湖北省黄冈市浠水县某中学2024届高三年级下册第二次模拟考试数学试题（解析版）

淹水一中2024年春高三年级第二次高考模拟

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

A=(-2,-1,0,1,21,B=[x\y=Vx+log(3-x)l人口

1,已知集合I，，…，II7却3〜则ApB=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.

x>0x>0

【详解叫3200=^>0<x<3,

x<3

所以5=[巾=«+k)g3(3—x)[={M0«%<3},

故AB={0,l,2},

故选：A

/7—i

2.已知复数一在复平面内对应的点在虚轴上，则实数。=()

1+i5

A.-1B.OC.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数的运算和几何意义分析求解.

ci—1a—1(a-i)。-i)a—1a+1.

【详解】由题意可得:--------------1

i+i5-7+7(I+i)")22

Z7—1。—1

因为复数一在复平面内对应的点在虚轴上，则——=0,解得a=l.

1+i52

故选：C.

3.“存2”是“直线/i：尤-ay+3=0与氏ax-4y+5=0相交”的()

A充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先计算若直线乙，平行，可得，的值，然后根据充分条件、必要条件的概念进行判断可得结果.

【详解】由题可知：直线/i：x-〃y+3=0,直线/2：ox-4y+5=0

当直线4,4平行时：lx（T）—（―a）xa=O且1x5—3awO,

则。=±2

所以当aW±2时，直线/i：尤-ay+3=0与b：ar-4y+5=0相交

故“存2”是“直线/1：x-ay+3^0与Z2：ax-4y+5=0相交”的必要不充分条件

故选：B

【点睛】本题考查直线相交的计算以及充分不必要条件的判断，本题关键在于说明两直线平行，正所谓正

难则反，属基础题.

4.古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印

度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问

题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（）

A.413B.427C.308D.133

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，初日4德拉玛，以后每日等量增加5德拉玛，故每日德拉玛数依次构成等差数列{4},

利用等差的通项公式和前n项和公式求解.

【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列{4},设数列首项为%,公差为d,则6=4,d=5.

则通项公式%=4+（八一1）义5=5〃-1,《5=74,/=39,

则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为：

Sy5-Ss="（4+74）_8（4+划=585_172=413.

15822

故选：A

5.已知圆O：x2+y2=1,尸为直线/：x+y—4=0上的一个动点，过尸作圆。的切线，切点分别为A、

B,若直线以、尸2关于直线/对称，则cos/APB=（）

A.且B.3C."D."

7434

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得8,/,ZAPO=NBPO,求出再结合二倍角公式即可得解.

【详解】由题知Q4、依关于直线/：x+y—4=0对称，知

_|0+0-4|

则|。耳=2何。4|=1,

记ZAP3=2a,则ZAPOMNHPOna,

则sin。=,所以cosZAPB=cos2(z=1-2sin2(z=—.

\OP\44

6.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率

论中有一个重要的结论：若随机变量y〜3(〃,“)，当〃充分大时，二项随机变量F可以由正态随机变量

X来近似地替代，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同.法国数学家棣莫

弗(1667-1754)在1733年证明了p=g时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯(1749-

1827)在1812年证明了这个结论对任意的实数pe(O,l］都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗一拉普

拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的

概率为()

(附：若X则P(〃一crWXW〃+cr)kO.6827,P(〃-2crWXW〃+2cr)a0.9545,

P(〃一3crVXV〃+3cr)y0.9973)

A0.99865B.0.97725C.0.84135D.0.65865

【答案】B

【解析】

【分析】正态随机变量X的均值方差可由二项分布的均值方差公式来近似，根据题中所给数据运算即可得

解.

【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为X,

贝Ijx〜42500,g；E（X）=〃2=2500xg=1250,D（X）="°（l—p）=2500xgx口=625.

由题意XN.,6,且〃=£(X)=1250,4=0(x)=625=252,

因为尸(〃一2cr<XW〃+2cr)“0.9545,即P(1250—2x25<X<1250+2x25)^0.9545,

所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为

09545

尸（X>1200）=尸（X>1250-2x25）—+0.5=0.97725.

