2024年河南省高三数学下学期5月模拟联考试卷附答案解析

2024年河南省名校高三数学下学期5月模拟联考试卷

全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1,答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无

效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体

工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合4=y=2*_",8=卜ly=卜则力=8=()

A.(-l,+oo)B.[-1,+8)C.(-1,1]D.[-1,1]

2.已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50,学校计划采用按比例分配的分层

随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个

班优秀学生总人数为()

A.16B.30C.24D.18

3.已知圆锥的底面半径为2,其侧面展开图是一个圆心角为47羊r的扇形，则该圆锥的侧面积为()

A.67tB.8兀C.10兀D.127r

22

4.已知椭圆C：++4=l(a>b>0)的右焦点为尸，短轴长为2百，点M在椭圆上，若I"用的最大值

ab

是最小值的3倍，则椭圆的焦距为()

A.3B.4C.1D.2

5.设S”为数列｛%｝的前〃项和，若2a“-1,则;+：=()

11

A.4B.8C.-D.一

84

6.若sin(a-/?)=，，且tana=2tanQ,则sin(a+£)=()

6

A.且B.变C.1

D.y

223

7.设。=-Insin1,8=cosl,c=L,则()

A.a<c<bB.c<b<aC.a<h<cD.c<a<b

已知F为双曲线。「4=叱。…)的左焦点，P为。左支上的点，A为右顶点，若

眼|=陷=2|叫则。的离心率为()

12

A.—

7B-ic-TD-7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在复平面内，设O为坐标原点，在数zz工对应的点分别为A,B,若勿_L而，则z可能是（）

A.2iB.I-V3iC.百+iD.百-i

10.已知X=?为函数/（'）=。5法X+力（：05.丫（000,6工0）的极值点，则（）

4

A.a=b

B.—x）是偶函数

C./（x）的图象关于直线工=当对称

D./⑴在区间,上单调递增

11.已知圆台002的上下底面半径分别为1，2,高为6，48为下底面圆。2的一条直径，为上底面

圆。।的一条弦，且|C0|=夜，则（）

A.圆台的体积为也

3

B.圆台的母线与下底面所成角为三

6

C.当A,8,C,。不共面时，四面体488的外接球的表面积为16兀

D.充•丽的最大值为2&-1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（--4-2）3的展开式中，工2的系数为（用数字作答）

13.已知的内角A,B,C的对边分别为叫b,c,C=60°,c=7,若。-b=3,0为48中点,

贝1」。。=.

14.已知函数/仕）=入"+5>点A,8在曲线y=〃x）上（A在第一象限），过A,3的切线相

x5,x<0,

互平行，且分别交歹轴于尸，。两点，则愣的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.已知函数/（x）=ax-lnx,且/⑶在x=l处的切线方程是x-y+b=0.

（1）求实数%6的值：

（2）求函数/（制的单调区间和极值.

16.甲、乙两个班级之间组织乒乓球友谊赛，比赛规则如下：①两个班级进行3场单打比赛，每场单打

比赛获胜一方积2分，失败一方积。分；②若其中一队累计分达到6分，则赢得比赛的最终胜利，比赛

结束；③若单打比赛结束后还未能决出最终胜负，则进行一场双打比赛，双打比赛获胜一方积2分，失

2

败一方积。分.已知每场单打比赛甲班获胜的概率为;，每场比赛无平局，不同场次比赛之间相互独立.

(1)求进行双打比赛的概率：

(2)设随机变量X为比赛场次，求X的分布列及数学期望.

17.如图，在四棱锥产一力58中，平面48_1_平面/8。。,。/_148,48〃。。，且

(1)证明：平面产力。_L平面尸4C；

(2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值.

18.在平面直角坐标系屹)，中，已知点尸(1,0),点尸(不位于尸轴左侧)到尸轴的距离为理|尸产|=4+中

(1)求点尸的轨迹方程。；

⑵若圆加(%-m)2+/=毋3>()).与点尸的轨迹有且仅有一个公共点，求办的最大值；

(3)在(2)的条件下，当加取最大值，且d>4时，过户作圆M的两条切线，分别交V轴于48两点，求

面积的最小值.

19.己知｛4｝为单调递增的正整数数列，给定整数〃，若存在不全为0的%/=使得

+x2a^+•--+xna^=t,则称，为〃阶〃维表示数.

