浙江省A9协作体2022-2023学年高一年级下册期中联考数学试题（含解析）

浙江省A9协作体2022学年第二学期期中联考高一数学试题

选择题部分（共60分）

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=l+2i（i为虚数单位），则2的虚部为（）.

A.2B.-2C.2iD.-2i

2.平面向量a=(l,x),b=(-2,3)>若a与匕共线，那么X的值为（）

3232

A.——B.——C.一D.

2323

3.平面上四点。，A,B,C,满足4c=2CB，那么下列关系成立的是()

2112

AOC=-OA+-OBB.OC=-OA+-OB

3333

211-2

C.OC=-OA——OBD.OC=-OA——OB

3333

4.若机，w是空间两条不同的直线，a,£是空间两个不同的平面，那么下列命题成立的是（）

A.若a〃m,PIIm,那么a//尸B.若：m//a,wua,那么〃〃?〃

C.若mHn,nlla＞那么初/aD.若a//月，根ua,那么m//4

5.在；ABC中，角A,B,C所对边为a,b,c,A=60°，a=币,c=2,那么》的大小是

（）

A.73B.4C.75D.3

6.己知平面向量：=（1,2）,人=（一3,4）,那么0在人上的投影向量的坐标是（）

A.（-3,4）B.C,D.（后26）

271

7.如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为彳，P是扇形内部（包括边界）任意一点，若

OP=xOA+yOB那么2x+y的最大值是（）

P

B.3D.V7

A考

8.如图从半径为定值的圆形纸片。上，以。为圆心截取一个扇形40B卷成圆锥，若要使所得圆锥体积最

大，那么截取扇形的圆心角大小为（）

2小

C.6nD.兀

3

二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.

9.在一ABC中，内角A,B,。所对边分别为“，b,c,则下列说法正确的是（）

A.若4>B,一定有sinA>sinB

B.若"+/?2"2<0,那么一A5C一定是钝角三角形

C.一定有反osC+ccos3=a成立

D.若acosA=Aos3,那么一定是等腰三角形

10.如图正方体A8CD-ABCA,E、尸分别为CC1、AA,的中点，M是线段。E上的动点（包括端

A.对于任意M点，与M与平面OEB平行

B.存在M点，使得4M与平面£）尸3平行

C.存在M点，使得直线瓦M与直线£）厂平行

D.对于任意M点，直线4"与直线8F异面

11.已知a，A，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）

A.一定存在实数x,y使得a=xb+yc成立

B.若a-b=ac那么一定有aJ•仅-c）

C.若那么,一。卜卜+万一2d

D.若a・仅•c）=（a-b）-c,那么“，b，"一定相互平行

12.圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，则称该球

为圆锥的外接球.如图，圆锥P。的内切球和外接球的球心重合，且圆锥P。的底面直径为2a,则（）

A.设内切球的半径为4,外接球的半径为与，则与=2弓

B.设内切球的表面积5,外接球的表面积为邑，则，=4§2

V.9

C.设圆锥的体积为匕，内切球的体积为匕，则船=1

D.设S、T是圆锥底面圆上的两点，且ST=a,则平面尸ST截内切球所得截面的面积为%-

15

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卡的横线上.

13.已知复数2=-那么忖=.

1-i

14.如图等腰梯形A5C0,ABCD,Ab=l,AD=2,C0=3,那么该梯形直观图的面积是

15.平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向量相互垂直就称

该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可以转化为一组正交基底，其方法

(1«h

是对于一组不共线的向量a，b，令c=b———a,那么c就是一个与a配对组成正交基底的向量.若

a

。=(1,2),人=(3,4),按照上述方法，可以得到的与a配对组成正交基底的向量是.

16.已知平面向量a，h>c，若忖=,一4=2,k一,=1,那么〃.c的取值范围是.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)己知1_"(i是虚数单位)是方程/+〃氏+〃=o(八〃eR)的一个复根,求实数加，〃的值；

(2)在复数范围内解方程：%2+%+1=0.

18.已知平面向量°,b>c满足，忖=1，1|=2，c=ta+b(feR).

(1)若向量a，匕的夹角为三，且。Id，求。的值；

(2)若向最小值为由，求向量a，。的夹角大小.

