外

C.满足x°eZ且为eZ的点尸有5个D.P到x轴的最大距离为生尼

9

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知/(x)为R上的奇函数，且/(x)+/(2—x)=0,当—1<%<0时，/(x)=2\则

/(2+log25)的值为.

13.已知P,。是抛物线C:y=8x上的两个动点，A(2,4),直线AP的斜率与直线A。的斜率之和为4,

若直线尸。与直线/：%—y+l=O平行，则直线PQ与Z之间的距离等于.

14.如图，在平行四边形ABCD中，DC=V2AD=42AC=4-AB=4AF=4EC,且石尸交AC于点

G,现沿折痕AC将八位)。折起，直至折起后DCLBC,此时_£FG的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可

知,甲打出8环、9环、10环的概率分别为060.3,0.1,乙打出8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,

且甲、乙两人射击的结果相互独立.

(1)在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率；

(2)若进行三场比赛，其中X场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望.

16.如图所示，在三棱锥P—ABC中，Q4与AC不垂直，平面平面ABC,PA±AB.

(1)证明：AB1AC-,

(2)若K4=PC=A6=AC=2,点M满足=，求直线AP与平面A&0所成角的正弦值.

17.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，q=l,g=3,Sn+l+Sn_1=2(S；J+1)(«>2)

(1)求s〃；

(2)若S=4"C0S5+1)兀,求数列也}前1012项和62.

an,an+\

22

18.已知双曲线E:二―二=l(tz>Q,b>0)的右焦点为F,左、右顶点分别为M,N,点P(x0,y0)(x0牛土a)

ab

是E上一点，且直线PM,尸N的斜率之积为g.

b

(1)求一的值；

a

(2)过户且斜率为1的直线/交E于A,B两点，O为坐标原点，C为右上，点，满足

OC=WA+OB^ABC的面积为2，求E的方程.

19.已知函数/(%)=alnx+L(a。0).

(1)若/(x)>a对xe(0,+oo)恒成立，求。的取值范围；

(2)当。=3时，若关于x的方程内>)=———+4%+/,有三个不相等的实数根毛，巧，W，且西<

x2

/<%3，求b的取值范围，并证明：%3-Xj<4.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合4={0，1，2,3},8={加=联-/+20必,则4B=()

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{0}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】先求函数y=lg(-V+20x)的定义域，再根据对数函数的单调性求出其值域，最后利用集合的交

集定义即得.

【详解】对于y=lg(—人+20为,由一炉+20%>()可得0<%<20,

又因-X?+20x=-(x-10)+100,故得0<-炉+20%<100,

则有lg(—V+20x)V2,故5=(—a,2],则AB={0,1,2).

故选：A.

2.若复数z=l+i，则；+1=()

z+1

AA.1BR.7/57cC.-2-遥-----nL).--------

55

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的四则运算先化简‘+1,再求其模长即得.

Z+1

2+2i_(2+2i)(2—i)62.

【详解】+1=—+—i

Z7T2+i(2+。(2-。55

故选:D.

3.在矩形A3CD中,AB=(1,2),AC=(x,0),()

A.5B.10C.D.25

【答案】B

【解析】

【分析】求出AO=(尤—1,—2),利用益.明=0求出尤的值，即可求得|AD|,结合|45|=0，即可求

得答案.

【详解】由四边形A3CD为矩形，得4。=3。=4^一/止=(X-1,-2)；

由AB.A£)=0，得1x(%—l)+2x(—2)=0,解得x=5,从而AD=(4,—2),

所以|45|=6，|AD|=同，所以矩形A3CD的面积为有x而=10.

故选：B.

4.6人站成一排，其中甲、乙两人中间恰有1人的站法有()

A.240种B.192种C.144种D.96种

【答案】B

【解析】

【分析】先排甲乙，再选一人排在甲乙中间，最后进行全排列即可得.

【详解】先对甲、乙两人进行排列有A；种，然后从剩下的4人中选1人站甲、乙两人中间有C；种，

最后将甲、乙和中间的那个人看成1个元素，与其他3个元素进行全排列有A：种，

所以不同的站法有A；C；A：=192种.

故选：B.

