高考数学第一轮复习学案 平面向量的概念及运算

2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第25讲平面向量的概念及运算一．课标要求（1）平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；（2）向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；③了解向量的线性运算性质及其几何意义。（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义；②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。二．命题走向本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。预测2013年高考：（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。三．要点精讲1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。向量一般用SKIPIF1<0……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：SKIPIF1<0几何表示法SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；坐标表示法SKIPIF1<0。向量的大小即向量的模（长度），记作|SKIPIF1<0|即向量的大小，记作｜SKIPIF1<0|。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。②零向量长度为0的向量，记为SKIPIF1<0，其方向是任意的，SKIPIF1<0与任意向量平行零向量SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0｜＝0。由于SKIPIF1<0的方向是任意的，且规定SKIPIF1<0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量SKIPIF1<0为单位向量SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。⑤相等向量长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为SKIPIF1<0。大小相等，方向相同SKIPIF1<0SKIPIF1<0。2．向量的运算（1）向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。规定：（1）SKIPIF1<0；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：SKIPIF1<0，但这时必须“首尾相连”。（2）向量的减法①相反向量：与SKIPIF1<0长度相等、方向相反的向量，叫做SKIPIF1<0的相反向量。记作SKIPIF1<0,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：（i）SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；(ii)SKIPIF1<0+(SKIPIF1<0)=(SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；(iii)若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是互为相反向量，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。②向量减法向量SKIPIF1<0加上SKIPIF1<0的相反向量叫做SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的差，记作：SKIPIF1<0求两个向量差的运算，叫做向量的减法。③作图法：SKIPIF1<0可以表示为从SKIPIF1<0的终点指向SKIPIF1<0的终点的向量（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0有共同起点）。（3）实数与向量的积①实数λ与向量SKIPIF1<0的积是一个向量，记作λSKIPIF1<0，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）SKIPIF1<0；（Ⅱ）当SKIPIF1<0时，λSKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相同；当SKIPIF1<0时，λSKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的方向相反；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，方向是任意的。②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。3．两个向量共线定理：向量SKIPIF1<0与非零向量SKIPIF1<0共线SKIPIF1<0有且只有一个实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。4．平面向量的基本定理如果SKIPIF1<0是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量SKIPIF1<0，有且只有一对实数SKIPIF1<0使：SKIPIF1<0其中不共线的向量SKIPIF1<0叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。5．平面向量的坐标表示（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量SKIPIF1<0作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量SKIPIF1<0可表示成SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量SKIPIF1<0的坐标，记作SKIPIF1<0=(x,y)，其中x叫作SKIPIF1<0在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。（2）平面向量的坐标运算：①若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0=(x,y)，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0x,SKIPIF1<0y)；④若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。四．典例解析题型1：平面向量的概念例1．（1）给出下列命题：①若|SKIPIF1<0|＝|SKIPIF1<0|，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；②若A，B，C，D是不共线的四点，则SKIPIF1<0是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要条件是|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；⑤若SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，SKIPIF1<0//SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0//SKIPIF1<0；其中正确的序号是。（2）设SKIPIF1<0为单位向量，（1）若SKIPIF1<0为平面内的某个向量，则SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0|·SKIPIF1<0;(2)若SKIPIF1<0与a0平行，则SKIPIF1<0=|SKIPIF1<0|·SKIPIF1<0；（3）若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行且|SKIPIF1<0|=1，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。上述命题中，假命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；②正确；∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0。③正确；∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同；又SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长度相等且方向相同，故SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0。④不正确；当SKIPIF1<0//SKIPIF1<0且方向相反时，即使|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|，也不能得到SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故|SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|且SKIPIF1<0//SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0=SKIPIF1<0的充要条件，而是必要不充分条件；⑤不正确；考虑SKIPIF1<0=SKIPIF1<0这种特殊情况；综上所述，正确命题的序号是②③。点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。（2）向量是既有大小又有方向的量，SKIPIF1<0与|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时SKIPIF1<0=－|SKIPIF1<0|SKIPIF1<0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。题型2：平面向量的运算法则例2．（1）如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，试用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示出来。（2）（06上海理，13）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A．SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0－SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0（3）（06广东，4）如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心O及顶点A，B，C四点构成平行四边形ABCO，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，同样在平行四边形BCDO中，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＋(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)＝SKIPIF1<0＋2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0－SKIPIF1<0。点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示，且可用规定其中任两个向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，另外任取两点为起点和终点，也可用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示。（2）C．（3）SKIPIF1<0，故选A。例3．设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0。解析：①原式=SKIPIF1<0；②原式=SKIPIF1<0；③原式=SKIPIF1<0。例4．设SKIPIF1<0为未知向量，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为已知向量，解方程2SKIPIF1<0(5SKIPIF1<0+3SKIPIF1<04SKIPIF1<0)+SKIPIF1<0SKIPIF1<03SKIPIF1<0=0解析：原方程可化为：(2SKIPIF1<03SKIPIF1<0)+(5SKIPIF1<0+SKIPIF1<0SKIPIF1<0)+(4SKIPIF1<03SKIPIF1<0)=0，∴SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0+SKIPIF1<0。点评：平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质。题型3：平面向量的坐标及运算例5．已知SKIPIF1<0中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC边上的高为AD，求SKIPIF1<0。解析：设D(x,y)，则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0。例6．已知点SKIPIF1<0,试用向量方法求直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）交点SKIPIF1<0的坐标。解析：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，所以SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，也在直线SKIPIF1<0上。即得SKIPIF1<0，由点SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0。得方程组SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0。故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0。题型4：平面向量的性质例7．平面内给定三个向量SKIPIF1<0，回答下列问题：（1）求满足SKIPIF1<0的实数m,n；（2）若SKIPIF1<0，求实数k；（3）若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0。解析：（1）由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0。（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0由题意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0。例8．已知SKIPIF1<0（1）求SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为何实数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，平行时它们是同向还是反向？解析：（1）因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行，所以SKIPIF1<0即得SKIPIF1<0。此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即此时向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相反。点评：上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定以及平面向量模的计算方法。题型5：共线向量定理及平面向量基本定理例9．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1），B（－1，3），若点C满足SKIPIF1<0，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（）A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5C．2x－y=0 D．x+2y－5=0解法一：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，先消去SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0。再消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以选取D。解法二：由平面向量共线定理，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，A、B、C共线。因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得SKIPIF1<0即选D。点评：熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算；两个向量平行的坐标表示；运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。例10．（1）已知︱SKIPIF1<0︱=1，︱SKIPIF1<0︱=SKIPIF1<0,SKIPIF1<0=0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设SKIPIF1<0=mSKIPIF1<0+nSKIPIF1<0(m、n∈R)，则SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0ABOM图（2）如图：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且SKIPIF1<0，则实数对（x,y）可以是（）ABOM图A．SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0解析：（1）B；（2）C。题型6：平面向量综合问题例11．已知向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的对应关系用SKIPIF1<0表示。（1）证明：对于任意向量SKIPIF1<0及常数m，n恒有SKIPIF1<0成立；（2）设SKIPIF1<0，求向量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的坐标；（3）求使SKIPIF1<0，（p，q为常数）的向量SKIPIF1<0的坐标解析：（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0