重庆市2023-2024学年高一年级下册第一次月考数学试卷(含答案)

重庆市礼嘉中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：考号：

一、选择题

1.设集合A={M(x+l)(x—4)20},B={x|lgx>0},则AB=()

A.[-1,4]B.[4,+co)C.(-oo,-l]U(L+°°)D.(l,+oo)

2.已知复数z满足z(l-i)=5+i,其中i为虚数单位，则z的虚部是()

A.3B，3iC.2D.2i

3.已知tanez=2，则sin2a+cos2a=()

A.-B.--C.-3或1D.l

555

4.若在三角形ABC中，40=2。。，。8=2郎，则。E=()

13131313

A.--CA+-CBB.-CA+-CBC.--CA--CBD.-CA--CB

22222222

5.设若sina=],则2cos(2二-；卜()

A一正C・迪D.一立

25252525

6.已知定义在R上的函数/(x)满足/(x-l)+/(x+l)=0,且当xe[0,2)

时,/(x)=log2(x+l),则3/(2023)—2/(2022)的值为()

A.3B.lC.-lD.-3

7.如图，在△ABC中，。为的中点，瓦b为3c的两个三等分点,AE交于点M设

A8=a，AC=/?，则FM=()

1515151515151515

8.已知平面向量a,0满足同=1,卜,4+8）=^•，则卜-耳的最大值为（）

A.2BV2+1C.6+1D.3

二、多项选择题

9.已知向量a=(3,—4)，。=(2,1)，则()

A.q_2/?=(-1,-6)

B.\a+b\=y/34

C.与向量平行的单位向量为。=(|,-孑

D.向量〃在向量力上的投影向量为2匕

10.已知函数/(X)=sin2<yx+：j+sin(2s-5)+2石cos?百(《y>0),则下列结论

正确的是()

A.若/(x)相邻两条对称轴的距离为则0=2

B.当/=i，xe0,^时,/(x)的值域为卜6,2]

C.当刃=1时,/(力的图象向左平移看个单位长度得到函数解析式为y=2cos(2x+"

D.若/(x)在区间01上有且仅有两个零点，则5W0<8

11.如图，在AA5C中，3C=，NB4C=60。，点、D与点B分别在直线AC两侧，且

AD=2,QC=26，当长度为何值时,△ACD恰有一解()

A.6B.4y/C.—D.6-y3

三、填空题

12.已知向量〃=（3,1）=（3,-2）,3=（1,4）,则〈。,力一。）=，

13.已知sin（a-Z]=，4!jsin2a-^-\=

14.已知函数/(x)=log“(ox：2-2x+4)(a>0,且“1)在区间3)上单调递增，则a

的取值范围____________.

四、解答题

15.已知函数/(x)=2sin(3x+m)+l(o>0)的最小正周期为

(1)求/(2)的值；

(2)求函数的单调递增区间.

16.如图，在△ABC中，已知=2，AC=4，NBAC=60°，M,N分别为AC，BC上的两点

AN=-AC,BM=23C，AM，BN相交于点P-

23

(1)求［AM］的值；

(2)求证：AM1PN-

17.如图在△ABC中,N8AC=W,满足A£)=3D8.

(1)若/6=巴，求乙48的余弦值；

3

(2)点M是线段CZ)上一点，且满足AM=/〃AC+gAB,若△ABC的面积为百，求,必

的最小值.

18.如图,有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCO的形状，它的下底

A8是半圆的直径，上底CD的端点在圆周上.记梯形A3CO的周长为=«

(1)将y表示成。的函数；

(2)求梯形ABCD周长的最大值.

19.在锐角△ABC中，设角48,C的对边分别为a,"c,且q=4,cosA

(1)若c=4,求△4BC的面积；

(2)求生电的值；

cosC

(3)求,8+4。|一48乂0的取值范围.

参考答案

1.答案：c

解析：由题意A={x|x«-1或xN4},8={x|x>l},

/.AB={x[x<-1或x>l},

故选：C.

2.答案：A

解析：由题意知z=皿=(5+i)(l+i)=i±^=2+3：

1-i(l-i)(l+i)2

虚部为3,

故选：A.

3.答案：D

2sinofcosof4-cos2a2tana+1

解析:sin2«+cos2a=2sincifcos6z+cos2a=

sin2or+cos2atan2(7+1

故选：D.

4.答案：A

解析：如图,

因为AC=2DC，CB=2BE，

3_i一

所以CE=—CB,CO=—C4,

22

_O1

所以DE=CE-CD=-CB——CA,

22

故选：A.

