贵州省黔西南州部分学校2024届高三年级下册一模考试数学试卷(含答案)

贵州省黔西南州部分学校2024届高三下学期一模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.样本数据16,24,14,10,16,21,12,9,13,18的40%分位数为（）

A.13B.13.5C.14D.16

2

2.双曲线二->2=1（机〉0）的离心率为折，则双曲线上任意一点Q到两焦点耳，

m

B的距离之差的绝对值为（）

A.-B.-C.2D.4

24

3.记等差数列｛q｝的前〃项和为，%+。8=4,%=22,JBl!S12-S7=（）

A.14B.72C.36D.60

4.如图所示的花盆为正四棱台，上口宽5cm,下口宽3cm,棱长3瓜m,则该花盆的

体积为（）

上口宽5cm

A.^^-cm3B.49A/3CIII3C.丝:叵CM?D.245cm3

33

5.设a,/3,7是三个互不重合的平面，m,/是两条不重合的直线，则下列命题

为真命题的是（）

人.若1_14，aVy,则/_L/B.若〃/tz,IH/3,则M/尸

C.若11/3,ml.1,则a_L/?D.若加〃/,IIIa,则加/a

6.已知Q为圆C:（x+3y+（y-2）2=9上的动点，点「满足。73=（4,-1）,记P的轨迹

为E,则下列说法错误的是（）

A.轨迹E是一个半径为3的圆

B.圆C与轨迹E有两个交点

C.过点A(l,-1)作圆C的切线，有两条切线，且两切点的距离为沿

D.点3为直线/:x+2y+10=0上的动点，则尸§的最小值为今5

则/言

7.已知tan20=-4tanb=()

79

ABcD

19一

8-8-

24

8.已知/(x+4)=f(-x),/(x+1)为奇函数，且/(2)=2,则/(2023)+/(2024)=()

A.4047B.2C.-2D.3

9.设z「z2,Z3为复数，且则下列说法正确的有()

A.若上卜回，则4=±Z2B.若则|zj的最大值为2

C.若Z/2=|z『，贝UZ]=Z2D.若Z1Z3=Z2Z3,则Z1=Z2

二、多项选择题

22

io.已知椭圆c：?+1~=i的左、右焦点分别为£,工，抛物线「以B为焦点，过

工的直线/交抛物线「于A(%，X),巩々,%)两点，下列说法正确的是()

A.若再+%=8，贝力AB|=10

B.当5月=4月A时，直线/的倾斜角为45。

C.若M(4,2),P为抛物线r上一点，则1PMi+|「阊的最小值为至

D.4|A^|+忸阊的最小值为9

11.已知/(x)=J^sinwx+coswx(w〉0),则下列说法正确的是()

A.若/(%)的最小正周期为兀，则/(%)的对称中心为巳+羡,。],keZ

B.若/(x)在区间0,(上单调递增，则W的取值范围为(0,3

C.若=贝ijcos[wo+g]=g

D.若在区间[0,可上恰好有三个极值点，则W的取值范围为

三、填空题

12.集合A={、2x-4V2},集合5=卜肛+4<3},AB={x|-2<x<3),则

a=.

13.2023年冬季，哈尔滨旅游业大兴，一商家制作各种各样的冰糖葫芦，现有橘子3

瓣，狒猴桃2片、香蕉2片、草莓4个，若相同水果视为无差异，将所有水果串在一

串上，则不同的串法共有种.

14.已知f(x)='()e*+x~—f(0)x,若GR,均有不等式f(w?)22〃~+3n恒成

立，则实数〃的取值范围为..

四、解答题

15.布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维

空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔

(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数/(%),存在实数％,使得

fM=xa,我们就称该函数为“不动点”函数，实数为为该函数的不动点.

(1)求函数/(x)=2工+x—3的不动点；

⑵若函数g(x)=lnx-Z?有两个不动点再，/，且西<%2，若工2-%<2,求实数6的取

值范围.

