河北省承德市部分示范性高中2024届高三年级下册二模数学

高三数学试卷

本试卷满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答

题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上

作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合人=卜1y=lg(Y—3x+2)},B={y|y=必+i,xeR),则Ac5=()

A.(2,+OO)B.(-8,1)U(2，+8)C.(0,1)L>(2,+OO)D.(1,+(»)

2.已知z=2t,则复数三对应的复平面上的点在()

1-i

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.设。为实数，若函数/(x)=gx3—以2+3在％=1处取得极小值，则。=()

1

A.lB.-C.OD.-1

2

4.在,ABC中，。为6C中点，连接AD,设E为AD中点，且历l=x,BE=y,则=()

A.4x+2yB.-4x+yc.-4x-2yD.4y-2x

5.函数/(x)=6sin[2x-1J+cos[2x-Ej的图象的对称轴方程为()

nkn,nkn,

A.x=—I-----，4eNB.%=—I-----，4eZ

3222

5nkn,7兀E,”

C.x=-----1-----，左cND.x=---1-----，4eN

122122

6.对于一个自然数，如果从左往右，每一位上的数字依次增大，则称自然数是“渐升数”，那么三位数的

“浙升数”共有()

A.97个B.91个C.84个D.75个

2x

7.已知函数/(x)=x(e*+e-),若a满足/(log/)+f(log025a)<2^e+|L则实数a的取值范围

是（)

A.B.（4,+X）C.（O,4）

8.已知圆。：必+⑶―2）2=1,圆。与V轴交于A（0,3）,3（0,l）,斜率存在且过原点。的直线/与圆。相

交于两点，直线AM与直线相交于点尸，直线AM、直线BN、直线。尸的斜率分别为

勺，42，6,贝U（）

A.k[+6k2—左3B.左+2k2=左3

C.2k1+k?~左3D.《+k?—左3

二.多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.对于给定的数列｛4｝,如果存在实数P，4,使得a,+i=p%+q对任意成立，我们称数列｛q｝

是“线性数列”，则下列说法正确的是（）

A.等差数列是“线性数列”

B.等比数列是“线性数列”

C.若pwl且q=q,则。/（1—P）

1-夕

D.若pwl且q=q,则｛4｝是等比数列｛如的前〃项和

10.已知直线I与抛物线E:V=2%相交于A&,%）,5（%,%）两点，分别过AB作抛物线准线的垂线，

垂足分别为C。，线段A6的中点到准线的距离为d,焦点为工。为坐标原点，则下列说法正确的是

（）

A.若d=£,则|AC|+忸口=11

B.若Q4_LO3,则％%=-16

C.若直线/过抛物线的焦点尸，则C/LDE

D.若E4LEB,直线。4,的斜率之积为4,则直线/的斜率为±正

2

11.如图，在正四棱柱ABC。—A4CR中，A%=2AB=2,E是棱44]的中点，P为线段上的点

（异于端点），且ED=PD,则下列说法正确的是（）

A.EDX是平面EDC的一个法向量

3

B.BP=-BD,

41

C.点P到平面EC。的距离为&

18

D.二面角P—石C—。的正弦值为之@

14

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/■（无）=2'+无在％=0处的切线的斜率为.

22

13.已知双曲线C：5-与=1（。〉0）〉0）,耳,凡分别为其左、右焦点，尸为双曲线上一点，

ab

且直线尸耳的斜率为2,则双曲线的离心率为.

PFX1PF2,

「「1sinxsinx

14.已知tanx=一，则---------+----------=.

3cos3xcos2xcos2xcosx

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知正项数列｛4｝的前〃项和为S",满足Sn+2=Sn+1+an+2,数列也｝满足bn=log2«„,

bi=0,b2=1.

（1）写出4,生，4，%,并求数列｛4｝的通项公式；

（2）记％为数列也｝在区间（m-l,m］（meN*）中的项的个数，求数列｛cm｝的前m项和Tm.

