湖北省孝感市2023-2024学年高二年级下册4月期中考试数学模拟试题（含答案）

湖北省孝感市2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学

模拟试题

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考

证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和

答题卡上的非答题区域均无效.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知直线/的方程X+岛T=°,则直线/的倾斜角为（）

71兀5兀2兀

A.6B.3C.6D.3

C：I；=A；,贝!]〃=）

2.已知正整数〃满足（

A.7B.6C.5D.4

3.在三棱柱/8C-481G中，E是8c的中点，AG=2GE,则GC1=（）

-AB--AC+AA,-AB+-AC+AA.

A.33B.33

--AB+-AC+AA.--AB+-AC-AA

C.33D.33

4.设曲线＞=e2"在点（0』）处的切线与直线x+2y-2=°垂直，贝口的值为（）

A.1B.-1C.4D.4

5.在数列｛"/中，％=-2,«A+i=«„-1,则数列｛"/的前2024项的积为（）

3

A.-1B.-2C.-3D.2

6.已知直线/：x-y+G0和圆c：，+/=9,圆上恰有三个点到直线/的距离为1,则实

数b的值为（）

A.2A/2B.±2A/2C.-亚D.土也

7.在空间中，经过点尸（X。/。*。），法向量为0=（45。）的平面的方程（即平面上任意一点

的坐标（x，％z）满足的关系式）为./（、一%）+'&一％）+°（2一2。）=°用此方法求得平面。和

平面尸的方程，化简后的结果分别为x+2y-z=l和x-2y+3z=4,则这两平面夹角的余弦

值为（）

Jl\而2A/7277

A.7B.7C.7D.7

8.将16个扶困助学的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额数

互不相等，则不同的分配方法种数为（）

A.42B.78C.90D.84

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知公差为d的等差数列｛“力是递减数列，其前〃项和为S”，且满足%=2&,则下列结

论正确的是（）

A.d<0Bq>0

C.若S"N0,则"的最大值为7D.S”取最大值时，“=4

e*（2xT）

10.关于函数x-l,下列说法正确的是（）

A.函数/（X）的单调递减区间为

-3、

4”，+8

B.函数/（“）的值域是L）

（3A

te4e2,+oo

C.当IJ时，关于x的方程J有两个不同的实数解

D.当‘€（一叫1）时，关于X的方程"x）=’有两个不同的实数解

2222

X尸—1%歹—1

11.设椭圆/b2与双曲线。2b2（其中a＞。＞0）的离心率分别为'，e?,且

_2A/5,

y=------x+1

直线’5与双曲线的左、右两支各交于一点，下列结论正确的有（）

G的取值范围是卜B.的取值范围是

G+«2的取值范围是D.Hr；的取值范围是

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数列｛为｝的前"项和3"”+2。，贝囚=.

13.2"-3除以9的余数为.

14.如图，线段3。在平面。内，乙4BD=120。,CAla,且22=1,

BD=2,AC=3,则C,。两点间的距离为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

则称°是“和。的调和中项.

(1)求2和4的调和中项;

(2)已知调和数列｛"J,%=LO，-5,求数列｛”』向｝的前〃项和J

16.已知【xj的二项展开式只有第7项的二项式系数最大，请完成以下问题：

(1)求展开式中二项式系数之和；

(2)展开式中是否存在常数项，若有，请求出常数项；若没有，请说明理由；

(3)求展开式中非常数项的系数之和.

17.如图，在三棱柱"8C-48G中，CC平面/Be,D,E,F,G分别为“4,

AC,4G,2月的中点，AB=BC=6AC=AAi=2

r.

(1)求证：/Cl平面BE产；

(2)求平面BCD与直线CG所成角的正弦值；

(3)证明：直线尸G与平5。交.

22

土+匕=1

18.如图，已知椭圆。2/(a>b>Q)的左，右顶点分别为4,4,椭圆的长轴长

为4,椭圆上的点到焦点的最大距离为2+6，°为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

⑵设过点尸(4,加)的直线尸4,尸4与椭圆分别交于点M,N,其中加>0,

①证明：直线加过定点，并求出定点坐标；

②求面积S的最大值.

19.已知函数小)=1"+213>2).