故选：B.

22

7.已知双曲线c：A-2=i®>o,b>o)的左、右焦点分别为耳，居，过耳的直线与y轴相交于/点，与

a"b

双曲线。在第一象限的交点为尸，若片M=2VP,•&P=0,则双曲线C的离心率为()

A.V2B.73。.孚D-V3+1

【答案】D

【解析】

3c

【分析】设NP£B=。，。为锐角，依题意可得尸耳,尸乙，|「片|=—|河耳|,再由|人园=-得

2cose

至小明|=/)，又|PQ|=2csind,利用勾股定理得到方程，即可求出COS。，从而求出。，最后求出离

2cos

心率即可.

设。为锐角，

3

因为片"=2"P,FpF2P=0，所以玛，|「制=5|“4I，

：.\MF,\=-^,:\PFl\=-\MFl\=^^,又|P£|=2csin。，

cos。22cos6^

：.\PF1f+\PF2^F1F2f,

2

-------+4c2sin6=4。2,

4cos2e

9+16sin20cos20=16cos20，

.*.9+16(1-cos26)COS28=16cos20,

.,.9—16cos4^=0,

.•.cos2^=^,：.cose=B(负值舍去)，.•.6=30°,

42

33cL

:\PF.\=-\MF|=--------=&,\PF\=2csin0=c

212cos。2f

双曲线。的离心率e=||2c

W月I=A/3+1

|尸耳|-|「玛|

故选：D.

【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围）,

常见有两种方法：

①求出。，c,代入公式6=二；

a

②只需要根据一个条件得到关于b,。的齐次式，结合〃=°2—/转化为.，c的齐次式，然后等式

（不等式）两边分别除以。或/转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

JT

8.已知在四面体ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD,二面角A—BD—C的大小为一，且点A,

3

B,C,。都在球。的球面上，■为棱AC上一点，N为棱5。的中点.若MO=尢CN，则4=（）

1452

A.-B.-C.—D.一

3993

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意和几何关系，并在△ACN所在平面内建立平面直角坐标系，确定点的位置和坐标,

即可求解.

【详解】由题意知ZVlBr）与△BCD均为等边三角形，连接AN,CN,则CN1BD,

N/WC是二面角A—血―C的平面角，

A

C

TT

所以NANC=—,又易知AN=CN,所以"QV是等边三角形.

3

设尸为△BCD的外心，。为CN的中点，连接ORON,AQ,则点。，P,。都在平面ACN内，建立平

面直角坐标系如图.

2n

设AN=NC=AC=2,则NP=—,ZONP=~,所以。p=工

369

易知CM=2CA,

9

.0M5

,“——

CN9

【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合几何关系，建立如图所示的平面直角坐标系，转化为平面几何问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知方，豆分别为随机事件46的对立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,贝I（）

A.P（B|A）+P（B|A）=1B.P（B|A）+P（B|A）=P（A）

C.若A,B独立,则P（A|3）=P（A）D.若A,8互斥，则P（A|5）=尸（6|A）

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案.

【详解】因为P（3|A）+P（月|A）=°（号/（“）=累^=1,A正确，B错误;

,、P（AB]/、

由独立事件定义，若43独立，则P（A5）=P（A）P（5）,P（A|B）=-^^=P（A）,c正确;

/、/、P（AB）/、P（AB）

若A,8互斥，则P（AB）=O,P（A|B）=-^=O,P（5|A）=-^=0,DM.

故选：ACD

10.已知。为坐标原点，点尸为抛物线C：丁=4%的焦点，点尸（4,4）,直线八%=根丁+1交抛物线C

于A,B两点（不与P点重合），则以下说法正确的是（）

A.\FA\>1

7T

B.存在实数加，使得NAOB〈一

2

C.若AF=2FB，则m=土二一

4

D.若直线巴4与尸5的倾斜角互补，则m=-2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可判断A正确；联立直线和抛物

7T

线方程利用向量数量积公式可知，NAOB〉]恒成立，所以B错误；根据4b=2五6可知A，3两点的纵

坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得加=土注，即C正确；由直线外与PB的倾斜角互补，可

4

知即A+^B=0,利用韦达定理联立方程即可求出租=-2,即D正确.