5.答案：B

解析：因为e(],兀),且sina=、，所以cosa=-Jl-sin2a

所以sin2a=2sinacosa=2x=x[-二]=2cos2a-l=2x(-3]-1=—,

5I5；25<5j25

J7024夜1175/2

所以2cos2a一巴=2cos2acos—+sin2asin—=2—x-------------x-----=--------------

I4JI44(252252J25

故选：B.

6.答案：D

解析：+/(x+l)=0,

.•./(-l)+/(l)=0,K/(l)=log2(l+l)=l,.-.=

/(O)+/(2)=()，且八0)=log?。+1)=0,二/(2)=0,

又可得〃x)+〃x+2)=0,

.•J(x+4)=/(x),"(x)是周期T=4的周期函数，

.•"(2023)=/(-l)=-L/(2022)=/(2)=0,

.­.3/(2023)-2/(2022)=3x(-l)-2x0=-3,

故选：D.

7.答案：A

解析：连接E4，H>.由EMA三点共线，可设

由题意知FE=』CB=；（AB—AC）

1?

_A6=——AB——AC,

33

所以⑶=汩48+上4。.

33

同理由D,M,C三点共线，

nr^FM=//F£)+(l-//)FC=—A8+3心

63

22-1_3〃-2

所以36

2-21-3//

33

5“H1-7

解得从而FM=—a——b.

41515

故选：A.

8.答案：C

解析：设4=。4。=。&4+8=0。，如图，

BC

OAD

由题意，即在平行四边形Q4cB中,。4=1，/。。4=4，

6

求A3的最大值.

延长0A至0D，使OA=4)，则CD=AB，

由正弦定理,04,C三点所在外接圆的直径2R=———=2,

sinZOCA

所以R=l，设圆心为G,如图，

所以可知NGOO=H，又OG=1，QD=2，

3

所以由余弦定理可得DG=Jl2+22-2xlx2xcosy=6，

则由图象可知C£)WOG+R=1+G，

故选：C.

9.答案：ABD

解析：由题意a一2b=(-1,-6)，A正确；

a+6=(5,-3)，,+4=荷+(-3>=用,B正确;

与a平行的单位向量有两个，它们是相反向量,C错；

。为=6-4=2〉0,向量a在向量〃上的投影向量与0同向，

节=5=半珅"，所以向量a在向量6上的投影向量为|b,D正确.

故选：ABD.

10.答案：BCD

2

解析:/(x)=sinf2cox+yj+sinf2cox-三卜2百coscox-y/3

sin26wxcos—+cos26y%sin—+sin2°xcos三-cos2tuxsin三十百cos2cox

33

=sin26yx+Gcos2twx=2sinf2cox+I,

对于A,若/（另相邻两条对称轴的距离为4,则7=2'3=无=如,故°=1人错误,

22269

对于B,当g=1,=2sin12x+g),当xs0,-^-时+7T4兀

3,3

则/（x）的值域为［-6,2］,B正确，

对于C,当°=1,/（》）=2$皿［2苫+工

/（X）的图象向左平移巴个单位长度得到函数解析式为

6、

、717«1v—•I—2兀、

+=2s++—=2sin2x+—2cos2%+工］,C正确,

-TijHvi63；3)I6

对于D,当川咽时,2。若唱,2唔W

若在区间0,-上有且仅有两个零点，则2兀《23四+二<3兀，解得5W0<8,故D正

L6J63

确，

故选：BCD.

11.答案：ABD

解析：在△A8C中，设BC=GAC=Gm>0，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZBAC^

贝13m2=AB2+m2-2mABxl,BPAB2-mAB一2%=0，

2

解得AB=2加或=（舍去），

贝IAC2+BC2=AB?，可得AC_LBC•

在△AC£>中，设ZADC=8，

由余弦定理可得：AC2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC，

即川=4+12-2x2x2百cos。=16-8j5・cos。,

由正弦定理可得—=焉皮'则sin48=""=jin°'

在△3C£>中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2-2BC-CD-cosZBCD，

则》=3疗+12-23nx26•cosf-1-+ZACDj=3m2+12+12wtxsinZ.ACD

,圄+

3（16-8G.cose）+12+24sine=48sin60,

因为6€（0,兀），则

若△4CD恰有一解，则。-1e

WBD2€（60-2473,60+246）或BD?=108，

62=36e（60-24百,60+246）,（4指『=96e（60-24区60+24省卜

g）=某6（60—2475,60—24月）,（66『=108，

故A、B、D正确,C错误.

故选：ABD.

12.答案：巴

2

解析：由题意tz=（3,1）,/?=（3,—2）,c=（1,4）,贝（jb-c=（2,-6）,

（3，以2,-6）

所以cos（a,石一e）

疗Kx"2+（—6）2

又因为04（a,。一c,W7i,所以〃一=

故答案为：1.

