福建省竺数教研2023-2024学年高三年级下册质量监测数学试题（含答案解析）

福建省竺数教研2023-2024学年高三下学期质量监测数学试题

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一、单选题

1.某批农产品的质量（单位：千克）服从正态分布，且其中质量大于0.7的数量等于质量

小于0.4的数量，则下列四部分中（）

A.质量小于0.4的农产品数量最多B.质量大于1.09的农产品数量最多

C.质量大于0.7的农产品数量最多D.质量小于0.55的农产品数量最多

2.复数z满足|z-l|=|z+l|,复数s=a+i（aeR）,若zs在复平面上对应的点在第四象限，

则（）

A.z在复平面上对应的点在实轴正半轴上

B.z在复平面上对应的点在实轴负半轴上

C.s在复平面上对应的点在第一象限内

D.s在复平面上对应的点在第二象限内

3.已知等差数列｛%｝的前"项和为S",若。”>0,出+。3=6,则风的取值范围为（）

A.[15,20）B.[15,18）

C.[12,20）D.[12,18）

4.设双曲线C其中一支的焦点为尸，另一支的顶点为4,其两渐近线分别为私".若点、B

在加上，且8尸，私/5，〃，则加与“的夹角的正切值为（）

A.72B.V3C.2D.75

5.若函数〃x）=Nsin2x-3在上有零点，则整数/的值是（）

A.3B.4C.5D.6

6.已知0（机<〃，现有均由4个数组成的甲、乙两组数据，甲组数据的平均数与方差均为

m,乙组数据的平均数与方差均为"，若将这两组数据混合，则混合后新数据的方差（）

A.一定大于〃B.可能等于77

C.一定大于加且小于〃D.可能等于7〃

7.一个底面半径为2的圆锥的轴截面为正三角形，现用平行于底面的平面将该圆锥截成两

个部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在圆锥上的截面面积（）

试卷第1页，共4页

A.3兀B.2缶C.2岳D.2兀

8.已知数列{%},{〃},c是非零常数，若［号］为等差数列，［2］为等比数列，则下列说

法中错误的是（）

A.{an+b,}可能为公差不为0的等差数列

B.{%•4}可能为公比不为1的等比数列

C.,）}可能为公差不为0的等差数列

D.可能为公比不为1的等比数列

二、多选题

9.已知正整数x,n,其中x的因数不包含3,若（尤+3）”的展开式中有且只有6项能被9整

除，则〃的取值可以是（）

A.6B.7C.8D.9

10.已知正方体"CD-44G。，瓦尸分别是边22GA上（含端点）的点，贝!I（）

A.当即〃时，直线EF相对于正方体的位置唯一确定

B.当同尸〃CE时，直线E尸相对于正方体的位置唯一确定

C.当QE〃平面40厂时，直线E尸相对于正方体的位置唯一确定

D.当平面/瓦1//平面4。尸时，直线"相对于正方体的位置唯一确定

11.小竹以某速度沿正北方向匀速行进.某时刻时，其北偏西30。方向上有一距其6米的洒

水桩恰好面朝正东方向.已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为2百米，可视为笔直线段的水柱,

且其沿东一北一西一南一东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动.若小竹不希望被水柱淋湿

且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（）

A.Im/sB.1.2m/s

C.2m/sD.8m/s

三、填空题

试卷第2页，共4页

jr

12.在△45C中，C^—,若cos%=sin8,则Z的取值范围是.

13.设23均为单位向量，且同可按一定顺序成等比数列，写出一个符合条件

的£片的值_________.

14.已知抛物线少:/=2px,/(-2,0),8(2,0),C(4,o),过2的直线交少于M,N两点，若

四边形ZMCN为等腰梯形，则它的面积为.

四、解答题

15.已知函数/'(x)=aln尤-法在处的切线在了轴上的截距为-2.

⑴求。的值；

(2)若「(X)有且仅有两个零点，求6的取值范围.

16.袋子中混有除颜色外均相同的2个白球和2个红球，每次从中不放回的随机取出1个球,

当袋中的红球全部取出时停止取球.甲表示事件“第二次取出的球是红球”，乙表示事件“停

止取球时袋中剩余1个白球”.

⑴求甲发生的概率；

(2)证明：甲与乙相互独立.