16.（本小题满分15分）

中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕，各地报起了一股学习党史风潮，某

市为了促进市民学习党史，举办了党史知识竞赛活动，通过随机抽样，得到了1000人的竞赛成绩（满分

100分）数据，统计结果如下表所示：

成绩区间[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数201802002802208020

(1)求上表数据中的平均值(同一区间中的数据用该区间的中点值为代表)；

(2)根据样本估计总体的方法，用频率代替概率，从该学校中随机抽取3位同学参加党史知识竞赛，记

他们之中不低于60分的人数为X,求X的分布列及数学期望.

17.(本小题满分15分)

如图1,在直角一APB中，=,C为P3中点，PA=PC=1,取AC中点。，连接

PD,BD,现把一APC沿着AC翻折，形成三棱锥P—A5C如图2,此时=取6C中点E,连

接PE,DE,记平面PAB和平面PDE的交线为。为/上异于尸的一点.

(1)求证：PD1,平面ABC；

(2)若直线4。与平面所成角的正弦值为巫，求P。的长度.

15

18.(本小题满分17分)

221

已知椭圆C:5+2=l(a〉人〉0)的左顶点到右焦点的距离是3,且。的离心率是一，过左焦点尸的直

a"b2

线I与椭圆交于AB两点,过左焦点且与直线/垂直的直线I'与椭圆交于M,N两点.

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)求|A到+WW|的取值范围.

19.(本小题满分17分)

给定一个“+l(〃eN*)元函数组：/(x)"(x),……，力(%),若对任意正整数九，均有

%

fn(X)=A-1(),贝时巴fo(x)称作该函数组的“初始函数”.已知go(x)是函数组go(X),

&(x),,g“(x)的“初始函数”，且8"(%)=行、111x+十卜”.

(1)求函数g2(x)的单调区间；

(2)设g“(x)=(a„sinx+2cosx)e*,7zeN*,记cn=an+bn,数列｛c.｝的前几项和为.苍％z是三个

互不相等的正整数，若|sj+|s』=2|sj,求x+y+z除以4的余数.

参考答案

1.【答案】A

【解析】集合A中％2—3x+2>0,所以x<l或者x>2,集合6中y.l,所以Ac5=(2,+”)，故选

A.

2.【答案】D

2+i(2+i)(l+i)l+3il-3i

【解析】z=『=::所以彳=一二的对应点在第四象限，故选D.

1-1(l-i)(l+i)22

3.【答案】B

【解析】令/"(x)=x2—2依=0,则％=0或1=2。，因x=l时取极小值，则2。=1,即。=3,故

选B.

4.【答案】D

【解析】由于_8£=3(54+_8。)=3B4+；50,所以BC=4BE-2A4=4y-2x,故选D.

5.【答案】C

—cos2x+-sin2x=sinf2%-所以

［解析1/(%)=-V3cos2x+cos2x-+sin2x-=

22I3J

2x--=—+kn,解得X---，左eZ,故选C.

32122-

6.【答案】C

【解析】在1,2,,9中任取3个数，其大小关系确定，贝『'渐升数"共有C；=84个，故选C.

7.【答案】D

【解析】函数/(力=%2.+6-')为偶函数，所以/■(logo.25a)=〃Tog4a)=/(log4a)，故。满足

2A-xr-x

/(log4«)<e+-,当龙..0时，f'(x)=x(e-e)+2x(e+e)..0,因此在(0,+司上单调

e

递增，在(一。,0)上单调递减，注意到/(l)=e+g,因此一Idog/Vl,解出。的取值范围是4,

故选D.

8.【答案】A

【解析】由题意得直线AM：y=%x+3,与圆C方程联立，得(将+1卜2+2上/=0,可求出点

同理得点M吉由于"在直线,上，因此经二翌1，化

简后得色+3左2)(匕&+1)=。，显然左人工一1，否则点尸在圆。上，与题意矛盾，则勺+3左2=0,再

联立直线AW：y=Kx+3与直线BN:y=k,x+l,则点P,2，，?],因此

(左2一匕左2一占)

左3=迎丁勺~=一左1，因此左1+6左2=43•故选A.