12

5.记；ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,b=c+3c+9，/ABC的平分线交边

AC于点。，且皮）=2,则Z?=（）

A.2加B.2币C.6D.3百

【答案】D

【解析】

1771

【分析】根据题意，利用余弦定理求得cos3=-得到3=可，结合SMBCMSOBD+SABCD，列出方

程求得c=6,再利用余弦定理，即可求解.

【详解】因为4=3及Z;2=02+3c+9，可得力2=+°2+ac,

〃242_序1

由余弦定理得cos3=巴士——=

2ac2

2n

又由0<5<兀，所以3=—,

3

因为工的。=S4ABD+S^BCD，即gacsinNABC=gB£）-（a+c）sinZAB£），解得c=6,

24_

由余弦定理得廿=62+32-2x6x3xcos—=63,即6=3«.

故选：D.

6.已知圆台Q的上、下底面半径分别为弓，4，且4=2。若半径为出的球与。的上、下底面及侧面均

相切，则Q的体积为（

26兀287r

A.7百兀B.8后D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆台的轴截面图，利用切线长定理结合圆台和球的结构特征求解小2，然后代入圆台体积公

式求解即可.

【详解】如图，设Q的上、下底面圆心分别为a,o2,则。的内切球的球心。一定在aa的中点处.

设球。与O的母线A8切于M点，则OM=OO[=(X)2=6

AM=rx,BM=r2,所以48=4+马=34・过A作AG_LBO2，垂足为G,

则3G=々-4=6，由AG?=AB2_BG2,得12=(3/])?-片=8片，所以片=|＞，4=6,

所以Q的体积为g|■兀+6兀+J|•兀・6兀]x2G=7j§7i.

故选：A.

7.已知函数/(x)=3sin12x-，4cos12x-£|,将了⑺的图象向左平移看个单位长度后，得到函数

g(x)的图象.若毛，%是关于x的方程8(工)=口在0,]内的两个不同的根，则sin[3+X]+X2)=()

3344

A.--B.-C.一一D.-

5555

【答案】C

【解析】

【分析】利用辅助角公式化简〃x),根据图象的平移变换可得g(x)的表达式，再结合题意利用正弦函数的

7T

对称性可得%+马二万+0，即可求得答案.

【详解】/(x)=3sin]2x-jj-4cosf2x-j71j=5sinf2x-兀^-(p\,

33

471、

其中。为辅助角，sin,cos夕=

贝UgOO=/1%+£)=5sin21%+171)—三71一夕=5sin(2x-cp),

63

■Jl

当xe0,—时，2x_(pe[~(p,Tt_cp\,~(p€-川7l-(PEr4

jr

因为为，巧是关于x的方程g（x）=a在0,-内的两个不同根,

2x,-(p+2%,-CD7C71

所以—------=—=-^^+%=]+夕,

22

因此sin[鼻+X]+%I=sin(兀+夕)=-sin夕=一4

5

故选：C.

8.已知函数/'(xluar2+(a-2)x-lnx,。＞0,若函数了（九）没有零点，则〃的取值范围是（）

A.（l,+oo）B,（2,+oo）C.-,3D.（1,3）

12）

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用导数求出函数/（九）的最小值，再对该最小值的符号分类讨论即得.

【详解】函数/（X）的定义域为（0,+8），求导得

r(x)=2ax+(a-2)--=2#+("-2)1=(以—1)(2"+1),

当1寸，/'（尤）＜0,当xe：,+＜»，，/,（%）＞0,故函数/（%）在上递减，在

上递增,

则当X」时，函数/(%)取得最小值/，］=q，+lna.

若a＞l,则/(x)之/仔［=9+lna〉0+0=0,从而"％)没有零点，满足条件;

kaja

n—1J1L5£_ll4>0-l+lne=0,

若由于/——+ln〃<0+0=0,+n

a⑷162

故由零点存在定理可知/(x)在上必有一个零点，不满足条件.

所以。的取值范围是(1,+e).