17.如图，在三棱锥尸-4BC中，PA±PB,AB±BC,AB=3,BC=V6,已知二面角尸-AB-C

的大小为。，NPAB=8.

⑴求点P到平面ABC的距离；

(2)当三棱锥尸-/3C的体积取得最大值时，求：

(I)二面角尸-AB-C的余弦值；

(II)直线尸C与平面尸48所成角.

18.已知数列㈤｝的前"项和为5“，%=1,数列｛"｝满足区=",且a””均为正整数.

an

(1)是否存在数列｛0“｝,使得｛2｝是等差数列？若存在，求此时的，；若不存在，说明理由;

试卷第3页，共4页

(2)若bn>bn_x,求｛«„｝的通项公式.

19.一个面积为9的正方形的四个顶点均在以坐标原点为中心，以(3,0)为右顶点的椭圆Z

上.

(1)求Z的方程；

(2)记该正方形在第一象限的顶点为尸，斜率为-1的直线/与Z交于/,B两点.记的

外接圆为S.

(I)求S的半径的取值范围；

(II)将Z与S的所有交点顺次连接，求所得图形的最大面积.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】利用正态分布的对称性求得〃=0.55,从而分析得ABC选项对应的概率小于D选

项对应的概率，由此得解.

【详解】因为这批农产品的质量服从正态分布，且其中质量大于0.7的数量等于质量小于0.4

的数量，

所以由正态分布的对称性可知〃==055,

观察各选项，由正态分布的对称性知，质量小于0.55的农产品数量对应的概率为0.5,

其它选项对应的概率都小于0.5,

所以质量小于0.55的农产品数量最多，故D正确.

故选：D.

2.C

【分析】利用复数的几何意义及乘法运算公式计算即可.

【详解】设2=》+.历，由复数z满足匕一1|=匕+1|知(61)2+/=口+1)2+/=》=0,

故2=同，贝|zs=-y+yai,

\~y>0

由2s在复平面上对应的点在第四象限知，/=。>0,

[ay<0

所以S在复平面上对应的点在第一象限内.

故选：C.

3.A

【分析】利用。“>。结合等差数列的性质求解即可.

【详解】••“>0,

6?>0,«；>0

口C7c%一,

H.出+%=2。3—d=2%——6,

3CL

.，.2%=6+d>6,2%=6——<6,

/.3<<4,

故1=5(0；%)=风©[15,20).

答案第1页，共20页

故选：A

4.B

【分析】设双曲线标准方程，由双曲线的特征三角形计算判定|。4=|。同=。，结合条件可

TT

求得NHOA=NBOF=NHOB=—,再求夹角正切即可.

3

【详解】

22

记两渐近线的交点为。，设「-匕=1,双曲线实轴长2a,焦距2c,

a2b2

由双曲线的定义得：O4=a,OF=c,其渐近线方程为：根：了=2了,〃：了=-2-

BF_b

由BF_L加知，,BOa,所以忸月|=七］。同=a,

OF2=OB2+FB2

因为见知〃为4。4的平分线，

记九交4B于点H,

因为渐近线的性质，有NHO4=/BOF,

7T

综上，AHOA=ZBOF=ZHOB=y,则“与"的夹角的正切值为百.

故选:B.

5.C

3

【分析】将函数的零点问题转化为V=sin2x与广三在上的交点问题，求出

y=sin2x的值域即可.

【详解】由于函数/(x)=/sin2尤-3在

所以方程Nsin2x-3=0在［飞■，石J上有实数根，

即尸sin2x与y在但,哥上有交点，

AI812J

令f=2x,则/</<",当当</<”,尸si皿单调递减,

答案第2页，共20页

故在区间上最多只有1个零点,

即上(1内

又sin，G

122J

解得力］3也,6）,由于/是整数，所以4=5.

故选：C.

6.B

【分析】设甲组数据为七«=1,2,3,4）,乙组数据为%«=1,2,3,4）,合并后的数据为z,（i=l...8）,

通过题意求出混合后的方差s/，对于AB：通过计算s/-〃来判断；对于C：通过"-"=0

能否成立来判断；对于D：通过s」-m=0能否成立来判断.