【详解】由已知，抛物线C：/二以，2=2,^=1,焦点/（1,0）,

不妨设为4（%,%）,S（x2,y2）,设A,8到准线的距离分别为〃，dB,

对于A,..•由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，X1>0,

直线/：x=my+l过焦点厂（1,0）,

,由抛物线的定义用=弘=玉+言=玉+121,故选项A正确；

y2-4%

对于B,H消去X,化简得V—4根>—4=0（显然A>0）,

x=my+1

则%+为=4加，%%=-4，

222

"•>>2=4%,菁x,="%一=1,

■41-16

OA=（菁,％）,OB=（九2,%），,OA•OB=h/+%为=1-4=—3<0>

cosZAOB=cosOA,OB=1°：<。，；.ZAOB>-,

\OA\-\OB\2

7T

・••不存在实数加，使得/AQB<—,选项B错误；

2

f

对于C,AF*=（1-％,）,FB—（x2—1,y2）

•・・通=2而,，（1-/-％）=2（%2-1,%）=（2%2-2,2%）・,・-%=2%,

・

又••由选项B判断过程知%+%=4加，y{y2=-4,

・,

「解得％=2A/^,y2=—V2,加或％=—,y2=V2,m=~~~~

历

・,•若AF=2尸B，则加=±—，选项C正确；

对于D,由题意，玉。4,%2。4,%。4,%。4,

直线与PB的倾斜角互补时，斜率均存在，且kpA=—kpB，

—

V,4y—4丫2丫2

9，代入石=为，%=&,化简得％+为+8=0,

再-4%-444

由选项B的判断知，%+%=4根，

4m+8=0,m=-2,故选项D正确.

故选：ACD.

2

11.已知函数/(x)=e*与函数g(x)=1+---的图象相交于A(%,%),5a2,%)两点，且％%数lie

x-1

%1

A.乂%=1B.=-

e

C.―——>1D.x2y2=1

尤2一苞,一

【答案】AC

【解析】

【分析】构造函数利用奇偶性和单调性得出西+%=°，结合选项逐项验证即可.

2V+1V-I-1

【详解】由题意e'=l+——有两个不等的实数根，eA=--，x=ln^—,

X—1X—1X—1

-yI-1_-V-1

令/z(x)=x—In---,则/z(-x)=-x-ln—---=-/z(x),即为(%)为奇函数；

x-1-X-1

r24-1

当x〉l时，一>0,//(%)为增函数；

x2-l

若丸(xj=o,贝1]/2(—西)=0,又〃(％)=。，所以西+%2=0.

对于A,%%=e*e*=9+雁=1,正确.

对于B,若丁『=9巧=』成立，则有王羽=—1,与%+々=0矛盾，所以B不正确.

e

A^2X]%]+^2-.X]vU

对于c,由指数均值不等式一—>e丁可得一一>1,所以3^〉1,C正确.

%2—%工2—玉工2一再

对于D,令F(x)=xe*,Ff(x)=(%+1)eY,当尤>1时，Fr(x)>0,E(x)为增函数，

所以歹(X2)〉P(l)=e,即X2%〉e,D不正确.

故选：AC.

/-----x-xX+x

92±9

【点睛】结论点睛：均值不等式的拓展：(1)对数型均值不等式：7^2<.-1-<-v^,

InXj-lnx22

“1+"^2।「尤2

其中石w%，X1〉O,X,〉O；(2)指数型均值不等式：e2<---------<----------,其中%彳%,.

%一菁2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

7

12.已知一组数据点(%.,y)(i=l,2,,7),用最小二乘法得到其线性回归方程为y=—2》+4,若\>，=7,

.Z=1

7

则SX-=-

1=1

【答案】14

【解析】

【分析】根据回归方程必过样本中心点(.亍)，即可得到答案.

-17

【详解】根据题意可知该组数据点％=亍23=1，

7i=i

所以y=-2x+4=2,

7_

所以=7y=14,

i=l

故答案为：14

13.在」RC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,cosC=-,c=8,则当a+b取得最大值

3

时，sin.