9.【答案】AB（全部选对得6分，选对1个得3分，有选错的得。分）

【解析】数列｛4｝为等差数列，则4+i—a“=d,即%+]=a“+d,满足“线性数列”的定义，故A正

确；数列｛4｝为等比数列，则即a“+i=q。，，满足“线性数列”的定义，故8正确;

/、

设4中_左=p（a“_左），左eR,则k—pk=q,解出左=二"，则=@一1"，因

l—P1—PI1—P）

小-叫

此4故C错误;

若夕=0且qwO,则a“=q,显然。错误.故选AB.

10.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得。分）

【解析】因为4=口，所以图主殴!=口,即|4。|+忸。|=11,故A正确；

222’

-y—（22、1

设直线OA:y=Ax，4W0,由‘可得点Ayr，：，由于。则直线03：y=——x,

y=2x,\Kk）k

同理求出点5（2左2,—24），因此M%=—4,故B错误；

一1

1x=my+—,o

设直线/的方程为x=my+—,由2可得V—2叫—1=0,贝。

2k=2x,

y1y2=-1,kCF=-y；,kDF=-y2,因此左CFADF=T，故C正确;

x=my+〃,0

设直线/的方程为x=+由〈2:可得y--2加y—2〃=0,则A=4机2+8九>0，且

b=2x,

%+%=2加,%%=-2”,由于E4_LEB,因止匕

（1YH1/x11（yfy；11

王—刁/一不+%%=//―5（玉+%2）+1+%%=丫—5寸+寸+]+%%

\乙J\乙J乙tT〈乙乙/

11I-~|1

="-2"+----（%+%）一一2%为=n--Sn-m2+—=0,因为直线。4,06的斜率之积为4,则

44——4

=一工=4,因此〃=一,,7〃=土0,满足A=4机2+8〃>0，故直线/的斜率为土正，

七%%为n22

故。正确，故选ACD.

11.【答案】ACD（全部选对得6分，选对1个得2分，选对2个得4分，有选错的得0分）

【解析】由于是正四棱柱，易知。C，E〃，在—EDD]中，因为ED】=ED=血,DD[=2,所以

ED；+ED?=DD；,故ER_LED,又EDu平面EOC,OCu平面团C,E"cOC=。，所以

ER，平面EDC,故A正确；

在，中，因为BD=RDD、=2,BD[=遥,贝此05/32。=/，在

PDR中,利用余弦定理可求得=逅或=遥（舍去），因此5P=230,故B错误；

33

棱柱4网-DCD1=—xlxZxl=l,?^A£）£=—xlxlxlx-=—^lxlxlx-=-,

乙乙JvJDD

14_c^=lx2x|xlx1=1,因此匕_Eg=g，因为E'，平面EDC，所以

、=

ED[LEC,SECDL又也义6=显，设点B到平面ECDI的距离为h,VB_ECD=4义直，,因此

122'326

h^—,由于3P=23。，所以点尸

63

到平面ECD]的距离为逅，故c正确；

18

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E（LO』）,C（O,LO）,p[g,；,g：2（O,O,2）,

石。=（—1,0,1）为平面EDC的一个法向量，EP=1—g,g,；1,EC=（-1」,—1）,设平面PEC的一个

211

/、n,EP=——x+—y+—z=0,

法向量为〃=（x,y,z）,贝卜333令

n-EC=-x+y-z=0,

z=L〃=（2,3』）,cosE2，〃Ch〃=一今,因此二面角p—£C—。的正弦值为封H,故。正

E£>i卜网1414

确，故选ACD.

12.【答案】ln2+l

【解析】r(x)=2t-1112+1,贝Ij/'(o)=ln2+l.