【详解】设甲组数据为毛。=1,2,3,4）,乙组数据为%。=1,2,3,4）,合并后的数据为Z,（i=l...8）

1z=l11z=li=l\

方差,2（玉—加）=12玉2_m2=加,解得Zxj=4（加2+m）,

同理，解得E靖=4（二+"）,

则S」=；f!（z,-，H2T=器2+£23二"止1对于AC：若

混合后的方差大于"，

（加一〃）2+2（加+〃）〃=例一〃+2沏一"）,即（*〃+2乂％〃）>0,

44

由加<〃知，加一〃<0,但加一〃+2的正负不确定，故AC错误；

对于B：若混合后的方差等于必

则（"L〃）2+2（"?+，，）=6即（加一〃+2乂〃L〃）=0,

4

由加<〃知，当且仅当〃=冽+2时，混合后的方差等于〃，符合题意，故B正确；

对于D：若混合后的方差等于a,

则（〃「〃f+2（功+〃）=",即（〃一〃|+2）（〃-"）=0

4

由加<〃知，当且仅当用=〃+2时，混合后的方差等于%,不符合题意；

故选：B

答案第3页，共20页

7.A

【分析】利用圆锥的特征即表面积公式、圆的面积公式计算即可.

【详解】

由题知，平面截圆锥后上半部分为一小圆锥，下半部分为一圆台，

且圆台的上底面即小圆锥的底面，即该平面在原圆锥上的截面；

圆台的下底面即原圆锥的底面.

不妨设圆台上底面半径为小圆台下底面半径为2，

小圆锥母线长为4,原圆锥母线长为4，

由轴截面为正三角形知，-=-=2,

4r2

则小圆锥底面积为跖2,底面周长为2跖，侧面积为/「叫=2兀42,

易知圆台侧面积可看作原圆锥侧面积减去小圆锥侧面积

则圆台侧面积为2兀（1-下底面积为；

由于两部分表面积相等，贝1|叫2+2叫2=叫2+冗片+2兀（片

r22

因为4=2,则

所以截面面积为3兀.

故选:A.

8.B

【分析】根据题意，由等差数列与等比数列的定义与性质对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A选项：当c=l时，｛%,｝为等差数列，若］今:为公比为1的等比数列，则此

时｛"｝为等差数列，｛。,+“｝为等差数列，故A选项正确；

对于B选项：不妨设—^=AT?+S,—^=q"'w0,q片0）,

ccn

则。〃=（而+s）c〃，=%广力«w0,1w0）,

答案第4页，共20页

当。〃二0能成立时，｛4・〃｝不是等比数列;

当%=0不能成立时，anbn=(kn+s)tnc〃+%〃T,

(初+左+s)(〃+l)cq加之+(2左+s)〃+左+s

则以&1•cq,

'a,b“(bt+s)nkn2+sn

因为cq/0,若要使比值是常数，则上+s=0,此时q=0,不合题意;

所以｛%也,｝不可能为公比不为1等比数列，故B选项错误；

对于C选项：当c=l,⑸=1时，同样符合要求，此时嫦

由选项A的分析知，｛，｝可能为公差不为0的等差数列，即｛『”｝可能为公差不为0的等差

数列，故C正确；

对于D选项：当c=l,氏="也=〃2"时，满足1詈｝为等差数列，为等比数列，此时

亍=*,，，为公比不为1的等比数列，D选项正确.

故选：B.

9.AB

【分析】利用二项式定理及其通项公式分类讨论计算即可.

【详解】易知(x+3)"的展开式的第左+1项为C%”号化V〃)，

即当上22时必能被9整除，即至少有n-l项可被9整除，

故转为研究当k=0,1时是否满足题意，

当左=0时，该项为C%"=x",由于x的因数不含3,故无法被9整除；

当左=1时，该项为C；x"Tx3=3〃x"T,

若〃为3的倍数，则该项可被9整除；

若左=1时该项可被9整除，则共有〃项可被9整除，

此时〃=6,为3的倍数，成立，

若％=1时该项不可被9整除，则共有n-1项可被9整除，

此时〃=7,符合题意.

综上，”可以为6或7.

答案第5页，共20页

故选：AB

10.AD

【分析】选项A,利用正方体中的点线关系，即可求解；选项B,在平面/BCD上作4尸的

投影为/公，利用任何满足OE=OG且E,G不重合时，均有EC//AFJ/AF,即可求解；选

项C,设E在直线上的投影为用,利用任何满足Eg=GF的情况，有EE\UABUC\D\,

再利用线面平行的判定定理，即可得到Cg〃平面尸，从而求解；选项D,先确定点尸及

E的位置，利用面面平行的判定定理，证明点尸及E符合题意，并说明唯一，即可求解.