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将零点的存在性问题转化为极值点的符号问题，属于较为常规的问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列命题正确的是()

A.已知变量x,y的线性回归方程亍=0.3尤一无，且歹=2.8,则元=T

B.数据4,6,7,7,8,9,11,14,15,19的75%分位数为11

C.已知随机变量X~3(7,0.5),尸(X=左)最大,则左的取值为3或4

D.已知随机变量X~N(0,l),P(X21)=。，则P(—1＜乂＜0)=；—夕

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据回归直线方程必过样本中心点(五亍)求出无，即可判断A,根据百分位数计算规则判断B,根

据二项分布的概率公式及组合数的性质判断C,根据正态曲线的性质判断D.

【详解】对于A：因为回归直线方程必过样本中心点(五亍)，

所以2.8=0.3工—亍，解得元=T，故A正确；

对于B：因为10x75%=7.5,所以75%分位数为从小到大排列的第八个数，即为14,故B错误；

对于C：因为X~8(7,0.5),所以P(X=左)=&＞＜］，，(0V左K7且左eN),

由组合数的性质可知当左=3或％=4时C：取得最大值，则当左=3或％=4时P(X=A)最大，故C正确;

对于D：因为X~N(O,1)且尸(X»l)=p,

所以尸(X<—1)=尸(X21)=p,

则P(-l<X<0)=P(T；X<1)=：口_p(x<-1)-P(X〉1)]=g—p,故D正确.

故选：ACD

10.下列函数中，最小值为1的是()

A./(x)=sin4x+cos2xB.f(x)=——----1---------

sinx+1cosx+2

7

C.f(x)=2sinx+2cosx+sinxcosx+—D./(x)=|sinx|+1cosx|

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A选项，把原式转化为二次型函数/(x)=(sin2x-+；来求最值；

对于B选项，需要用到不等式证明中的代换1法即可；

对于C选项，需要把原式中的sinx+cosx换成/,这样又转化为二次型函数丁=万(/+2)2+1来求最值；

对于D选项，遇到绝对值问题用平方思想，把原式化为/2(x)=l+|sin2x|即可判断.

【详解】对于A,f(x)=sin4x+cos2%=sin4%-sin2%+1=^sin2x-+j，其最小值为q，故A错

误；

对于B,f(x)=~-+—~-=；(~-+—--V(sin2x+1)+(cos2x+2)1

smx+1cosx+24vsinx+1cosx+2JLV1v/J

1八cosx+2sinx+1、1八八cosx+2sinx+1,

41sinx+1cosx+2)4Vsinx+1cosx+2

当且仅当sin2i=l，cos?x=0时等号成立，故B正确；

、r~r~t2—1

对于C.设，=sinx+cosx,ZG[-V2,A/2],则sinxcosx=----，

t2-171

所以y=2/+;一+万=5«+2）2+1,

当"-四时，JU=4-20,故C错误；

对于D,/2（x）=l+|sin2x|>l,又/（x）»0,

k冗

所以当sin2x=0,即》=《-,keZ时，f（^）min=1，故D正确.

故选：BD.

11.在平面直角坐标系xOy中，尸为曲线£:（/+丁2）3=8x2/（孙20）上任意一点，则（）

A.E与曲线孙=1有4个公共点：6.尸点不可能在圆。：/+）；2=2外

C.满足x°eZ且为eZ的点尸有5个D.P到x轴的最大距离为生色

9

【答案】BD

【解析】

【分析】联立方程（f+yy=8/y2与移=1即可判断A；利用基本不等式即可判断B；结合B选项即

/\32222

tn3

可判断C；由（炉+V）-8%歹得/+y--，设7〃=W'n='则关于的方程4+n=2mn

有非负实根，设/（⑼=加一2山〃+/?,利用导数即可判断D.

32

【详解】联立方程（必+/）=8x/与%>=1,解得x=1,y=1或x=—1,y=-1,

所以E与曲线冲=1有2个公共点，A错误；

/22、2

由（必+>]=8/丁2<8",得％2+,2<2,

I2J

当且仅当尤2=V=1时，取等号，故B正确；

由B知闯<、历，故满足/eZ且为eZ的点P仅有（―1,—1）,（0,0）与（1,1）,共有3个，故C错误；

+

由（％y）=8%y得％2+,2=2户“,设加n_yi,

则关于m方程加3+〃3=2加〃有非负实根，

设J(m)=m3-2mn+n3,f\m)=3m2-2n,显然/'(㈤在［0,+8)上单调递增,

2n

由/'(771)=0,得加=~~，则/(加)极小值二f<0,解得〃3〈主，即上，

27.27

所以|y区手，且等号可取到，D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：利用基本不等式得出炉+产<2是判断BC的关键.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知/(x)为R上的奇函数，且/(x)+/(2—x)=0,当—1<%<0时，f(x)=2x,则

/(2+log25)的值为

4

【答案】一-##-0.8

5

【解析】

【分析】由题设条件可得"了)的周期为2,应用周期性、奇函数的性质有42+log?5)=-/(log2d

根据已知解析式求值即可.