(1)若quNeuaQTMQi+a/jNZ),求｛4｝的通项公式，判断2024是否为3阶3维表示数，并说明理

由；

(2)已知卬=1,是否存在演,5,…，兀，使得，同时是。阶〃维表示数，1阶〃维表示数，…，n-l阶〃维表

示数.若存在，求出£/,天,•••,天；若不存在，请说明理由.

1.B

【分析】根据指数函数性质和一元二次不等式的解法求出集合48,然后由集合的并集运算可得.

【详解】由指数函数的值域可得4=(T”)，解不等式1--之0得人[-1』，

所以4U6=[T,+8).

故选：B.

2.C

【分析】利用分层随机抽样及已知，求出三个班级分配到的优秀学生人数即得.

【详解】甲、乙、丙三个班级人数比为4:3:5,由分层随机抽样，三个班级优秀学生名额分别为8,6,

10,

所以高三年级三个班优秀学生总人数为8+6+10=24人.

3

故选：c

3.A

【分析】根据半径求底面周长，由弧长公式可得母线长，然后可得侧面积.

【详解】因为底面半径，・=2,所以底面周长£=2口=4冗，

/=_L=3

又圆锥母线长如一，所以圆锥侧面积S=m7=6兀.

T

故选：A.

4.D

【分析】利用椭圆的几何性质得到关于4。的方程组，解之即可得解.

【详解】依题意，椭圆短轴长为2方，得人=百，则/一°2=从=3，

又川的最大值是最小值的3倍，即。+c=3(a-c),

所以a=2r,所以。=2,。=1,则其焦距为勿=2.

故选：D

5.B

【分析】根据4，S”的关系可得递推公式利用递推公式可得.

【详解】当〃22时，=2nz)_1-l,所以4=5“-=2%,

整理得勺=2《一，所以空@=2'(4+4)=8.

故选：B.

6.D

【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sinacosAcosasin/7,再根据和角公式计算即可.

【详解】因为sin(a-p)=sinacos夕一cosasin夕=一，

6

--c”sina2sin6,八八.八

又tana=2tan尸，即----=------,则sinacos夕=2cosasin尸，

cosacos/?

所以sinacos/?=-,cosasinp=—,

36

故sin(a+Q)=sinacosp+cosasin^=-+—=—.

362

故选：D

7.A

【分析】利用正余弦函数及对数函数的单调性分别判定。力与c的大小即可.

【详解】因为V=sinx在(0,外上单调递增，所以也=sin4<sinl,

又歹=lnx定义域上单调递增，所以Insinl>ln也nacln6=—<-,

222

而y=COSX在(o，m)上单调递减，所以6=cosl>cos]=g,所以

故选:A

4

8.A

【分析】利用给定条件结合余弦定理得到齐次方程，求解禽心率即可.

【详解】

如图，设C的焦距为2c,则|"|=a+c,|尸尸卜等,^\FA\=\PA\=2\PF\f

可知cos/PE4=；,设C的右焦点为不则归用=(£,

由余弦定理得等]+4c2—2x2cx等乂；,

12

整理得(7c-12a)(c+a)=0,所以7c=12*离心率为了，故A正确.

故选：A.

9.ACD

【分析】设z=〃+风凡6wR,根据复数的四则运算以及几何意义可得4(/-62,2就)，*4,-b),再结合

向量垂直的坐标表示分析求解.

【详解】设2=。+%〃,方£1^,则22=/一从+24历土="一历，

可知/(/一62,2。6),3(4-6),即0/=(/_/,勿台),08二(a-b)t

若9J_历，则，(/-〃)+2/(-6)=。(/-3〃)=0,

整理得所以。=0或〃2=3b2,

对比选项可知ACD正确，B错误.

故选：ACD.

10.ABC

【分析】由'=:是导函数的零点，可得。=b判断A选项:由解析式判断奇偶性判断选项B；

利用函数对称性的特征判断选项C；由正弦型函数的单调性判断选项D.

【详解】X=£为函数f(x)=asinX+6cosx(a工0,b工0)的极值点,

4

f,(x)=acosx-bsinx,由/'(：)=0可得a=b,A选项正确；

由于/(%)=asinx+bcosx=a《inx+cosx)=近sink+—,

5

所以x)=J^sin(：—x)=g«cosx是偶函数，B选项正确：

/(与一x)=\/iasin-x4~^卜&asi"=-^x+^1=72tsin(4七

所以/(x)的图象关于直线工=差对称，C选项正确；

4

由于。的正负未知，所以/(x)在区间上的单调性不确定，D选项错误，

故选：ABC.