【详解】对于A选项，当且仅当点E与点B重合，且点尸与点G重合时条件成立，故A选

项正确；

对于B选项，如图1,设4尸在平面/BCD上的投影为/片，AFX^BD=G,记2。的中点为

O,

则对于任何满足O£=OG且£,G不重合时，/次月为平行四边形，即有EC//////4尸，

故B选项错误；

对于C选项，如图1,设E在直线上的投影为用,对于任何满足E&=G尸的情况，有

EEJ/AB//CXDX,

所以EE/G为平行四边形，所以GE〃尸片，

又因为尸&u平面/£＞尸，GE江平面/。尸，所以C]E〃平面尸，

故直线E尸的位置无法唯一确定，故C选项错误；

4

H.-：-

图1

对于D选项，如图2,当且仅当尸为G2的中点，取CD中点H,连接/〃口8。=£,

答案第6页，共20页

r）ui

因为多=芸=3,即点E为线段8。上靠近点D的三等分点，

因为477〃4尸，4尸U面&CF,/〃0面4c尸，所以/H7/面4CF,

连接4。，A1DC\AD=F,连接万H,

易知FH//4C,4Cu面4c尸，FHz面4CF,所以EH7/面4CF,

又FHC4H=H,FH,AHu面4EDl，所以平面/EQ//平面&C/,故D选项正确.

故选：AD.

11.BD

【分析】建系，分析危险区域的范围，可知原问题转化为图像/（，）=3tan21,ye卜百,可

/40,，1]-：+3万,：+3”,左€N，与图像y=v-3百的交点问题，结合图象分析求解.

【详解】依题意，绘出示意图如图所示

易知，当且仅当在喷洒范围与行进路线重叠的危险区域内，小竹可能被淋湿.

由于洒水桩最初面朝正东方向，不妨以洒水桩为起点向面朝方向作射线，即可将问题转化为

小竹（用点代替）与该射线在行进路线上的交点不重合的问题.

设时间为/秒

以洒水桩为原点，正东方向、正北方向分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.

■北

行径路线

厂、

西的水桩案

\一。葭/危险位置丁AI

喷洒范围

尸起始位置

则小竹行进路线的方程为x=3,

答案第7页，共20页

由每3秒旋转一周循环转动知t秒旋转子/(rad),

7T

因为/BO。=/AOD=-,

6

结合题意可知，e］+34,7+3左)，左eN,

因为水柱所在射线与行进路线的交点纵坐标为3tan1；f；

又因为小竹(用点代替)的纵坐标为M-36，

故可将原问题转化为图像/(/)=3tan1训，”卜后可

/€(0,；］1(一：+3m：+3,,左€N*,

与图像y=可-3月的交点问题，即求当V为何值时两图像无交点,

斤2

Q—一一一一一一。一一一一一N——————。——

~O11~1所夕)23&5..35V37-►

J4-

y=-国石锵二不埒

-3后

165/3臀,1661

由图可得：ve

25

、'7

结合选项可知：AC错误；BD正确.

故选：BD.

【点睛】易错点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做

到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确

的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的

相关结论求解.

12.［。制

【分析】由题意可得/＜、jr，分与IT两种情7T况讨论可求N的取值范围.

TT

【详解】因为sinB〉0,cosA=sinB,所以cos/〉0,所以4＜万.

IT7T

若B＜3,由cosZ=sin8,可得sinf^—4)=sinB,

答案第8页，共20页

由正弦函数在（0,g）的单调性可得，B=^-A,则c=g,原题设不成立；

7T7r7T

若B>—,同理可得3=N+2,由4+8<兀，解得/e（0,》.

224

故答案为：（0；）.

4

13.5-后（答案不唯一）

4

【分析】设£3的夹角为6,则可计算得卜，=2s呜，归+可=2cos］，再由等比中项定

义可求解.