【详解】由题设，“2-尤)=-/(尤)=/(-*),故/(2+x)=/(x),即〃尤)的周期为2,

4

且一l<log2M<0,

1-d

所以/(2+1。825)=—2吗，=—二.

4

故答案为：一

13.己知产，。是抛物线C:丁=8x上的两个动点，A(2,4),直线AP的斜率与直线A。的斜率之和为4,

若直线PQ与直线/：x—y+1=0平行，则直线PQ与I之间的距离等于.

【答案】巫

2

【解析】

【分析】设出直线尸。的方程，联立曲线，可得与纵坐标有关韦达定理，借助韦达定理转换题目条件计算可

得直线尸。所过定点，或结合直线PQ与直线/：%-y+l=。平行可得具体方程，后借助平行线间的距离公

式计算即可得..

【详解】法一：

显然直线的斜率不为0,故可设尸。：％=阳+乙

,fy2=8%,,

由<，可得y-8my-St-0,

x=my+t

如图，设尸(%,%),Q(x2,y2),则为+%=8私%为=-8,

所以△>0=>64m2+32。>0=>2m2+/>0，

%-4=X-4=8

“。r.2〜I

所以2(%+%)+16=%%+4(%+%)+16,则%%=—2(%+丫2)，

即/=2相，直线「。：X=冲+2机=m(y+2),故直线尸。恒过定点(0,-2).

故当直线P。与直线x—y+l=。平行时，

两直线之间的距离等于定点(0,-2)到直线x-y+1=0的距离，

g,=|0-(-2)+l|=3V2

法二:

由题意，设PQ:x-y+ni=0,

,y=Sx

由<，得zy9-8y+8加=0,

x-y+m-Q

由A=64-32加>0,解得机<2.

(2\(2、

设尸,Q卷,％,则%+%=8,%%=8加，又A(2,4),

IX)I8)

一…--4-88_8(%+%+8).16

所以“P他yt_2y^_2J1+4%+43V2+4(H+%)+16m+6>

88

由题意，*—=4,解得〃?=-2,故两平行直线之间的距离为11—[2)|=上叵.

m+6yj22

故答案为：逑.

2

14.如图，在平行四边形ABCD中，DC=41AD=41AC=4>AB=4AF=4EC,且ER交AC于点

G,现沿折痕AC将八位)。折起，直至折起后的。此时二EFG的面积为.

【答案】B

4

【解析】

【分析】根据题意，证得即LAB和5c±AC,得到平面2AC,得到平面2AC，平面ABC,

过点E,尸作AC的垂线EM,FN,证得EM上NF,结合EF=EM+MN+NF，求得但同=6,利用

余弦定理和三角形的面积公式，即可求解.

【详解】如图所示，折起前，EF-AB=(ED+DA+AF)-AB=ED-AB+DA-AB+AF-AB

=3x4cos7r+2V2x4cos—+Ix4cos0=0,所以EF_LAB,

4

在直角一AFG中，可得尸G=A尸tan45°=1，

又由EG=FG=1,因为。又因为。。="4。=包。=4,则ADLAC,

由AD//3C,所以BC±AC,

因为ACcC0=C,，。,4。匚平面。4。，则3cl平面2AC,

又因为BCu平面ABC,则平面QAC，平面ABC,

分别过点E,尸作AC的垂线EM,FN,垂足分别为点M,N,则EM工MN,MN工NF,

因为平面2ACc平面ABC=AC,且EMu平面"AC，所以石版，平面ABC,

又因为FNu平面ABC,所以

由EF=EM+MN+NF，

-2-2-2-211।,/—

可得所=EM+MN+NF=-+2+-=3,所以但同=43,

在EFG中,可得cosNEGb=F+F—（^）2=—工，

2x1x12

因为NEG/e（O,兀），所以ZEGE=0,所以S=，xlxlx@=3.