11.ACD

【分析】对于A选项，直接套用公式计算即可，对于B选项，先做出圆台的轴截面进行判断，对于C

选项，当48与。。异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，根据几何关系确定圆心即

可计算判断，对于D选项，需要建立空间直角坐标系，进行用坐标法计算取值范围.

【详解】对于A选项，圆台体积为gxGx(lx兀+4'兀+JjT金卜当工A选项正确；

根据几何关系，可知圆台的母线与下底面所成角为1，B选项错误；

对C选项，当48与。。异面时，外接球的轴截面大圆刚好是圆台轴截面的外接圆，由几何关系得出

|O闻=|。24=2,即下底面圆心仪刚好为四面体4BC。的外接球球心，则外接球半径为2,表面积为16兀,

C选项正确.

对选项D,需建立空间直角坐标系，由|CO|=亚，可知。C_LO。，不妨设4-2,0,0),8(200),

C(cos9,sine,VJ),则10(—5由40056,6)，所以力。=(2+€050,5山。,石),3。二(一5亩。一2侬。,石)，所以

瑟•丽=-(2+coseX2+sin®)+sinecose+3=-2(sin<9+cos0-l<2x/2-l，D选项正确.

故选：ACD

6

12.6

【分析】因式分解得(x+l)3(x-2)3,分别由(x+l)3和(x-2)3通项相乘得(-2)"55/1,根据加+〃=4

可得.

【详解】(/—X—2，=(x+l)3(x—2)3,

(4+1)3的展开式通项为口产〜(x—2)3的展开式通项为(-2)”C"j,

eRm.(-2)"=(-2)W,

令6-〃?一〃=2,得加+〃=4,

所以/的系数为(一2)C；c；+(-27C；C；+(-2丫C；C；=6.

故答案为：6

13.叵

2

【分析】根据余弦定理可得仍=40,即可利用向量的模长求解返.

2

【详解】由余弦定理，c2=a2+b2-2abcosC=(a-b)2+ah,将。-6=3代入解得M=40,

因为无=，(Z+而)，所以诙2=y+4?+ab=(ad,+3M=上,所以c0=Y区.

2、,4442

故答案为：运

2

3

14.2守

3

【分析】利用给定条件得到［+|卜=3抽，再把目标式化为一元函数，求导研究最值即可.

【详解】易知/'(x)=I2；,设力(孙必)*(今,%)，则芭+5e'=3x；,

3X2,X<0,I2)

7

\BQ\Vl7P~|x|

2所以忸口

设切线斜率为A，则

阴加丽朋2X：3片

设,、卜弓卜则g，a）=（2x_3X：+2）e',

g（x）=>72（">°）6x3

3x

当》£（0尚）时，g'（x）<O,g（*）单调递减，

当时，g'（x）>O，gW单调递增，

所以g（x）的最小值为=史I,所以喀）的最小值为生，

石⑴9I在IV

3

故答案为：空

3

【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是利用给定条件得到（斗+1>'=3区，然后把目标式表

示为,、（*+!）"，求导得到单调性，再求最值即可.

g（x）=>.\

3x

15.⑴a=2,b-1

（2）单调递减区间为（0,单调递增区间为（；,+8）,极小值为l+ln2,无极大值

【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到方程组，解得即可；

（2）由（1）可得/（x）=2x-lnx,利用导数求出函数的单调区间，从而求出极值.

【详解】（1）因为〃x）=G-lnx,所以r（x）=a—L

又〃x）在％=1处的切线方程为y=x+b,

所以/<l）=a-l=l,f（i）=a=\+bt

解得a=2,b=\.

（2）由⑴可得〃x）=2x-lnx定义域为（0,+8）,则/。）=2」=之二1,

XX

当+寸，八x）<0,此时函数〃幻单调递减，

当xe（；,+8）时，八外>0,此时函数〃x）单调递增，

则〃x）在％=1处取得极小值，

所以/（x）的单调递减区间为（of单调递增区间为

8

因此极小值为/（T）=l+ln2,无极大值.

16.⑴:

（2）分布列见解析，£（%）=y

【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可求解；

（2）X的可能取值为3,4,求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.