【详解】由2,5均为单位向量，设的夹角为兀］,则ge0弓，

则Q=COS6,同=1,

j2-2fl-2sin2-X2sin-,

cos9=

\I2)2

@+可=J(3+可2=)2+2cos6=)2+212coem-“=2cog

当同,忖-囚,忖+0成等比数列时，有4sin2g=2cos£n2cos2_1+cosg-2=0,解得

姮匚或3&=亚二（舍），

2424

则由二倍角公式得，COS6>=2COS2--1=5~^,

24

同理，当归+用”.同成等比数列时,解得cos0=-2普，

当忖+司,同,忖-目成等比数列时，有l=4sin纥osg=>，=2singcosg=sin。,此时,

11111I22222

,V3

COSu—±•

2

故答案为：5-M（答案不唯一*）

4

14.9百

【分析】解法一：由几何性质可知：％=-2分，设直线为才=少+2,联立方程结合

韦达定理可得％=4,即可得N（4,2石），进而可求面积；解法二：根据题意结合二级结论

可知/乂13=/他48,分析可知点"的横坐标为1,ZNBC=60°,即可得结果.

【详解】易知M,N的位置交替不影响结论，不妨令图像如图所示以方便研究，

答案第9页，共20页

解法一：由等腰梯形的性质得：AABNS^BCM,相似比为|/同:忸。=2,

所以”=一2%,,

设直线血加为^="+2,与抛物线方程联立，得r-2p什-4p=0,

2

所以"+以=；"=2而，x,-ym=-1K="p,

2

解得笫=7，代入x="+2得=4,

又因为忸N|=|/3|=4,由勾股定理可确定N（4,2g）,

可得。=六=|"Jm=-虫=-6,

2X"2yn

所以AMCN为等腰梯形的面积为J/C卜"-"|=gx3若x6=9百；

解法二：（二级结论）

由题可知，点/、3关于抛物线顶点对称，且弦经过点£

则NN42=N腿42,（二级结论）

又因为NMCN为等腰梯形，

所以4V//CM,则NNCM=NM18,故|/叫=QM，即点M的横坐标为1,

又因为忸叫=忸。=2,所以4®C=60。，

且忸以|=|/用=4,

所以AMCN为等腰梯形的面积为；|/C|•"-刃=3\MN\■sinZNBC=973；

故答案为：973.

【点睛】方法点睛：在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的比例问题时，一般需

利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表

答案第10页，共20页

示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解.

15.(1)2

(2)^efo,|

【分析】(1)借助导数的几何意义计算即可得；

(2)借助函数与方程的关系，可将f(x)有且仅有两个零点转化为方程b=3吧有两个根,

X

构造对应函数并借助导数研究单调性及值域即可得.

［详解］(1)=f(V)=axQ-b^-b,

X

则函数/(x)="lnx-bx在(1J⑴)处的切线为：y+b=(“-b)(x-1),

即)=，令x=0,贝!j有J7=—a=-2,即〃=2；

(2)由Q=2,BPf(x)=21nx-bx,

若f(%)有且仅有两个零点，则方程2lnx-bx=0有两个根，

即方程b=—7In^r有两个根，

令g(x)=2,则g，(x)=2(=Inx),

%X

则当尤e(O,e)时，g'(x)>0,则当xe(e,+8)时，g,(x)<0,

故g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+e)上单调递减，

故g(x)Wg(e)=^^=2,

ee

又x-0时,g(x)f-8,Xf+8时，g(x).O,

故当时，方程b=学有两个根，即/(X)有且仅有两个零点.

16.(1)1;

(2)证明见解析.

【分析】(1)记事件丙为“第一次取出的球是红球”，则尸(甲)=尸(甲丙+甲丙)，由古典概型,

全概率公式求解；

答案第11页，共20页

（2）根据相互独立事件的定义证明尸（甲乙）=尸（甲）尸（乙）.

【详解】（1）记事件丙为“第一次取出的球是红球”，

则尸（丙）=£=：，P（丙）=1-尸（丙）=；,

尸（甲两=£=:,尸（甲闹

JK_Z-2D

所以P（甲）=尸（甲丙+甲丙）=P（丙）X尸（甲I丙）+P（丙）XP（甲|丙）,

贝1］尸（甲）=Lx1+，x2=L

23232

（2）由题意知，乙等价于“停止取球时共取出了1个白球和2个红球”,

且第三次取出的球一定为红球,

故此时取出顺序只有“红、白、红”与“白、红、红”两种可能,

1

3'

其中，甲乙同时发生等价于“白、红、红”的情况,

故尸（甲乙）=1,

0

于是尸（甲乙）=尸（甲）尸（乙），

所以甲与乙相互独立.