13.【答案】75

【解析】由于直线尸耳的斜率为的因此|尸阊=2,且|尸闾-|尸耳|=2a,因此|尸耳|=2蜀尸鸟|=4。,

因为尸耳，时,所以(2a)2+(4a)2=4c2,则e=G

14.【答案】—

9

■左刀上厂▼sinxsin(3x-2x)sin3xcos2x-cos3xsin2x。八

【解析】-----------=—-------)-=---------------------------------=tan3x-tan2x,

cos3xcos2xcos3xcos2xcos3xcos2x

sinxsin(2x-x)sin2xcosx-cos2xsinx「

--------------------------------------------------------------=tan2x—tanx，

cos2xcosxcos2xcosxcos2xcosx

…,sinxsinx

所以一；———+---------=tan3x-tanx,而

cos3xcos2xcoszxcosx

2tanx

c/c、tan2x+tanx1-tan2x+@迎3tanx-tan3x_13

tan3x=tan(2%+x)=-----------------=--工驶九二----

1-tan2xtanr12tanxl-3tan2x9

l-tan2x

13110

因此原式二------

93~9

m

15.【答案】⑴l,2,3,4,«„=n(neN*)(2)Tm=2-1

【解析】(1)由S,+2=S〃M+4+2可得%+2一。”=2.

由—log2。”，可得—1,%=2,%=q+2=3,%=%+2=4,

当〃为偶数时，令n=2k,keN*,a2k=%+2(左一1)=2左；

当〃为奇数时，令〃=2左一攵—1=4+2(左一1)=2左一1.

综上所述，an=7i(7ieN*)；

(2)由(1)得a“="("eN*),则。“=log2〃，

m

由m-l<bn„m,可得log?2"—1<log2n,,log22,

m

因为a=log2n是一个递增数列,所以2"T<&2",故cm=2-2"i=2"一

故数列｛q｝是首项为1,公比为2的等比数列，4=匕二=2"'-1.

1—2

g

16.【答案】（1）63.2（2）略，

【解析】（1）

x=35x0.02+45x0.18+55x0.2+65x0.28+75x0.22+85x0.08+95x0.02=63.2；

（2）由题意可知，3,11,则X=0,1,2,3,

d©严（x=i）=qtH_36.

p（x=o）=—=—

'12f一而

P（X=2）=*x[1'卷中=3）=©'_27.

一运

所以X的分布列为

X0123

8365427

P

125125125125

E”3x|[

有或还

17.【答案】（1）略（2）

11

【解析】（1）证明：由题意知PD=立，cos/BCA=3U+一=一受，解得班）J,

22BCBD2V2

当PB=也时，有尸,即PDL8。，

由。是AC的中点，24=「。得。。，4。，

而5。八4。=。,5。,4。＜=平面ABC,故平面ABC；

（2）解：以DA,DP为x轴，z轴，过。作平面PAC的垂线为V轴，建立如图所示的空间直角坐标

//、

系，则。（0,0,0）,A3,0,0,P0,0,*,利用/瓦）。的余弦值

）I27

z

(V2

0,0,-1

7

设平面PDB的法向量为72=(%,No,Zo),

PD-n=0,/、

则不妨取%=1,解得“=(1,2,0).

PBn=0,

设Q(Xi，X，zJ,则PQ=%,—4^],A3=--^―,-^-,0,PQ与Ag共线，设为PQ=kAB,

mil3区.,.痂/3A/2V2

则Xj=--丁左,％=下-左,4=《-，故Q]--二上三七三)，

因此AQ=—左一设直线A。与平面PDB所成角为。,

因此|PQ|=&J=6或卢。|=,空+警545

1T

2

尤v48

18.【答案】(1)—2+^-=1(2)—,7

437

C_1

【解析】(1)由题意得5'解得〃=2,0=1,则/="—，=3,

〃+c=3,

所以椭圆。的标准方程为—+^=1;

43

（2）由（1）可知，左焦点R（-1,0）,当直线/斜率不存在或者斜率为0时，|A@+|AW|=7,

当直线/斜率存在且不为0时，

设直线/：y=k（x+l）,直线=—，（％+1）,4（%,%）,3（%2，%），/（%，%），可%4，%）>

K

y=%(x+l),

联立方程组《%2,2整理得(4左2+3)尤2+8左2%+4左2—12=0,

----1----=1,

143

—8左24左2—12

贝Ix+x=

r24左2+31-4k2+3

同理可得|政7|=:仁：）

34

|AB|+|2W|=7+

所以左左=7-----------[2------

42+332+412左2+:+25

k2

1248

由于12r+9..24,当且仅当产=1时等号成立，则亍”g@+|"N|<7,

48

综上所述，|A邳+|