19.如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边AB长为18m,另一边AC长为

16m,/84C大小为60。，为方便人们通行，政府部门欲在AB，AC两边上分别找两点O,E，修建

一条的电动自行车道路。E，DE需要把公园分为面积相等的两个部分，所建道路的宽度忽略不计.

定

⑴若设AD=x,AE=y,求x,V满足的关系式；

(2)如何选择。，E可以使得所修道路最短？并求出最小值

20.如图所求，四棱锥P—A3CZ)，底面A8CD为平行四边形，F为P4的中点，E为PB中点.

p

⑴求证：PC//平面BED；

PM

⑵已知M点在P。上满足EC//平面BRW，求——的直

MD

21.在_ABC中，角A,B,。所对的边为“，b,c,已知cosC+cosAcosB=JIcosAsinB，。是边

BC上的点，满足CO=2D3，AD=2.

(1)求角A大小；

(2)求三角形面积S的最大值.

22.如图一：球面上的任意两个与球心不在同一条直线上的点和球心确定一个平面，该平面与球相交的图

形称为球的大圆，任意两点都可以用大圆上的劣弧进行连接.过球面一点的两个大圆弧，分别在弧所在的两

个半圆内作公共直径的垂线，两条垂线的夹角称为这两个弧的夹角.如图二：现给出球面上三个点，其任意

两个不与球心共线，将它们两两用大圆上的劣弧连起来的封闭图形称为球面三角形.两点间的弧长定义为球

面三角形的边长，两个弧的夹角定义为球面三角形的角.现设图二球面三角形ABC的三边长为“，b,

c,三个角大小为a,。，Y,球的半径为R.

图(一)图(二)

⑴求证：a+h>c

(2)①求球面三角形ABC的面积S(用a,0,丫,R表示).

②证明：a+/3+y>n.

浙江省A9协作体2022学年第二学期期中联考高一数

学试题

选择题部分（共60分）

一、单项选择题：本题共8题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z=l+2i（i为虚数单位），则5的虚部为（）.

A.2B.-2C.2iD.-2i

【答案】B

【解析】

【分析】由z=l+2i=N=l—2i,即可确定N的虚部

【详解】z=l+2z=>z=l-2i,则彳的虚部为—2

故选：B

2.平面向量a=（l,x）,b=（—2,3）,若4与匕共线，那么》的值为（）

3232

A.----B.----C.-D.—

2323

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用向量共线的坐标形式的充要条件求解.

3

【详解】由题意，a=（l,x）,〃=（-2,3）共线，贝ijxx（-2）=1x3,解得x=—1

故选：A

3.平面上四点。，A,B,C,满足AC=2C3,那么下列关系成立的是（）

A.OC=-OA+-OBB.OC=-OA+-OB

3333

..一7-1--1-2---

C.OC^-OA——OBD.OC^-OA——OB

3333

【答案】B

【解析】

［分析］根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为AC=2C8,所以。C—Q4=2（QB—OC）,

即3OC=2O8+OA，所以。C=+

故选：B

4.若用，“是空间两条不同的直线，a,£是空间两个不同的平面，那么下列命题成立

的是()

A.若。//〃？，pIIm,那么a//£B.若m//a,〃ua,那么〃

C.若〃〃/〃，〃//a,那么/〃//aD.若。//£,根ua,那么加//，

【答案】D

【解析】

【分析】根据面面平行的性质，线面平行的性质和判定定理逐一判断即可.

【详解】当£//〃?，〃//根时，可以相交，故选项A不正确；

当w//a,〃<=01时，团，〃可以是异面直线，因此选项B不正确；

当小〃〃，“//a时，存在机ua这一情况，所以选项C不正确；

根据面面平行的性质可知选项D正确，

故选：D

5.在中，角A，B,C所对的边为。，b,c,A=60°，a=@，c=2,那么

力的大小是()

A.丛B.4C.y/5D.3

【答案】D

【解析】

【分析】运用余弦定理进行求解即可.