17.（1）3（1-cos2^）-cos0

（2）（I）cos0=—

3

,、兀

（II）-

4

【分析】（1）可得尸/=3cos。，PB=3sin6»,过尸作AB的垂线交其于点D,过尸作平面4BC

的垂线交其于点。，可得481平面尸O。，进而可得NPQO为二面角尸-/B-C的平面角，

可求得尸。；

（2）（I）K=^（1-COS20）.COS0,令t=cos6e（0,l）,汽。=半卜73）,利用导数可求

体积的最大值，可求得。；

（II）由（I）求得P0=述,0D=旦,记点C到平面尸/B的距离为〃，利用等体积法求

33

答案第12页，共20页

得h,可求直线PC与平面尸/B所成的角.

【详解】(1)由已知，得尸/=3cos6,PB=3sin^,

过尸作N3的垂线交其于点D,

过P作平面ABC的垂线交其于点0,

因为尸01平面/BC,/8u平面/3C,所以尸O_L/3,

因为PDcPO=P,PDu平面尸O。，尸Ou平面尸8,所以481平面产。。，

因为ODu平面尸OD,所以

所以NPDO为二面角尸-48-C的平面角，ZPDO=6,

PA'PB

故PO=PD-sin-----------sin6=3sin?。•cos0=3（1-cos?。）•cos0；

AB

（2）（I）三棱锥P-/3C的体积为jz='sMe,尸。=L・也■•尸。二3■包-（1-cos?。）cos。，

3c322

令，=cosee（0,l）,则三棱锥尸的体积『（/）=¥（/_〃），

所以『（/）=为（1一3/）,

当~>/⑺>°，Mitef-^-,1^,V'（it）<0,

所以修⑴在［o，Y］上单调递增，在［千,1)上单调递减，

故当%=时，三棱锥的体积最大，此时cose=理;

I3J3

所以二面角P-C的余弦值为世；

3

(II)求得此时体积为夜，可知此时尸。=卷3,OD=^~,

由平面几何知识知。C=口叵，PC=2&，

3

记点C到平面尸的距离为h,

由等体积法可知K==求得力=2,

记直线PC与平面尸所成角为a,则sina=2-=变，即。=：,

PC24

答案第13页，共20页

TT

所以直线PC与平面尸/B所成的角为;.

4

18.(1)存在,S"=n；

⑵4,=1

【分析】(1)利用条件先计算4=1,得。2,根据正整数的性质确定H=2,g=1，假设若

成立可得a=n,再利用巴的关系检验即可；

(2)法一、利用，,巴的关系及递增数列与整数的性质知，-IN，"整理化简可得

%<•••<4=1，即可得结果;法二、利用反证法假设存在一个正整数〃止3,使得％,

根据条件判定超《想t，矛盾.

s

【详解】(1)由题意易知，,=4=1,

ax

%71

当〃=2时，----^=b2^a2=--7,

a2%—1

由4,也均为正整数知，的也为正整数，

则当且仅当仇-1=1即4=2时，的=1，为整数，

若存在数列｛叫，使得也｝是等差数列，则&=4+d=2nd=l,

故a=l+(“-l)xl=〃，此时”为整数，符合题意，

所以S,=，当〃22时，有S0T=(〃T)a“_i,

两式相减得an=nan-(〃-1)%,整理得-1)(%-%)=0,

故。"=an-l，

当n=2时，%=%=1,故。“=1,

经检验，当。”=1时，bn=n,充分性成立，

故存在数列｛与｝,使得｛b,,｝是等差数列.

此时Sn=a"b"=n-

(2)法一、

答案第14页，共20页

因为S“=，当"22时，有ST=,两式相减，

整理得：%(6"-1)=%〃.1，

由递增数列的题意与整数的性质知，bn-\>bn_x,

故1”-1=%

因为4一|30，所以。，Va”i，

则%<a„_1<---<a1=1,

因为。“为正整数，所以。“=L

法二、

假设存在一个正整数m>3,使得am>2

s

S

则4=%=…=〃心=1,m-\=冽_1，超_1=-HL±=m-1,

am-\

7am+m-lm-1,m-\AA

则b=。------=——+}<--+\<m-\=b『i,不符合递增数列的题意,

m%a”,2

故假设错误，不存在这样的正整数机23,使得见22,所以%=1.