【答案】亚

3

【解析】

【分析】由正弦定理可求出的外接圆半径，借助于正弦定理进行边化角运算可得

a+b=2R(sinA+sin3),在_43。中，sinB=sin(A+C),由两角和的正弦公式展开代入/C的正余

弦值计算，由辅助角公式即可求出结果.

1/-GDc812A

【详解】解：cos。：，.•.sinC=2，设,ABC外接圆半径为R.则碇=而=五

33亍

得尺=3万

则a+b=2R(sinA+sinB)=6后[sinA+sin(A+C)]=6后(sinA+sinAcosC+sinCcosA)

=6及gsinA+2fcosA)=6^2xsinA+

其中，cos9=g，sine=g

jr

当sin(A+°)=l.即A+e=5时，a+b取得最大值,

此时A=1—0.所以sinA=sin(]-(p)=cos(p=.

故答案为Y

14.设nwN*,an为(2x+3)"—(x+1)”的展开式的各项系数之和，c=2t—3,feR,

2=年］+号］++瞪］(网表示不超过实数x的最大整数)，则("—I+电+c)2的最小值为

【答案】1##02

【解析】

【分析】赋值法求出。"=5"-2",结合导数判断”-1〈;六〈”，确定=〃-1.结合等差数列求和公

式得口，将(“T)2+(，+C)2转化为点点距的平方进而求解.

【详解】令*=1可得，«„=5"-2",黑="—,

设〃x)=g(x21),则广=

X

令/'(%)=。，得*=0

当xe(l,e)时，/'(%)>0,函数/⑺单调递增；

当xe(e,+8)时，/'(九)<0,函数/(x)单调递减.

rJnx,l1,厂,5

则-----<—<—=lnve<In—.

xe22

一।s<Inni5

故对任意的H21,——<ln-.

n2

故<i,故〃一1<华〈”，即警=〃一1.

⑴5"3」

\n1—n

=1+2++(〃-1)=--,

则(”—t)2+(2+c)2的几何意义为点(〃,47)(〃eN*)到点«,3—2。的距离的平方,

最小值即点(外石井)(〃eN*)到y=3-2x的距离的平方,

/、2-31

且点(1,0)到直线y=3-2%的距离4=——L=-=,

V22+l2V5

/、|4+1-3|2

点(2,1)到直线y=3-2x的距离d2=―J=存，

.•.(“T)2+(d+C)2的最小值为、

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数最值及点点距的应用，关键是利用导数判断出

n-l<-^-<n,进而确定么.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.设函数〃%)=机(％+1)6”,加>0.

(1)求”力的极值；

(2)若对任意XG(T,-H»),有W(x)W2e*恒成立，求机的最大值.

【答案】15.极小值-无极大值；

e

16.e2-

【解析】

【分析】(1)求导，判断函数单调性即可确定极值；

(2)分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解.

【小问1详解】

/'(x)=m(x+2)ex,m>0.

令r(x)>0,得x>-2,令r(x)<0,得x<-2.

故/(%)在一2)单调递减，在(—2,+“)单调递增.

・・•/(尤)在x=—2处取得极小值/(-2)=-^-,无极大值.

e

小问2详解】

Inf(x)<2e*对X/xe(-1,+oo)恒成立，即InmW2e*—In(x+1)—x对X/xe(-1,+oo)恒成立.

¥

4g(x)=2e-In(x+1)-%,xe(-1,+oo),则只需Inm<g(x)min即可.

gf(x)=2ex---

JiIJ-

易知y=2e*,y=——'—1，均在(—1,+")上单调递增，

故g'(x)在(―1,+8)上单调递增且g'(0)=0.

••，当xe(—1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减；

当xe(0,+oo)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.

，g(x)min=8(°)=2.故1:1根<2=11162,,0<m<62,故加的最大值为『•

16.11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少

领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10：10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结

束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的

硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为乙发球时甲得分的概率为:，各球的比赛结果相互

独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10：10.

(I)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；

(2)求第一局比赛甲获胜的概率P。；

(3)现用估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.