16.如图所示为直四棱柱A3CD-44GR，AB=AD=2亚,CB=CD=4,

A4,=4,4cD=60。，M,分别是线段6C,qG的中点.

⑴证明平面脑％。；

(2)求线与平面所成角的正弦值，并判断线段3C上是否存在点尸，使得

平面若存在，求出3尸的值，若不存在，请说明理由.

9°

17.已知函数/(x)=,必-xlnx-2x.

⑴判断的单调性;

(2)证明:91；+|+：++|^］〉3〃—ln(2"+l).

18.高一(1)班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位

同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为4,每位攻擂

3

者答出每道题的概率为L为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，

2

再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1

分，否则为0分.

(1)求攻擂者组每道题答对的概率《及守擂者组第1题后得分为o分的概率P2；

⑵设X为3题后守擂者的得分，求X的分布列与数学期望E(X).

22

19.在平面直角坐标系中，已知曲线C的方程为亍-5=1，右顶点为E,倾斜

角为e的直线/过点耳(-3,0),且与曲线C相交于A,3两点.

⑴当。=90。时，求三角形ABE的面积；

(2)在x轴上是否存在定点使直线/与曲线C的左支有两个交点A,3的情况下，

总有=如果存在，求出定点如果不存在，请说明理由.

参考答案

1.答案：B

解析：将这组数据从小到大排列9,10,12,13,14,16,16,18,21,24,因为

10x40%=4,而4是整数，所以这组数据的40%分位数为生上=13.5

2

故选：B.

2.答案：A

解析：由双曲线二-寸=i(根〉o)的离心率为抗y,可得]=邈巨=J百，

mm

解得疗=',所以加=工，

164

又由双曲线的定义，可得双曲线上一点Q到两焦点耳，工的距离之差的绝对值为

C1

2m=一.

2

故选：A.

3.答案：D

解析：由等差数列性质可知。2+。8=2%=4，可得。5=2；

设等差数列｛4｝的公差为力

可得a。一生==2。，解得d=2；

S[2—S-j=t/g+t/gH-------1-tZ[2=5%o=5+5d)=60.

故选：D.

4.答案：A

解析：如图，由题意，该棱台的上下底面的对角线长分别为5行，3亚cm,

所以棱台的高为[逑=5,

1--------1I------745

故棱台的体积为V=”(S上+S下+J孝，=15(5?+32+F7)=亍cn?.

故选：A.

解析：对于A,若a，/?,aly,则平面尸，/可能平行，即A错误；

对于B,若///a,lUp,则/可平行于a,0的交线，此时a,0相交，不一定平

行，即B错误；

对于C,若IV/3,mVl,由线面垂直性质可得a_L2，即C正确；

对于D,若加〃/,IIIa,则根u(z或m〃a,即D错误；

故选：C.

6.答案：D

解析：对A,设P(x,y),

„,,fx-x=4,f盘=x—4

则由QP=(4,—1)得ZQ10n，即〈。，

，一%=-i〔为=y+i

又因为。为圆。:(尤+3)2+(丫-2)2=9上的动点,

所以尸(x,y)满足C:(x-l)2+(y-以=9,

即轨迹E是一个半径为3的圆，故A正确；

对B,因为圆心距|CE|=J(l+3)2+(1—2)2=旧<3+3=6,

所以圆C与轨迹E有两个交点，故B正确；

对C,由于|AC|=J(l+3y+(_l_2)2=5,半径为3,

所以切线长为4,所以两切点的距离d满足3x4=5x4,

2

24

即汗=彳，故C正确；

对D,首先圆心到直线的距离为吐婴四=电1>3,则该直线与圆相离，

因为点3为直线/:%+2丁+10=0上的动点,

则的最小值为竽-5,故D错误；

故选：D.

7.答案：A

解析：由题意知，tan("型)=tan("二)=1an°T,tan26=、匕"，

441+tan。1—tan*

4c八,‘八5兀、/口2tan。“tan。-1

由tan20=-4tan(6>——),得------=-4----------,

41-tan2^1+tan。

整理，得Ztai?。-5tan6»+2=0,解得tan6=2或1,

JT7T

又一<。(一，则tan8>l,所以tan6=2.