⑴证明：/(X)恰有一个零点。，且"CO/)；

(2)我们曾学习过“二分法”求函数零点的近似值，另一种常用的求零点近似值的方法是“牛顿切

线法”.任取再e(，a),实施如下步骤:在点(和/(演))处作/G)的切线,交》轴于点&，°)：

在点G2JG2))处作/(X)的切线，交X轴于点(w，0)；一直继续下去，可以得到一个数列

"J,它的各项是/G)不同精确度的零点近似值.

(i)设Z+i=g(%),求g(%)的解析式；

(ii)证明：当再ML"),总有

1.c

【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系可求出倾斜角.

,V35兀

k____________

【详解】由题意得直线/的斜率为：—3,所以倾斜角为6.故C项正确.

故选：C.

2.C

【分析】根据组合数和排列的定义化简后解方程.

(n+l)n(«-1)

=-1)

【详解】即为eqA；,所以6

”是正整数且"22,因此解得〃=5,

故选：C.

3.C

GE=-AE

【分析】依题意可得3,再根据空间向量线性运算法则计算可得.

—•1—

_.-GE=-AE

【详解】因为/G=2GE,所以3,

GCl=GE+EC+CCl=-AE+-BC+AAl

所以32

^AC-LAB+AA.

4.A

【分析】由垂直得切线斜率，再由导数的几何意义求解.

【详解】由题意题中切线的斜率为2,

由V=e/lax，则yf=2c〃e2ax,

所以2。=2,a=lf

故选：A.

5.C

【分析】通过递推关系得出数列周期，利用周期可求答案.

1〃+i

【详解】因为〃/用=%—I所以册,

31

c€1、—6Z-5—c

%=-2,22,33,«4=-2,

所以数列｛""｝的周期为3,且％。2。3=-1,

设数列｛""｝的前〃项的积为北，4。24=卅2%…%）24=（T）aia2=-3

故选：C

6.B

【分析】由直线和圆的位置关系知，与直线/距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条

与圆相切，从而得到圆心与直线之间的距离，进而得到的值.

【详解】因为圆C：一+了2=9上恰有三个点到直线/：x—+b=O的距离为1,

所以与直线/距离为1的两条平行线中一条与圆相交，一条与圆相切，

性=2

又因为圆的半径为3,所以圆心C（Q°）到直线/距离为2,即也,解得6=±2后.

故选：B.

7.A

【分析】确定平面a和平面尸的法向量，根据向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意可知平面。和平面尸的方程为x+2'-z=l和x-2y+3z=4,

故平面&和平面广的法向量分别为4=（12T），盯=（L-2,3）,

----丹•%6折

Icos〈4，九2〉|二|一||一|=

-J147

故两平面夹角的余弦值为

故选：A

8.D

【分析】先把名额分成三组，然后再排列得各个学校的名额数.

【详解】16分成三个不等的正整数的和有：

16=1+2+13=1+3+12=1+4+11=1+5+10=1+6+9=1+7+8

=2+3+11=2+4+10=2+5+9=2+6+8=3+4+9=3+5+8=3+6+7=4+5+7,共］4种,

因此不同的分配种数为14内=84,

故选：D.

9.ABC

d—<0_八Q

【分析】根据递减数列的定义得2，求出再求得I,然后结合数列性质判

断各选项.

【详解】等差数列是递减数列，则公差d<°,A正确;

由题意226,..,<0,

贝1-4=6-2"=°,从而S,取最大值时，"=4或〃=3,D错误;

13

匚匚…%=Q4-3x(346)=_3〃6〉0

所以22,B正确；

「n(n-V)73n(n-l)11/2「、

3'=H--——d—――a6北---------------6Z=—/n)

6由S“20得1OW7,c正确.

故选：ABC.

10.BC

【分析】求出导函数/(X),确定函数的单调性与极值，确定函数的变化趋势，结合函数图象

确定方程根的个数问题.