【详解】因为A=60°,a=不，c=2,

所以有a1=h2+c2—2hccosA=>7=+4—2b=b=3,或b=-l舍去，

故选：D

6.已知平面向量:=(1,2),〃=(-3,4),

那么a在人上的投影向量的坐标是()

A.(-3,4)B.(|,q]。,115)D-

(收2后)

【答案】C

【解析】

a'b

【分析】。在b上的投影向量为二匕，据此可得答案.

b

【详解】与。方向相同的单位向量为：e=个b，则〃在。上的投影向量为

、\\

a-b,a-b

|«|cos（a,1,e=h=——

bMMw

故选：C

2兀

7.如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为尸是扇形内部(包括边界)任意一点，若

3

OP=xOA+yOB,那么2x+y的最大值是（)

A・孚

B.3C.迥D.近

3

【答案】C

【解析】

【分析】以点。为坐标原点，0A所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设

P(acos6»,tzsin6>)^0<a<r,O<0<,由OP=xQ4+yOB可得出2x+y关于。的

表达式，结合正弦型函数的基本性质可求得2x+y的最大值.

【详解】以点。为坐标原点，Q4所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设扇形AQB的半径为，则A（r,O）、B-fr

设点P（acos。,asin6）［0<«<r,0<0<—|,

(r]r上、

因为OP=xOA+yO8=x(r,0)+y

—2，—2rxr--y,—r,

IJ乙乙)

yc2a

xr--r=acosO2x-y=—cos夕zi

2r

所以,,所以，〈

与yr=asin826a.a

y=-----sin，

3r

所以，2x+y=(2x-y)+2y=^cos，+sin9=2ysin(6+0)，

r3r3r

其中9为锐角，且tan°=三，

271271

因为—,则+9

3

当8+夕=1且。=一时，2x+y取得最大值季.

故选：C.

8.如图从半径为定值的圆形纸片。上，以。为圆心截取一个扇形AOB卷成圆锥，若要使

所得圆锥体积最大，那么截取扇形的圆心角大小为（）

D.兀

A・粤口.哼C缶

【答案】A

【解析】

【分析】设扇形Aos半径为R,扇形的圆心角为e（o<e<2兀），设圆锥的底面半径为

/，高为〃，求出厂、/?关于。的表达式，利用三元基本不等式可求得圆锥体积的最大值及其

对应的。的值.

【详解】设扇形AO8的半径为R,扇形的圆心角为<9（0<6<2兀），则扇形的弧长为

0R,

设圆锥的底面半径为『，高为h,则2兀厂=6R,则r=—

2兀

当且仅当4Y—e2=2时，即当。=也兀时、等号成立.

23

故选：A.

二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分.

9.在一ABC中，内角A，B,。所对边分别为“，b,c,则下列说法正确的是（）

A.若4>B,•—定有sinA>sinB

B.若/+从_C2<0,那么一定是钝角三角形

C.一定有反osC+ccosB=a成立

D.若acosA=ZXXJSJB,那么-ABC一定是等腰三角形

【答案】ABC

【解析】

分析】对于A、B根据正、余弦定理对边角进行合理转化，就可以判断.对于C、D除了

根据正、余弦定理对边角进行合理转化，还要结合两角和差以及二倍角公式进行验证.

【详解】对于A项：因为在三角形中4>B,所以“>〃，

根据正弦定理：—一=工=」不，所以sinA>sinB,所以A正确；

sinAsinBsinC

〃2+〃2_2

对于B项：因为"+〃一/<0,所以cosC=----------<0,90<C<180，

2ab

故一ABC是钝角三角形，所以B正确；

对于C项：bcosC+ccosB=a,根据正弦定理sinBoosC+sinCcosB=sinA,

sinA=sin（B+C）,sinA=sin（180-A）=sinA,所以C正确；

对于D项：acosA=hcosBf即sinAcosA=sin3cos5,sin2A=sin2B,

兀

解得A=B或A+B=-,所以D错误.

2

故选：ABC.