【详解】（1）设进行双打比赛为事件4甲班前3场获胜2场为事件4,乙班前3场获胜2场为事件4,

所以尸（4）=《界河’

所以P（力2）"；（：卜?=1,

2

所以p（4）二尸（4u4）=P（4）+尸（《）=§.

所以进行双打比赛的概率为2:：

（2）X的可能取值为3,4,

Q（X=3）=（|）+（；）=（,由（1）可知，P（%=4）=|,

X的分布列为:

ZFE

E（X）=；x3+|x4=与，所以X的数学期望为学.

17.（1）证明见解析

（2）半

4

【分析】（1）先由线段关系证力。工8C,结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂

直；

（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.

【详解】（1）由题意48=28=240=280=2,则N4BC=6（T,

因为80=1,48=2,所以N4C8=90°,4C_LBC,

因为平面尸45,平面平面P/18c平面48cz)=48,

且尸彳_L平面尸48,

9

所以平面力8a>,

因为8Cu平面488,所以。4J.BC,

且/CP]尸力二44。,尸4u平面P4C,所以3C_£平面P力C,

又BCu平面P8C,所以平面产力C_L平面?8C；

(2)如图，以/为原点，正刀分别为％轴，V轴正方向，在平面48C。内过点彳作平面力8c的垂线

为z轴，

则尸(1,0,0),B(0,2,0),00,1,#(44

―.一(\y/j

所以辞二(1,0,0),而P5=(-1,2,0),50=0,-py-

设平面尸力。的一个法向量〃[=(x,y,z),

AP=x=0

则《——y>/3z>令2=-1得*=(0,3-1),

n,AD=^-+—=0

122

设平面PBC的法向量第二(m，〃，P)，

n2-PB=-m+2n=0

则｛_____nV3n，令〃=1，得%=(2若，石J),

w,•BC=-----1-----=0

222

设平面P4)与平面阳。的夹角为6,W'Jcos6>=iL^L=2=1

同2x44

所以平面尸力。与平面P3C夹角的正弦值为庐嬴万=巫.

4

18.(1)/=4x

(2)2

(3)32

【分析】(1)设P(xj),利用两点距离公式及点线距离计算即可;

10

（2）联立圆与。方程计算即可；

（3）设4民尸坐标，含参表示圆的切线方程，利用直线与圆的位置关系及同解方程得

a+b=利用三角形面积公式结合基本不等式计算最小值即可.

x

o~4/X；-4x0

【详解】(1)设P(xj),xNO,则|P用=J(x—l)2+y2,d=x,

所以近-炉+产=x+l»

两边平方可得(x-1)2+”=d+2x+l,

整理得/=4x,所以点尸的轨迹方程。为V=4x；

；工;?+力谓可得改4⑶I,

（2）依题意，联立圆〃与C,

解得x=0或x=2川-4,由于仅有一个公共点,

所以2〃L460,解得加42,

所以〃的最大值为2；

（3）不妨设4（0,。）津（0向1小,4）,q>4,显然不=4%,

贝I1直线尸=+直线PB:y=^^x+b,

X。

、,2%+4（%-2）

依题意直线口与圆M：（X-2）2+/=4相切，所以一/^亍-----W=2,

网+（盟-。）

2

整理可得(x；-4%”2+4x0y0a-4x^=0,同理可得(x；-4/)b+4%用一4片二0,

显然不（工0-4）>0,

2

所以a,b为关于％的一元二次方程（片-4x0）x+4%义%-4片=0的两根,

所以六，"

J16片j：+16x；(片-4%)_a6*：+16%卜；一")_4M

贝【JM却=4a+b)2-4ab=

x：-4x。片一4瓦

xx=2lx-4+-^-+8

则△尸"面积为』的X”二X产：00

212汇-4%kxo-4

邛卜i盘+8

32,

当且仅当X。=8时等号成立，所以“相面积的最小值为32.

【点睛】思路点睛：第三间设点4民产坐标，利用斜截式表示圆的切线方程，根据直线与圆的位置关系

得出同解方程，消元转化再结合基本不等式计算即可.

19.（1）6=2〃，2024是3阶3维表示数，理由见解析

⑵当£=0时，不存在不全为0的再,工2,…，怎使结论成立，当，工0时，=t,x2=x3=••==0

【分析】（1）利用给定递推关系求出%=2〃，在利用给定定义判断3阶3维表示数即可.

（2）利用给定定义结合分类讨论思想求解Z/,天,…，升即可.

【详解】（1）由于“川=4Z+4,〃22,因此｛q