/f(x)=eW-3x)

【详解】由已知/⑴的定义域是(XT)?,

1<x<3(1—)

由/"。)<0得0<%<1或2,因此减区间是(0J)和,2,A错；

33

x>—(—+oo)

得x<0或2,因此,㈤增区间是(-8,0)和2',

〃°)=1是极大值，“5)一是极小值，

JQ<1--

当XT•-00时，/(%)-0,且当2时，/(x)>。，当X<1且Xfl时，f(X)7—8,当

X〉1且X-1时，/W->+00,当%.+8时，/(%)-+°0,

/(X)的大致图象如图所示，

3

所以“X)的值域是3]U[4e2,+co),B正确，

/3\

te4e"+8o(0,l)

时，关于x的方程/（x）=’有两个不同的实数解,

由上讨论知当I7

当fe（-oo,0］时，关于x的方程/（》）='有一个实数解，c正确，D错误;

故选：BC.

【分析】由题意可得5。,再根据椭圆和双曲线的离心率公式逐一分析判断即可.

4-4=i尸±3

【详解】双曲线46的渐近线为‘a

k拽x+l26

直线5的斜率为5,

尸海+1

因为直线5与双曲线的左、右两支各交于一点,

b2A/5

——〉---

所以Q5

还<%1<C<1

又因为a>b>所以5a，故5a

a2+b2a2-b2

22

对于D,aaa,故D正确;

a2+b2a^-b2

e；+e；==2

对于C,丁+下

"%

关键点点睛：根据题意结合只限于双曲线的位置关系得出5«是解决本题的关键.

_3

12.2

【分析】由与求得数列的前三项，由前三项成等比数列求得

【详解】由已知%=岳=9+2。a2=S2—Sj=18a3=S3—S2=54

__3

%，％%成等比数列，则54（9+2a）=18二解得〃一一彳,

此时%=-S"-i=2x3",%也适合.

3

故一5,

13.5

【分析】将2"-3化为（9T）：3,利用二项式的展开式，即可求得答案.

【详解】由题意得尸一3=8"-3=（9-1）：3

=C"99+C；98X(-1)+C^97X(-1)2+---+C*9X(-1)8+C^(-1)9-3

=C"99+C；98X(-1)+C^97X(-1)2+---+C^92X(-1)7+77

由于C；99+C；98x(-1)+C：97x(-l)2+…+C；9?x(-1)7中每项均为9的倍数,

故产-3除以9的余数即为77除以9的余数5,

故5

14.4

【分析】证明/C/8D,由余弦定理求得4D,再由勾股定理求得8.

【详解】连接如图，△N5O中，

BD=yjAB2+BD2-2.AB-BDcosAABD=Vl+4-2xlx2cosl20°=,

AC±a,BDua,则/C/BD,所以CD=NAC。=《9+7=4,

故4.

8

15.(1)9；

T=—^―

⑵"2〃+l.

【分析】(1)根据新定义求解;

(2)利用裂项相消法求和结合条件即得.

12=2+j_=9

【详解】(1)设万和4的调和中项为°,依题意得：b44,

(2)依题意，设公差为d,2d=5-l=4nd=2

—=l+2(n-l)=2n-l

所以

1

所以2〃一1,

1一1(1______

%口”+1=(2〃-1)(2〃+1)2(2几-12n+\)

所以

111111n

1-

所以23352n-l2〃+12/7+1

16.(1)4096；

(2)存在,7920；

(3)-7919.

【分析】(1)根据二项式展开式二项式系数的性质，确定n的值，即可求得答案；

(2)根据二项式展开式的通项，令x的指数等于0,求出参数k的值，即可求得答案;

(3)利用赋值法，即可求得答案.

【详解】(1)由题意知的二项展开式只有第7项的二项式系数最大,

故IX)的展开式一共有13项，得〃=12；

MT

所以Ixj得展开式中二项式系数之和为升=4096；

22

(2-Tk+l=(-1/C%(2x)'*

(2)由I'J得展开式的通项为"J

=(-琰*2匹。—，(笈=0,1,2,…,12),

令24—3左=0,得左=8,

即展开式存在常数项，且常数项为C；22"=7920.

(3)令x=l得展开式中所有项的系数之和等于1,

则由(2)知展开式中非常数项的系数之和为.1-7920=-7919

17.(1)证明见解析；

2位

⑵11；

(3)证明见解析.

【分析】（I）首先可得即〃CG,即可得到昉工平面/8C,由线面垂直的性质得到

EF1AC,再由BEL/C,即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面88的法向量，利用空间向量法计算可得；

（3）由用i*0得到网?与平面BCD不平行，即可证明.