10.如图正方体ABC。—4耳CD,E>/分别为Cq、A4的中点，M是线段上

的动点（包括端点），下列说法正确的是（）

A.对于任意M点，片M与平面平行

B.存在M点，使得AM与平面。尸3平行

C.存在M点，使得直线与直线。尸平行

D.对于任意M点，直线A{M与直线BF异面

【答案】ACD

【解析】

【分析】取线段的中点G,连接AG、EG,证明出平面〃平面加"，利用面

面平行的性质可判断A选项；取线段OQ的中点H,连接4〃、G”，证明出平面AG”〃

平面89E，利用面面平行的性质可判断B选项；取点M与点E重合，可判断C选项；利

用反证法可判断D选项.

【详解】对于A选项，取线段8g的中点G,连接AG、EG,如下图所示：

在正方体ABC。一AAG。中，AA〃8片且4A=8用，

因为尸、G分别为A4、8片的中点，所以，4/〃BG且

所以，四边形A/BG为平行四边形，所以，BF//AG，

同理可得〃E〃AG,故D\EHBF,

因为平面/，BFu平面BDF,所以，RE〃平面BDF,

同理可证B.EH平面BDF，

因为用ED、E=E,B】E、REu平面&。出,所以，平面BQ^E〃平面BDE,

因为与Mu平面片RE,所以，鸟用〃平面BDF,A对；

对于B选项，取线段。，的中点“，连接4"、GH,

在正方体ABCD-AAGR中，M〃。。且A41=DD],

因为尸、H分别为A4、的中点，则A/〃。“且，

所以，四边形4尸。〃为平行四边形，所以，\HHDF,

平面BDE,DFu平面BDF，所以，A”〃平面BDF,

同理可证4G〃平面区"，

因为4"4G=4，A。、A"u平面AG",所以，平面AQ"〃平面BO尸，

对于任意过点A且在平面A,GH内的直线I,贝IJ〃/平面BDF,

但4M后平面助开，所以，4"与平面8DF不平行，B错；

对于C选项，连接CG、FG,

在正方体ABCD—AqCQi中，A4〃8瓦且A4,=84,

因为P、G分别为人4、的中点，则AF7/BG且AF=3G,

所以，四边形ABGE为平行四边形，所以，FG//AB豆FG=AB,

因为A8〃CO且AB=CD,所以，FGMCDRFG=CD,

所以，四边形CDFG为平行四边形，故。刊/CG,同理可证gE〃CG,则用E〃。尸，

故当点M与点E重合时，B.M//DF,c对；

对于D选项，假设存在点使得直线AM与直线防共面，则4、B、F、M四点

共面，

即Me平面A//7,事实上，点平面同产尸，

假设不成立，故对任意的点直线A"与直线跖异面，D对.

故选：ACD.

11.已知a，b，c是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（）

A.一定存在实数x,V使得a=xb+yc成立

B.若那么一定有仅一C)

C.若(a-c)l•伍-c),那么卜-彼卜卜+B-2d

D.若a・仅•c)=(a-b)-c,那么。，b，0一定相互平行

【答案】BC

【解析】

【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的运算性质逐一判断即可.

【详解】只有当6，c不是共线向量时，一定存在实数x，，使得“=xb+yc成立，因此

选项A不正确；

由a.Z?=a.cna.小一a.<?=Ona•仅-c)=Ona_L(Z?-c),因此选项B正确；

由(a-c)_L(6-c)=>(a-c)-(b-c)=0=a-b-a.c-c-b+c-0,

_Z?|_+6_2cJ=(a—b)—[(〃一，')+(人-。)]一=一2(a,Z?—ci,c—c,Z?+c~)=0,

所以选项C正确；

当=匕♦，=()时，显然。,伍,c)=(a2)・c成立，但是。，b，c不一定互相平行，

故选：BC

12.圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球

面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥P0的内切球和外接球的球心重合，且圆锥

P。的底面直径为2a,则()

A.设内切球的半径为彳，外接球的半径为外，则4=2乙

B.设内切球的表面积5,外接球的表面积为邑，则H=4S2

V.9

C.设圆锥的体积为匕，内切球的体积为匕，则才=1

D.设S、T是圆锥底面圆上的两点，且ST=a,则平面尸ST截内切球所得截面的面积为

15

【答案】ACD

【解析】

【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得钻为等边三角形，设球心为G（即为,248的

重心），即可求出,一243的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径,

即可判断A、B,由圆锥及球的体积公式判断C,ST所对的圆心角为;（在圆。上），设ST

的中点为。，即可求出0。，不妨设。为。B上的点，连接PD，过点G作GE_LPO交PD

于点E，利用三角形相似求出GE,即可求出截面圆的半径，从而判断D.