7

【答案】(1)分布列见解析，均值一

6

,、2

⑵P。=§

【解析】

【分析】（1）易知X的所有可能取值为0,1,2,根据条件概率公式可求得对应概率取值可得分布列和均值；

（2）根据获胜规则求出第一局比赛甲获胜概率的表达式，解得po=g；

（3）由五局三胜制的规则，可知y的所有可能取值为3,4,5,求出对应概率相加即可求得甲获胜的概率为

64

81,

【小问1详解】

依题意，X的所有可能取值为0』,2

-1

设打成io：io后甲先发球为事件A,则乙先发球为事件无，且P（A）=P（A）=5，

--1111111

所以P（X=0）=P（A）-P（X=0|A）+P（A）・P（X=0|A）=—x—><—+—x—x—=—,

2322236

>

P(X=l)=P(A).P(X=l|A)+Pa)-P(X=l|A)=|xflx|+|x|L|xf|x1+1x||

2

--1211121

P(X=2)=P(A)・P(X=2|A)+P(A)・P(X=2|A)=—x—x—+—x—x—.

333

所以X的分布列为

X012

J_I

P

623

1117

故X的均值为£(乂)=0*%+1X5+2><3=%.

【小问2详解】

设第一局比赛甲获胜为事件8,则P（51X=0）=0,P（61X=1）=P（5）,P（51X=2）=L

由（1）知，P（X=0）=1,P（X=l）=1,P（X=2）=|,

由全概率公式，得P（B）=P（X=0）P（B|X=0）+P（X=l）P（B|X=1）+P（X=2）P（6|X=2）

=-xO+-P（，B）+-,

62''3

2?

解得P⑻=§，即第一局比赛甲获胜的概率p0=~.

【小问3详解】

由（2）知p（）=g，故估计甲每局获胜的概率均为|,根据五局三胜制的规则,

设甲获胜时的比赛总局数为y,因为每局的比赛结果相互独立，

所以F的所有可能取值为3,4,5,

因此可得卡=3）=白3=*至=4）=小白飞=*至=5）=盘义白3义白、工

Wz/Jz/jjoi

故该场比赛甲获胜的概率P=p(y=3)+p(y=4)+p(y=5)=—.

81

17.在四棱锥P—ABC。中，已知AB〃CE),ABA.AD,BC±PA,AB=2AD=2CD=2,

PA=R，PC=2,E是线段PB上的点.

（1）求证：PC,底面ABCD；

（2）是否存在点E使得24与平面E4c所成角的余弦值为逝？若存在，求出些的值；若不存在，请

3BP

说明理由.

【答案】（1）证明见解析

BE1

(2)存在，---

BP3

【解析】

【分析】（1）首先证明平面PAC,可得出BCLPC,利用勾股定理的逆定理可证得PCJ_AC,再

结合线面垂直的判定定理，即可证明PC,底面ABCD；

（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，设BE=；LBP，且0W2W1,求平面£AC的法向量〃，利用

|cosAP,n|=|,即可求得九的值，即可得出结论.

【小问1详解】

在AADC中，AD=DC=1,ZADC=90°,

所以AC=JA£>2+DC2=7571=0.

在，ABC中，AC=41,AB=2,ABAC=45°-

由余弦定理有：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos450=4+2-2x2xV2x—=2.

2

所以，AB2=AC2+BC2,所以/4CB=90。，

所以BC±AC,

又因为PAAC=A,PA，ACu平面PAC,所以，6C1平面Q4C,

因为PCu平面F4C,所以，BC±PC,

在AB4c中：AC=4i,PC=2,PA=瓜,则PA?=人。2+,

所以，PCLAC,

因为ACBC=C,AC,5Cu平面ABC。，

所以PC上面ABCD.