42

匚匚“cos20+2cos26,-sin26(+2sin26(+2cos203cos26(+sin20

所以一A------=------:-------------=—.---------

sin20+sin20sirr9+2sin6cos。sirr9+2sin9cos。

3cos26sin20

_cos?0+cos20_3+tairf)=

sin202sincos6(tan26>+2tan6>8

cos20cos20

故选：A.

8.答案：C

解析：由函数/(x+1)为奇函数，可得了(尤)关于点(1,0)对称，且/'⑴二。，

所以〃%)=—八2—%)，即/(—%)=—”2+%)，

又因为/(%+4)=/(-%),可得/(%+4)=—"2+%),

即〃力=一/。+2),贝叶(x+2)=—/(x+4),所以〃x)=/(x+4),

所以函数y=〃x)是周期为4的周期函数，

因为"2)=2,*1)=0,可得/(0)=-/(2)=-2,/(3)=-/(1)=0,

所以/(2023)+/(2024)=/(505x4+3)+/(506x4)=/(3)+/(0)=0-2=-2.

故选：C.

9.答案：B

解析：A选项，不妨设马=l+3i/2=2+V^i,满足|zj=闾=,但z产土z2,A错

误；

222

B选项，设4=。+历，则,='a+(1-1)2=],gpa+^_^=\,

因为6=1—0-1)2»0,解得owbW2,

则|zj=y/a2+b2=^2+l-(Z>-l)2=画e[0,2],

故㈤的最大值为2,B正确；

C选项，设Z[=l+i/2=1—i,则Z]Z2=1——=2,而|z『=l+l=2,

满足4Z2=|马「，但不满足4=%2,C错误；

D选项,ZjZ3=Z/32送3—Z^~。(Z]—Z2)Z3—0，

当Z3=0时，满足上式，故Z-Z2不一定等于0,即z/Z2可能不相等，D错误.

故选：B.

10.答案：AD

解析：A选项，由题意得乙(1,0),故抛物线方程为丁二八，

由抛物线定义得|45|=%+/+2=8+2=10,A正确；

B选项，由于直线/的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，

设直线AB:_x=my+l,联立_/=4x,得了2_4加？-4=0,

设A(x，x),则%=-4%

由韦达定理得%+%=4根，乂为=-4,

33

故-3%=4m,-4>；=-4,解得弘=±1,〃7=-工弘=±1，

故直线/的斜率为土上，倾斜角不为45。，B错误；

3

C选项，由题意得，准线方程为x=-1,过点1于点G,

由抛物线定义得1PM=|pq,

i^\PM\+\PF2\=\PG\+\PF2\,

要想求得1PMi+|P闾的最小值，则过点M作“。_L%=-1于点Q，

故尸闾的最小值为|MQ|,最小值为4+1=5,C错误；

D选项,由题意得|隹|=%+1,忸闾=々+1,

由于X%=T，故平2=(一％)-=1，

16

41AF21+1|-4芯+4+%2+1=4%+马+5,

因为X］,%>0,由基本不等式得4|>1?^+忸玛］=4玉+w+5与2-4/>2+5=9,

当且仅当4%1=々时，等号成立，

故4口闾+忸阊的最小值为9,D正确.

故选：AD.

11.答案：BD

一71

解析：由题意知，/(%)=2sin(69%+—).