【详解】作出圆锥的轴截面如下：

因为圆锥PO的内切球和外接球的球心重合，所以aw为等边三角形，

又PB=2a，所以OP=JPB2—0B?=岛，

设球心为G（即为.R记的重心），所以PG=2po=2叵q,OG=-PO^—a，

即内切球的半径为A=0G=3a，外接球的半径为弓=PG=2@a，所以4=24，

故A正确；

设内切球表面积?，外接球的表面积为邑，则$2=4&,故B错误;

设圆锥的体积为匕，贝11耳=，兀"*瓜=且兀/,

33

确；

设S、T是圆锥底面圆上的两点，且ST=。，则ST所对的圆心角为三（在圆。上），

设ST的中点为。，则。O=asinN=^a，不妨设。为08上的点，连接P。，则

32

PDS警

过点G作GE上PD交PD于点、E，则.PEGs.POD,所以三=生

ODPD

2#)

即等=3一，解得GE=3叵a，

,3VI5a15

——a-----

22

所以平面PST截内切球截面圆的半径r=-GE2

所以截面圆的面积为兀产=8匚，故D正确；

15

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是由题意得到圆锥的轴截面三角形为等边三角形，从

而确定外接球、内切球的半径.

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本题共小题，每小题5分，共20分.请将答案写在答题卡的横线

上.

13.已知复数2=——那么|z|=.

1-i

【答案］也5

2

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,再计算其模.

2+3i(2+3i)(l+i)2+2i+3i+3i215.

【详解】因为z----------==——4—1

l-i(l-i)(l+i)222

故答案为：叵

2

14.如图等腰梯形ABC。，ABCD,AB=\，AD=2,8=3,那么该梯形直观图

的面积是.

【答案】立

2

【解析】

【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.

【详解】由题意可知等腰梯形ABC。的高

AE=dAD2-DE2=JAD2—(DC;AB)，

由斜二测画法的规则可知：该梯形直观图中的高为」AEsin45=＞乂也乂旦旦,

2224

的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为_1(]+3)*如=必

2V742

故答案为：逅

15.平面上任何两个不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底，若作为基底的两个向

量相互垂直就称该组基底是一组正交基底.施密特正交化法指出任何一组不共线的向量都可

a,b

以转化为一组正交基底，其方法是对于一组不共线的向量a，b-令c=。-号a,那么

a

c就是一个与a配对组成正交基底的向量.若(1,2),人=(3,4),按照上述方法，可以

得到的与a配对组成正交基底的向量是.

4_2

【答案】

5，-5

【解析】

a.b

【分析】根据数量积的坐标表示及向量运算计算C=8—-彳。即可.

【详解】因为4=(1,2),人=(3,4),所以〃m=lx3+2x4=ll；

=(3,4)-2(1,2)=(3,4)-(2,二)

根据题意，c=b

a333

就是一个与a配对组成正交基底的向量.

故答案为：仁,-5

16.已知平面向量a，b，c，若忖=,一可=2,|a-c|=l,那么"c的取值范围是

【答案】-1,12

【解析】

【分析】令x=a-O，y=a-c,则卜|=2,忖=1,b=a-x，c=a-y,根据数量

积的运算律得到"c=4+g［(x+y—a『-9,再求出k+y—4的取值范围，即可得解.

［详解］因为,。一N=2,卜一d=1,

令x=ci—b,y—a—c■,则卜卜2,卜卜1,

所以。=〃—%,c=a—yJ

所以〃•(?=(〃-(a=

+x-y-a-x-a-y

=4+；[(x+y_a)2_『

=4+北+…"心心阳

=4+—^x+—91

又。<卜+丁一44卜|+忖+忖=5,所以04(*+)一<7]425,

所以4—244+LJ(x+y—a)?—9<4+-(25-9),即

22L_2

-g44+g[(x+y—Q)-9<12,

即-5,12.