3EFG224

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.甲、乙两人进行射击比赛，每场比赛中，甲、乙各射击一次，甲、乙每次至少打出8环.根据统计资料可

知，甲打出8环、9环、10环的概率分别为060.3,0.1,乙打出8环、9环、10环的概率分别为0.7,0.2,0.1,

且甲、乙两人射击的结果相互独立.

（1）在一场比赛中，求乙打出的环数少于甲打出的环数的概率；

（2）若进行三场比赛，其中X场比赛中甲打出的环数多于乙打出的环数，求X的分布列与数学期望.

【答案】（1）0.3

(2)分布列见解析；0.9

【解析】

【分析】(1)根据题意，得到事件包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环，结合相

互独立事件的概率计算公式，即可求解；

(2)根据题意，得到变量X的可能取值为0』,2,3,得到X~8(3,0.3),求得相应的概率，列出分布列,

求得数学期望.

【小问1详解】

解：设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件4

则事件A包括：甲打出9环乙打出8环，甲打出10环乙打出8环或9环，

则P⑷=0.3x0.7+0.1x(0.7+0.2)=0.3.

【小问2详解】

解：由题可知X的所有可能取值为0』,2,3,

由(1)知在一场比赛中，甲打出的环数多于乙打出的环数的概率为0.3,则乂~8(3,0.3),

所以尸(X=0)=(1—0.3)3=Q343,P(X=1)=C；X0.3X(1—0.3)2=0.441,

P(X=2)=C；x032x(1—0.3)=0.189,P(X=3)=0.33=0.027,

所以随机变量X的分布列为：

X0123

p0.34304410.1890.027

所以期望为E(X)=3X0.3=0.9.

16.如图所示，在三棱锥尸—ABC中，E4与AC不垂直，平面平面ABC,PA±AB.

P

(1)证明：ABJ.AC；

(2)若B4=PC=A3=AC=2,点M满足「B=3P"，求直线AP与平面AQ0所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵昱.

4

【解析】

【分析】(1)由平面？AC,平面ABC,再作PDJ_AC,可证明平面ABC,从而可得

PD±AB,又因为上4LAB,所以可证明A31平面APC，即可证明AB1AC；

(2)利用(1)以A为坐标原点建立如图坐标系，利用等边三角形B4C和等腰直角三角形ABC,很快标

(222百、

出各点的空间坐标，对于点M满足PB=3PM，可用向量线性运算求出A"=，最后利用空

(333?

间向量法来解决直线AP与平面ACM所成角的正弦值.

【小问1详解】

证明：在平面APC中，过点P作AC的垂线，垂足为。.

因为平面K4c，平面ABC,且平面PAC'平面ABC=AC,P£>u平面APC,

所以2平面ABC.又因为ABu平面APC,所以

又PAPD=P,P£>u平面APC,Blu平面APC，

所以A3/平面APC，又ACu平面APC,故AB1AC.

【小问2详解】

由(1)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),5(2,0,0),P(0,l,g),0(0,2,0),故尸8=(2,-1,一代),AC=(0,2,0),

又因为PM=；尸3=［弓，—

3333

21_昱、’222回

所以AM=AP+PM=(O,1,J^)

+~'二'_

333

7

’2226、

即AM=

〔333)

设平面ACM的一个法向量m=（x,y,z）,

m-AC=2y=0,

则222r令z=l，则初=(一6,0,1).

m-AM=—x+—y+—，3z=0,

333

又因为AP=（0,1,、行），设直线AP与平面ACM所成角为6,

，•八I/Ac\ImAr_也

则sin0=cos<m,AP)\=一^।_8

|m|AP-2^2-V

所以直线AP与平面ACM所成角的正弦值为走

4

17.己知数列｛a“｝的前”项和为S“，q=l,g=3,Sn+1+Sn_x=2(S„+1)(«>2)

（1）求s.；

⑵若优=4〃COS5+『求数列也｝的前1012项和62.

an'an+l

2

【答案】⑴Sn=n

【解析】

【分析】（1）根据求和的定义，整理可得数列的递推公式，结合等差数列的基本概念，可得答案;

（2）由（1）整理通项公式，利用裂项相消，可得答案.