【小问2详解】

因为PC,平面A3CD,ABYAD,以点A为坐标原点,

A。、AB、CP的方向分别为x、丁、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则有4(0,0,0)、8(020)、C(LLO)、皿(1,0,0)、尸(1,1,2),

^BE=ABP=2(1,-1,2)=(2,-2,2Z),其中0W/W1,

则AE=AB+BE=(42-2,22),AC=(1,1,O),AP=(1,1,2),

n-AE=2x+(2—2)y+22z=0

设〃=(匹yz)为面E4C法向量，则有'7

n-AC=%+y=0

取光二-a,贝!ly=4，2=2-1,

所以，平面石4。的一个法向量为〃=（—九Z%—1）,

设与平面E4c所成的角为

逐..2

cosa=—,••sina=—

33

II\AP-n|22-2|2

rH旦百舍*口」＜旦lr»ncAPril—J----------------!------!........-—，

|AP|-|HV6X^22+22+(2-1)2

可得3万+22-1=0，因为0W4W1,所以;1=；.

因此，存在点E使得E4与平面E4c所成角的余弦值为逝,「BE1

且=_.

BP3

18.已知椭圆石：，+营=1（。〉5〉0）离心率为?，椭圆上的点到焦点的最远距离是2+6.

（1）求椭圆E的方程；

（2）椭圆上有四个动点A,B,C,D,且与相交于点P.

①若点尸的坐标为（4,2）,A为椭圆的上顶点，8为椭圆的右顶点，求CD的斜率；

②若直线A3与CD的斜率均为-g时，求直线0P的斜率.

丫2

【答案】18.—+y2=l

4-

13

19.①；②一

24

【解析】

【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点到焦点的最远距离计算即可得；

（2）①由椭圆方程可得A、瓦点的坐标，即可得儿与鼠：的解析式，联立曲线计算即可得C，。两点坐标，

即可得CD的斜率；②由A3与CD的斜率均为-g，可得A5//CD,设PD=；LDA，则有PC=；ICB，

结合向量共线满足的坐标运算，代入椭圆方程中，可得2根力玉+8川1%+7〃2+4"2=8/1+1,同理可得

2222

2m20+8n2y2+m+4n=82+1,即可得乙吕：2m2x+8nAy+m+4n=82+1,结合AB的斜率值,

71

即可得一，即可得直线0P的斜率.

m

【小问1详解】

由椭圆E的离心率为也，故£=走，

2a2

由椭圆上的点到焦点的最远距离是2+6，故a+c=2+省,

解得。=2,c=百，故万!二/—（?2=1，

即椭圆E的方程为工+>2=1;

4

【小问2详解】

2

①由椭圆E的方程为工+>2=1,则4（0,1）,5（2,0）,

2-11

则岫：即/AD：y=z*+i'

2—0

IBC•y~-2），即，3cy=x—2

4—2f

,11

y=—x+l

4

联立直线AD与椭圆方程，有｛2，消去y可得5/+8X=0,

X1

——+y2=1

14/

OQQ

解得x=0或x=_2,由A（0,l）,故了。=一二，则即。

y=x-2

联立直线与椭圆方程，有X221消去y可得5/一16尤+12=0,

—+V=1

14'

岂.4

解得x=［或x=2,由5（2,0）,故%=g，则,c=_1，故则％—§—

~5~5

②设A&,yJ,B（x2,y2）,。（毛,为），。（孙％），尸（见”）,

设P£>=/LD4（XwO）,

_4百+m

%-m=Ax-2X2+1

则有《i4即《

/一〃=孙一彳/_4M+n

2+1

由A在椭圆E上，故土+靖=1,

41

22

化简得丸2%；+2根4演+加2+4丸2丁；++4n—4A+8A+1,

丫2

由》+3=1,即有22%；+442＞；=4；12,

22

则有2根2演+8nAyt+m+4n=82+1,

由直线A3与的斜率均为-g,故A5//CD,

2

则有PC=2CB（2丰0）,同理可得2租24+8nAy2+m+W=82+1,

22

故直线lAB'2mAx+8〃4y+m+4n=82+1,

BPW--=--=即0=3,

38zz24〃m4

【点睛】关键点点睛：本题第二小问的最后一问的解题关键点在于由直线AB与CD的斜率相等，得到

AB//CD,从而可设出产。=%DA，得到PC=2C3,结合向量坐标运算得到

2