2

13.答案：1

8

解析：设a-夕，则sin/?=a

所以sin[2a-？=sin7

8

故答案为：

8

r?1-

14.答案：|1L[2,+oo）

解析：函数=log。（加—2x+4）是由

y=log.t和，—2x+4复合而成，

当a>1时y=logJ单调递增,

若函数/（x）=log"（62_2X+4）（a〉0,且M）在区间（别上单调递增，

则=十一2*+4在（别上单调递增，且/=加一2%+4>0在加上恒成立,

t-ax2-2x+4的对称轴为x=—

所以-<-解得：a>2,

--1+4>0

14

当0<a<l时y=log/单调递减，

若函数小卜陶国一？一）（a>0,且“1）在区间3）上单调递增，

则t-*-2x+4在（g,3]上单调递减，且t=/-2x+4>0在区间,31上怛成立,

t=ax2-2x+4的对称轴为x

->3解得

9«-6+4>0

综上所述：。的取值范围是[2,+oo）,

93

故答案为：I[2,+oo

[93」「

15.答案：（1）1-73

「5兀kn1In,小

（2）——+—,——+——（keZ）

363363v7

_2TI_

解析：（1）由题意知函数/（x）的最小正周期为四，所以"=T=6,

33

贝U/（尤）=25抽（61+方）+1,所以/——2Csi•n6Vx—兀I兀—+1=1—>/3.

I63

1c•//兀、1

（2）由（1）知/（一元）=2sin+1——2sin6x—+1?

I3J

当乌+2加46x—色K至+2E/eZ,

232

艮嗤+等，卷+*Z,/（x）单调递增,

故/㈠单调递增区间为徭宫黑片

（&eZ）.

16.答案：（1）生叵

3

（2）证明见解析

解析：（1）因为BM=%C,

3

I1。[

所以AM=AB+BM=AB+—BC=A8+—（AC-A5）=—AB+—AC,

33、>33

所以

I|2<21Y42412441116

\AM\=-AB+-AC=-AB+-ABAC+-AC=-x4+-x2x4x-+-xl6=—，

11U3J99999293

所以卜手；

（2）因为4V」AC,

2

所以6N=84+AN=-A6+，AC,

2

所以AM.8N=（2AB+1AC]/-AB+，AC]=-2A82+，AC2=-2X4+』X16=0,

（33八2J3636

所以AM_LBN，即40，9,所以40_1。'-

17.答案：（1）独I

26

⑵V2

解析：（1）由题意可设NAC£）=e，

在△AC。中&=旦一①

sin0sin60°

十.DBCD否

在△38中.小。/~②

sin（60°-，）sin600

由①②可得3sin（60。一夕）=sin。，

厂n_3>/3_sin夕,—

解得tan”地，则tan<=y-=斯，解得c°se=ML

5sin2+cos20=1如

故COS/ACD=M^

26

I2

（2）AM=mAC+-AB=mAC+-AD,

23

且C、M、。三点共线,所以加=1

3

s.c=；网"

故网同=4.

11Y1-2112

-AC+-AB=-AC+-ACAB+-AB

32J934

4

=2

H

当且仅当|AC|=C时;所以=e.

18.答案：(1)y=8sind+4cos29+4,6e(0,女)；

4

(2)10

解析：(1)由AB是半圆的直径，得ACJ.8C，则AQ=8C=A8sinNC4B=4sin。，

过。作。E_L8交C£)于E,连接CO，则/COB=20，ZEOC=--20,

2

因此CO=2CE=20csinZEOC=4cos20，

所以y-8sin0+4cos20+4,e(0,—)•

4

（2）由（1）知y=8sin（9+4cos26+4=-8sin2e+8sin9+8,ee（0,：）,

设f=sin。e（0,也），则y=-8d+即+8,显然当f=；时,y有最大值10.

所以梯形ABC。周长的最大值是10.

19.答案：（1）日

25

(2)20

(3)[T,2V5-9)

解析：(1)由余弦定理cosA='+>一”?=2=3=匕=*

2bc855

结合5抽4=±可知公48。的面积5=,儿5m4=^*马^4乂？=旦

5225525

(2)因为“=4,sinA=±所以--—=5,

5sinA

由正弦定理"=5sinB，c=5sinC

所以5/7—3c_25sin8—15sinC，①

cosCcosC

由于sin3=sin(A+C)=sinAcosC4-cosAsinC=-1cosC+^sinC,

带入①式可知.5。一3c_（20cosC+15sinC）-15sinC

=20

cosCcosC

（3）解法1：设中点为O,则,8+4。=|24。卜2,4

ABAC=（AD+DBy（AD+DC）=（AD+DB）（AD-