故答案为：f2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.（1）已知11-（i是虚数单位）是方程£+〃优+〃=o（加,〃eR）一个复根,求实数

m,n的值;

（2）在复数范围内解方程：f+x+i=o.

【答案】Wm=-2,n=3

-1-V3i-1+V3i

⑵西

--------，x7=--------

2~2

【解析】

【分析】（1）将1-J5i代入方程,再根据复数相等列方程求解即可;

（2）利用配方法求解即可.

【详解】（D根据题意得：（1一—&i）+〃=0,

所以(-1+m+〃)一(2夜+=0,

-l+m+/?=0

则＜

2V2+\[2m=0

解得:m=-2,n-3.

(2)因为(x2+x+；1[+1=0,

4

□ri—l—y/3i—1+V3i

即菁=-2----“2=-2—

18.已知平面向量a，b，c满足，忖=1，忖=2,c=ta+bG

TT

（1）若向量Q,人的夹角为且〃1c，求r的值;

(2)若口的最小值为求向量°,。的夹角大小.

【答案】⑴T

无一2无

(2)一或一

33

【解析】

【分析】(1)根据b/c得6-c=0,展开求解即可.

(2)对。=必+8两边平方，求出，『最小值即可求出向量a，匕的夹角大小.

【小问1详解】

因为/?_Zc,所以。,c=O.(ta+")=O,即〃♦/?+//=0，所以4闻。卜051+忖=0,

代入忖=1,仰=2得.+4=0,故r=~4.

【小问2详解】

设Q，方夹角为由C=/Q+b得

\c\=«。+〃)2=t2a+2ta-b+b=t2+4cos^-f+4=(r+2cos^)2+4-4cos20,

故当，=-2cos6时，卜|有最小值4一4cos加，

由题意4一4以)§2。=3，解得cos6=±!，

2

又。€[0,可，所以。=三或^.

19.如图在一城市叉路口有一个三角形状的口袋公园，已知公园一边AB长为18m,另一

边AC长为16m,NB4c大小为60。，为方便人们通行，政府部门欲在AB,AC两边

上分别找两点。，E,修建一条的电动自行车道路。E,OE需要把公园分为面积相等的

两个部分，所建道路的宽度忽略不计.

⑴若设4)=x,AE=y,求x,＞满足的关系式；

(2)如何选择。，E可以使得所修道路最短？并求出最小值.

【答案】(1)孙=144,xe[0,12],ye[0,12]

⑵取AD=A£=12m时，OE最短为12m

【解析】

【分析】(1)先求出SA%，然后用％J7及三角形的面积公式表示出S八口£，然后列方程求解;

(2)列出余弦定理方程，结合(1)中的结论与基本不等式求解.

【小问1详解】

可知襄从此=；xl6xl8xsin60°,

SAADE=1-^sin60°,根据S诋=2S叱，所以：孙=144,XG[0,12],ye[0,12]

【小问2详解】

可知：DE2=%2+/-2孙cos60°=/+丁_]4422个—144=144,

所以取AD=A£=12m时，OE最短为12m.

20.如图所求，四棱锥P-ABCD,底面ABC。为平行四边形，尸为的中点，E为

PB中点.

⑵已知“点在P£＞上满足EC//平面8fM,求也的值.

MD

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【解析】

【分析】⑴连结AC交8。于0,连结OF,通过证明PC//0凡可证PC//平面BED;

(2)如图连结交延长线于G,连结3G交8于N,连结EE，FN,PG,EN.

由EC//平面5FM，可得N为C。中点，后通过证明EN//FO//BG,可得FMD.GMP,

继而可得答案.

【小问1详解】

证明：连结AC交B。于0,连结OF,

因在△24C中，E为PA中点,。为AC中点，则PC//尸。.

又PCU平面BFD，R9u平面BED，故PC//平面BED；

【小问2详解】

如图连结交A£＞延长线于G,连结8G交。。于N,

连结EE,FN,PG,EN.

因石尸//CN,则E,£N,C四点共面.

又EC//平面BFM,平面BEMc平面E7WC=F7V,

贝IJEC//FN,四边形EFNC为平行四边形，可得EF=CN=^CDnN为CD中点.

2

则.BCN三,GDN,N为BG中点.

即EN为