19.(1)Z:—+^=1

93

【分析】(1)根据待定系数法求出椭圆方程；

(2)(I)解法一，设直线/：尸f+加，”(国,必),8G2,%)"("/),联立直线/与椭圆Z

的方程，得04/<12,根据圆的定义得双，X?是方程

4x?+4(S-W-M)X+2,7?-4加s+6〃+6s-9=0的两个解，根据韦达定理得〃+s=0,进而得

到〃?=4〃，根据加e(-2月,2百)求出〃的取值范围，然后根据二次函数求出最值即可；解

法二，设直线/：y=-x+M,联立直线/与椭圆Z的方程，得0W/<12,根据正弦定理得

AR

.~2R,利用弦长公式求出45,利用三角函数关系求出sinAPB,根据的取值范围

sin//尸5

3333

即可求出尺的范围，解法三：^lPA'.y=kxx+---kx,lPB-y=k2x+---k2,

答案第15页，共20页

联立直线施与椭圆Z的方程和联立直线力与椭圆Z的方程，分别求出

/、8两点的坐标，求出直线N3的斜率，得尢鱼=；,然后分别求出直线力和尸8的中垂

线方程，利用圆的弦的中垂线的交点即是圆心，求出圆心坐标，利用基本不等式求最值得

te-三,0u0,^-,再根据两点间的距离结合,的范围求解即得；(II)由题意得故点尸

\7\/

33

与点关于该直线对称，点。恒为ZS的交点，分析讨论当直线/经过P或。时和

当直线/不经过P或。时，表示出面积为//同.归。卜孚卜可，求最值即可

【详解】(1)因为Z以(3,0)为右顶点，由椭圆的定义，设z：］+，=l,贝lja=3,

由对称性得，内接正方形在第一象限的顶点为］|,|)，

22

代入椭圆方程，解得6=百，所以的方程为工+匕=1,

93

(2)解法一：

⑴由(1)得,「］|，|］

设直线，：y=-x+加，圆心手(“,$),

联立直线/与椭圆Z的方程，得4x2-6加X+3%2_9=0

2

eci,i6m3m3m-9

所以％+%=~，再/=——----，

由A=36--16(3/-9)>0,解得04加2<12

有R2=|叼2刁呐2

33

即(再一〃)2+(再+§—加了—(U――)2+(S—，

33

(%2-〃)2++§-加/=(〃-/I2+(S-

展开得4x；+4(s-m-u)xx+2m2-4ms+6〃+6s—9=0,

2

+4(s-m-u)x2+2m-4ms+6〃+6s—9=0,

故JQ,X2是方程4/+4(s-%-〃)x+2冽2_4冽5+6〃+65-9=0的两个解，

匚匚ci3m3m2-92m2-Ams+6〃+6s-9

所以％+%2==m+u-s,xrx2=——=--------------------

答案第16页，共20页

故加=2u-2s,rrr+4ms-6u-6s=0

两式联立得2("-S)(M+S)-3(M+S)=0=>(M+5)[2(M-S)-3]=0

若2（〃-s）=3,则机=3,故直线过P,这与题设矛盾，所以“+s=0,

贝ij加=4〃e(-2G,2月)

故圆心的轨迹为y=-X,XG（-,

222

由普=Q_g)2+(s_：)2=(M^)+(-M^)«+^

所以亭c

即Re乎㈤

7

解法二:

（I）由（1）得，P

设直线/：y=f+%,”(国,必),8a2，%)

联立直线/与椭圆Z的方程，得4x2-6mx+3m2-9=0

2

CCH.3m3m-9

所以X]+X2=,X]X2=——-——

由公=36加2—16(3加2-9)>0,解得0V比2<i2

由正弦定理得:

由弦长公式得，引=+].民_再|二拒,\（X[+工2）2_4项入2，

236-W

代入得\AB\=V2+电y-4%/=V-2:加2―3m+97

2

,3—2K,3—2JVkp§一女尸/_：36-3加2

有3K2K2ta…=

J36-3川

tanZAPB2|m|6-3加2

所以sin//尸5=

/APB+T^36+m236+m2

2M

答案第17页，共20页

\AB\=^^.，36+/G

故R:一1!—

IsinZAP