【详解】⑴•••E,F分别是AC,4G的中点，...EF//CC.；

...CG_L平面/3C,D平面48C,

又/Cu平面NBC,...EFI/C,

-：AB=BC,E是/C的中点，...BELNC,

又BECEF=E,BEu平面AE7"E尸u平面AEF,

...ACV^BEF.

（2）由（1）可知，EF1AC,BE上AC,E尸上平面/BC,

又2£u平面.-.EF1BE,

以E为原点，EB,EC,E厂所在直线分别为x轴，》轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所

则£（0,0,0）,5（72,0,0）JC（0,l,0）,^（0,1,2）；

5C=（^72,1,0）CZ）=（O,-2,l）CC；=（0,0,2）

设平面3co的法向量为五=（x/，z）,

元,BC=0-y/2x+y=0

则=0,即ia+z=。令X=1,可得展《，血,2行）,

设平面BCD与直线CG所成角为6,

4722V22

sin<9=\cosn,

则11

2后

故直线0G与平面BCD所成角正弦值为11.

(3)因为尸(°，。，)GW，。，。

...FG=0,0,-1),同7=亚+0-2亚=-亚力0,

...言与.不垂直，

・••FG与平面BCD不平行，

又尸Gcz平面BCD,

；.FG马平BCD交.

x2।

——+K2=1

18.(1)4'

73

⑵①证明见解析，°,°)；②2.

【分析】(1)由椭圆性质求得a。，'，得椭圆方程；

(2)①写出直线P4，P4方程，与椭圆方程联立求出M,N的坐标，再求得直线血W方程后，

由方程判断出定点；②设,(4%),"(%,％),设九W的方程为：》=)+1,代入椭圆方程

应用韦达定理得乂+力，%力,然后利用点"，"坐标求得隹。加，利用函数性质得最大值.

【详解】(1)•••长轴长为4,二"？，

椭圆上的点到点片的最大距离为2+6,

...a+c=2+C,

...c=6.

.\b=\

2

X2」

----by-1

•••椭圆C的方程为.4

(2)①证明：由⑴得4(-2，。)，4(2,0),

mz八mc、

直线尸4,尸4的方程分别为一\y~l^zx~

y=£(x+2)

Y2_1

,~T+y=1(9+m2)x2+4m2x+4w2-36=0

由〔4得l尸

c-4m218-2m2m,八6m

J+x-M己可得“下7出一.加=不国+2)=一,

丫=£6-2)

:+「=1得(1+/)/-4加、+4/-4=。

由

_4m22m2-2

2+3/

可得1+m2YD渭

6m-2m

9+机21+机22m

18-2m22m2-23-m2

9+m2l+m2

-2m2m2m2-2

y--------------

2

直线"N的方程为：l+/3-加21+m

2

2m2m-2)2m2m2m2-23—加2、

x--------x—J1)

12r222

即3-m1+m,I+m3-m1+m1+m>

可得直线MN过定点(L°).

②设.的方程为：x=(y+l,

x=ty+l

F+4/=4得(4+/»+2卬-3=0,

由

_-2t“%=3,

设N3%),则乂+%=”*,

I必一为=J(x+%)-%%=4/［；3

1114d2d2

SqOMN=5X1X匕x*TT=*TT%T

令2+3=d,(^d>V3),d

由八5且函数"":在『

...d=6时，5owv取得最大值2.

方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为（再/）（%,%）,设出直线方程为

y=h+b（或x=w+f）,代入椭圆方程应用韦达定理得匹+马,西赴（或M+%,%%）然后用

两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参

数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值.

19.（1）证明见解析

⑵"2x"，证明见解析

【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可;

1+2X„1_

------x+lnx-b-1

（2）（i）由导数的几何意义得曲线”X）在（ZJ（X"））处的切线方程为‘rt

Xn

进而得…「B

h(x)=1+2"x+lnxn-b-l

F(x)=f(x)—A(x)=Inx--—x—\nxn+1

(ii)令X",进而构造函数,结合函数

Y

单调性证明%+1<°,再根据八斗）>°,/（x“）</S）=°证明用即可得答案.

【详解】(1)/(X)=1IW+2X-6(6>2),定义域为(0,+S),

m）=-+2>o,、

所以，X在（m°，+00）上