6

2兀

A：若〃龙)的最小正周期为兀，由7=竹，得口=2,

TT7TTLKTL

所以/(x)=2sin(2x+—),由2x+—=E,keZ,得％=----F—,keZ,

66122

所以/(x)的对称中心为(-五+^"，。)，故A错误；

.兀兀,兀C71r-rZp=t2兀2防C/兀24兀7rr

B：由--F2AJI«coxH—«—F2kji,kGZ,-------1------Wx«-----1------,keZ,

26233①3coeo

即/(%)的单增区间为［-生+弛,二+效］,ZeZ,

3co①3(03

又/■⑴在[0,与上单调递增，所以3①①,解得3,keZ,

4兀2E、兀八，4C7

F>—0<G«一+8左

、3①--①---4I3

44

取左=0,则0<刃(§,即实数切的取值范围为(o,§],故B正确；

C：若/(%)=1,则2sin(。犬o+3=1,即sin3%o+')=—,

662

所以COS(G/+@)=cos(GXo+—+—)=-sin(69x0+—)=--,故C错误；

D：由0＜%«兀，^—＜a)x+—＜am+—又/(%)在［0,兀］上有3个极值点，

6669

所以史〈。兀+巴＜小，解得二＜。＜里，即实数0的取值范围为故D正确.

26233L33J

故选：BD.

12.答案：-1

解析：由2x—4W2解得xW3,所以A={也＜3},

由上+。|<3得一3Wx+aW3,解得一3—aWxW3—a,所以3={x|—3—无<3—a},

因为AB={x\-2<x<3],

—3—a=—2

所以解得a=-1,

3—a23

故答案为：-1.

13.答案：69300

解析：完成该事情分四步，第一步：从11个位置中选3个位置放橘子，串法有

C；1=165种,

第二步：从剩余的8个位置选2个位置放舜猴桃，串法有C；=28种；

第三步：从余下的6个位置选2个位置放香蕉，串法有C：=15种；

第四步：剩余的4个位置放草莓，串法有C：=l种；

所以现有橘子3瓣，狒猴桃2片、香蕉2片、草莓4个，若相同水果视为无差异，将

所有水果串在一串上，

则不同的串法共有C：ixC：xC；xC：=165x28x15x1=69300种;

故答案为：69300.

14.答案：[-2，!

L2]

解析：由题意知，y(x)=^^eA+x2-/(0)x,得/(0)=/虫

ee

贝I]r(x)=e£+2x-/(0)=ex+2x-,

eee

令尤=1,则—即2=^^,得/'(l)=2e,

eee

所以/(x)=2ex+x2-2x,f'(x)=2e*+2x—2,

又函数y=2e*,y=2%-2在R上单调递增，

所以函数y=/'(x)在R上单调递增，且八0)=0,

所以xe(—oo,0),f'(x)<0,/(x)单调递减，xe(0,+oo),f\x)>0,/(九)单调递

增，

故"X)血n=1(0)=2,

因为VmeR,47句227+372恒成立，即不等式222/+3〃在R上恒成立，

由2之2/+3〃，得2"+3〃一2W0,解得一

2

即实数〃的取值范围为[-2,”

2

故答案为：[-2,3.

2

15.答案：(l)log23

⑵1nH-2“<-1

解析：⑴设/(力的不动点为无。,则析+%-3=%，解得飞=1叫3,

所以函数/(x)的不动点为log23.

(2)函数g(x)有两个不动点X1,%，即方程lnx-b=x，即b=lnx-x有两个不等的实

数根3,x2,

11—y

令0(x)=]nx_%,贝1=-----，

当（0,1）时，0’（尤）＞0,当X£（l,+oo）时，0'（X）VO,

所以函数0（力在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

.•.0（力＜0（1）=—1,且X―0时，—00,Xf+OO时，—00,

作出0（x）的大致图象如下：

所以人＜-1,且々-玉的值随着b的值减小而增大，

当马—玉=2时，有＜11,两式相减得In生•=%—%=2,

[b=Inx2-x2再

解得上=e2,即5=e2%],代入马—为=2,解得玉

石e-1

所以止匕时6=ln（一]——一,

e--1

所以满足题意的实数6的取值范围为In（一一]-4一

-1）e-1

16.答案：（1）证明见解析

（2）亭，在线段BC存在点尸使得P4〃平面5P的值为华

解析：⑴由N3CD=60。，CB=CD,知△BCD为正三角形，

又〃为的中点，则。暇，BC.

