北京市第四中学顺义分校2025届数学高一下期末学业质量监测试题含解析

北京市第四中学顺义分校2025届数学高一下期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()A．3.5 B．3 C．-0.5 D．-33．函数图像的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．4．执行如下图所示的程序框图，若输出的，则输入的的值为（）A． B． C． D．5．法国“业余数学家之王”皮埃尔·德·费马在1936年发现的定理：若x是一个不能被质数p整除的整数，则必能被p整除，后来人们称为费马小定理.按照该定理若在集合中任取两个数，其中一个作为x，另一个作为p，则所取的两个数符合费马小定理的概率为（）A． B． C． D．6．某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（）A．200 B．400 C．2000 D．40007．的值为（）A． B． C． D．8．如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润=营业额-支出），根据折线图，下列说法中正确的是（）A．该超市这五个月中，利润随营业额的增长在增长B．该超市这五个月中，利润基本保持不变C．该超市这五个月中，三月份的利润最高D．该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关9．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a2+a4+a6＝12，则S7＝（）A．20 B．28 C．36 D．410．在ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，关于此函数的说法：①为周期函数；②有对称轴；③为的对称中心；④；正确的序号是_________.12．已知，则______．13．已知数列，，且，则________．14．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．15．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是．16．设为三条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列四个判断:①若则；②若是在内的射影，，则；③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；④若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的体积扩大为原来的32倍；其中正确的为___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为,,,,,,,其频率分布直方图如图所示.(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;(2)求月均用电量的中位数;(3)在月均用电量为,,,的四组居民中,用分层随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?18．在区间内随机取两个数，则关于的一元二次方程有实数根的概率为__________．19．三个内角A,B,C对应的三条边长分别是，且满足．（1）求角的大小；（2）若，，求．20．在中，分别为角所对应的边，已知，，求的长度.21．已知数列中，，.(1)求数列的通项公式:(2)设，求数列的通项公式及其前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据列方程，结合向量数量积的运算以及特殊角的三角函数值，求得与的夹角.【详解】由于，故，所以，所以，故选C.【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查特殊角的三角函数值，考查两个向量夹角的求法，属于基础题.2、D【解析】

因为错将其中一个数据105输入为15,所以此时求出的数比实际的数差是,因此平均数之间的差是.故答案为D3、B【解析】

对称轴为【详解】依题意有解得故选B【点睛】本题考查的对称轴，属于基础题。4、D【解析】由题意，当输入，则；；；，终止循环，则输出，所以，故选D.5、A【解析】

用列举法结合古典概型概率公式计算即可得出答案.【详解】用表示抽取的两个数，其中第一个为，第二个为总的基本事件分别为：，，，共12种其中所取的两个数符合费马小定理的基本事件分别为：，，共8种则所取的两个数符合费马小定理的概率故选：A【点睛】本题主要考查了利用古典概型概率公式计算概率，属于基础题.6、A【解析】

由频率和为1，可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数÷总数=频率，即可得到本题答案.【详解】由图，得成绩大于90分对应的频率=，设该校参加初赛的人数为x，则，得，所以该校参加初赛的人数约为200.故选：A【点睛】本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数÷总数=频率的应用.7、B【解析】由诱导公式可得，故选B.8、D【解析】

根据折线图，分析出超市五个月中利润的情况以及营业额和支出的相关性.【详解】对于A选项，五个月的利润依次为：，其中四月比三月是下降的，故A选项错误.对于B选项，五月的月份是一月和四月的两倍，说明利润有比较大的波动，故B选项错误.对于C选项，五个月的利润依次为：，所以五月的利润最高，故C选项错误.对于D选项，根据图像可知，超市这五个月中的营业额和支出呈正相关，故D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查折线图的分析与理解，属于基础题.9、B【解析】

由等差数列的性质计算．【详解】由题意，，∴．故选B．【点睛】本题考查等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题．在等差数列中，正整数满足，则，特别地若，则；．10、A【解析】

利用正弦定理asinA=【详解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理求边，要记得正弦定理所适用的基本类型，考查计算能力，属于基础题。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①②④【解析】

由三角函数的性质及，分别对各选项进行验证，即可得出结论.【详解】解：由函数，可得①，可得为周期函数，故①正确；②由，，故，是偶函数，故有对称轴正确，故②正确；③为偶数时，，为奇数时,故不为的对称中心，故③不正确；④由，可得正确，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查三角函数的值域、周期性、对称性等相关知识，综合性大，属于中档题.12、【解析】

由题意得出，然后在分式的分子和分母中同时除以，然后利用常见的数列极限可计算出所求极限值.【详解】由题意得出.故答案为：.【点睛】本题考查数列极限的计算，熟悉一些常见数列极限是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.13、【解析】

由题意可得{}是以+1为首项，以2为公比的等比数列，再由已知求得首项，进一步求得即可．【详解】在数列中，满足得，则数列是以+1为首项，以公比为2的等比数列，得，由，则，得．由，得，故．故答案为：【点睛】本题考查了数列的递推式，利用构造等比数列方法求数列的通项公式，属于中档题．14、【解析】

利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为，当时，，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．15、5【解析】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.16、①②【解析】

对四个命题分别进行判断即可得到结论【详解】①若，垂足为，与确定平面，，则，，则，，则，故，故正确②若，是在内的射影，，根据三垂线定理，可得，故正确③底面是等边三角形，侧面都是有公共顶点的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥，故不正确④若球的表面积扩大为原来的倍，则半径扩大为原来的倍，则球的体积扩大为原来的倍，故不正确其中正确的为①②【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系、球的体积等知识点，数量掌握各知识点然后对其进行判断，较为基础。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)200(2)224(3)4户【解析】

(1)因为,所以月均用电量在的频率为,即可求得答案;(2)因为,设中位数为,,即可求得答案;(3)月均用电量为,,,的频率分别为,即可求得答案.【详解】(1),得.月均用电量在的频率为.设样本容量为N,则,.(2),月均用电量的中位数在内.设中位数为,,解得,即中位数为.(3)月均用电量为,,,的频率分别为应从月均用电量在的用户中抽取(户)【点睛】本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量,中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18、【解析】试题分析：解：在平面直角坐标系中，以轴和轴分别表示的值，因为m、n是中任意取的两个数，所以点与右图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域．设事件表示方程有实根，则事件，所对应的区域为图中的阴影部分，且阴影部分的面积为．故由几何概型公式得，即关于的一元二次方程有实根的概率为．考点：本题主要考查几何概型概率的计算．点评：几何概型概率的计算，关键是明确基本事件空间及发生事件的几何度量，有面积、体积、角度数、线段长度等．本题涉及到了线性规划问题中平面区域．19、⑴(2)【解析】

⑴由正弦定理及，得，因为，所以；⑵由余弦定理，解得【详解】⑴由正弦定理得，由已知得，，因为，所以⑵由余弦定理，得即，解得或，负值舍去，所以【点睛】解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边