【小问1详解】

当“22时，因为S.+I+SRT=2（S.+1）,所以S“+「S”=S”—S“T+2,

即氏+I-4=2-又。2—4=2,所以｛4｝是首项为1,公差为2的等差数列，

n(n-V)d12n(n-l)2

所以=na1+=〃x1H---------=n.

22

【小问2详解】

由(1)知，an=1+2(〃—l)=2n—l,

,4〃cos(〃+l)兀4〃

b---------------------------cos(n+1)兀=[--—+—--|cos(n+l)7i,

(2n-l).(2n+l)(2"-12n+l)

1,“为奇数,

而cos(〃+l)所以+配+

[-1,九为偶数,1012=4+4+4+d+10^1011+4oi2

1

+----------F

2019自+3山-小直

20252025

18.已知双曲线E:5―5=1（。〉0]〉0）的右焦点为F,左、右顶点分别为M,N,点P（x0,%）（玉,丰土a）

ab

是E上一点，且直线PM,PN的斜率之积为

b

（1）求2的值；

a

（2）过尸且斜率为1的直线/交E于A,B两点，。为坐标原点，C为“上一点，满足

OC^AOA+OB^ABC的面积为2A，求E的方程.

【答案】（1）2=好

a5

【解析】

【分析】⑴根据析（为,为）（/W±a）是E上一点得到尤=.（第—"2）,再结合直线尸M,PN的斜率之

a2

积为工即可得到2=且；

5a5

（2）由（1）得到直线/的方程，然后联立直线和双曲线方程，根据OC=2OA+O3得到

%=4王+%2

3，根据点C为E上一点得到（2石+々）2—5（/1%+%）2=5必，再结合双曲线方程和韦达

%=孙+%

定理化简得到力2+44=0,解方程得到2,最后根据.ABC的面积列方程，解方程得到b即可得到双曲

线的方程.

由？（%,为）（/w±。）是E上一点，得毛一耳=1,即北二巴士5,

aba"

人君-6)

由M(—a,0)及N(a,0),得为为/="，

22

X。—Q冗0+QXQ—/x^-aa

由直线PM,PN的斜率之积为工，得＜=所以2=好.

5a5a5

【小问2详解】

由(1),得E的半焦距c=Jq2+炉=向,直线/：y=x—病.

兀2_5y2=5b2

联立彳'厂得4f-10^^+35尸=0，

y=x-yJ6b

△=(—10疯)2—4x4x35/〉o.

5&b

石+々=2

则

35b2

石％=^~

设。心（项，为），由℃“加+。5,得］；：：：；：；

由CE上一点,得只—5*=5^2,则（2石+龙2）2-5（/1%+%）2=5/，

化简，得彳2（片_5y；）+（后一5y；）+22（西无2-5%,2）=5人2，

又在E上，则x；-5y；=5b~,x；一5婕=5b~,

2

又有-Sy%=-5(X]_遍＞)=-4X]X,+5娓1＞山+x2)-30Z?=

22

—35必+75必-30廿=IQb，即有5必力+5必+20Ab~=5b，

整理，得;[2+44=0,解得2=0或2=—4.

当2=0时，OC=OB，则3与C重合，不合题意，故4=—4.

)35b2小

|AB|=A/2|%；-x2\=+x2)--4%j-x2=\/2-4x----=15b

4

|-4x1+x2+4y1-y2-V6Z?|

点C(-4玉+x2,—4%+%)到直线y=x-&b的距离为d=

V2

=4#＞b,

V2V2

所以ABC的面积S=』d|AB|=Lx@x4j^=2jI?b2,

22

由.ABC的面积为2A，得2年b?=2岳,解得尸=1，故E的方程为三―y2=i.

【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定

理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量坐标运算进行转化变形，结合已知条件得出结果.

19.已知函数/O)=oln尤+,(4#0).

X

(1)若/(x)>a对xe(0,+8)恒成立，求。的取值范围；

11

(2)当。=3时，若关于x的方程/(%)=-