又Mi为用G的中点，则MMJ/CC、,

而CG^BC,所以

又DMMMX=M,DM、MM,u平面MMQ,

所以BC,平面脑％。；

（2）由（1）知△BCD为正三角形，则5£＞=4,

在△ABD中，AB=AD=242,BD~=AB2+AD',所以ABLAD,

易知AA,LAD,建立如图空间直角坐标系A-孙z,

则A(0,0,0),3(20,0,0),C(V6+V2,76+72,0),D(0,272,0),A(0,0,4),

4(2"0,4),

所以3C=(后—应，而+点,0),5A=(-2后,0,4),BD=(-20,200),

BBX=(0,0,4),

设平面BOA的一个法向量为〃=(x,y,z),

.n-BD=-2-\/2x+2yf2y=0,；—,1—t—<—

则1.l，令x=V2,得y=v2,z=1,故〃=(v2,v2,l),

n-BAX--2<2x+42=0

।IIBC-ZIIAR后

设5c与平面所成角为e,贝！JsineTcosBC,〃二^—m=泮=匹，

11|Bc||n|4小5

即BC与平面BDA,所成角的正弦值为半.

假设在线段BC上存在点P,使得抽〃平面引达，令93=48。（04/141）,

则3P=（#X—0%逐几+低,0）,所以PB[=BB[-BP=（&-娓4-向-娓九4）,

由P8]〃平面BZM],得PB]工",所以尸4-〃=2X—2&—22-2&+4=0,

解得力=且.此时

BP=产一#3®+"0）,

333

所以网」（吟西2+（还产了二手,

即BP的值为勺叵.

17.答案：在（0,+8）上单调递增

(2)证明见解析

9

解析：⑴易知函数/(%)=5%2_%山%-2%的定义域为(0,+00),

可得了'(兀)=9%—(lnx+1)—2=9x—Inx—3；

1Qv_1

g(x)=9x-]nx-3贝Ug'(x)=9——=-------，

9xx

当xe]o,'时，g'(x)<0,此时g(x)在上单调递减，

当xe(：,+oo|时，g'(x)>0,此时g(x)在]：,+(»]上单调递增,

所以尸(x)=g(x)2gf1+In9_3=ln9_2=ln/〉O；

即/'(x)>0在(0,+co)上恒成立，

因此了(无)在(0,+00)上单调递增；

(2)由(1)可知/,(x)=9x-lnx-3>0,即9%>lnx+3,

_八2n-l,2n-l、

可得9x------->ln--------+3；

2n+l2n+l

所以犯"〉卦n2i-l

+3

i=l\2z+l

2n-l+ln^^-+3n

BPW9|-+-+-++2n+l>ln-+ln-+

(357352n+l

=In1-In3+In3-In5+ln(2n-1)-ln(2zi+1)+3n=3n-ln(2n+1)；

IP9|-+-+-++女匚］〉3〃-ln(2〃+l).

(3572H+1J

18.答案：(1)6=工，P2=-

89

⑵分布列见解析，£(x)=i

解析：(i)根据答题规则可知，若三人均答不出，则攻擂者组答不出每道题的概率

则可知攻擂者组每道题答对的概率々=i—尸=?

若守擂者组第1题后得分为0分，则第一题由攻擂者先答,

该题需答对或者该题答错由守擂者组再答题并答错，

易知守擂者组答出每道题的概率为1-11-g

788

因此鸟=-+1--lx1--

8I8I99

(2)易知X的所有可能取值为0,1,2,3；

「7、8

第一题守擂者组得一分的概率为1--x-=

\打99

抢答环节的题目守擂者组和攻擂者组抢到的概率均为:守擂者组每题得一分的概率

为W

即可知前三题中第一题守擂者组得一分的概率叫第二三题得一分的概率均为

4

2

则P(x=o)=1-jxC1-4|_200

।-729,

9

41I2345

尸(X=l)=+—X।-729

99

1-14168

V___—_______

9-729

因此X的分布列为

X0123

2001155616

P

729