安徽省合肥市2024届高三年级下册二模数学含解析

2024年合肥市高三第二次教学质量检测

数学试卷

(考试时间：120分钟满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,设全集U=R,集合A={小2_2>0},B={gl},则()

A.1x|1<%<2}B.1x|l<x<2}C.{乂x>2}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式得到A,进而根据补集和交集求出答案.

【详解】A=X?—X—2>0}={小>2或X<—1},

^A=1x|-l<x<2},故(eA)c_B={X—lW2}c{X%»l}=1x|l<x<21

故选：A

7—i*I

2.已知----=2+i,则|z|二()

z

A.JB.—C.1D.2

22

【答案】B

【解析】

【分析】由复数的运算和模长计算求出即可.

z—iii

【详解】——=1——=2+inz=-------,

zz-1-i

3.设名厂是两个平面，a/是两条直线，则&〃4的一个充分条件是（）

A.a//a,b///3,a//bB.aLa,bL/3,aLb

C.aLa,bA-/3,a//bD.a〃与6相交

【答案】C

【解析】

【分析】通过举反例可判定ABD,利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定C.

【详解】选项A：当满足a〃l力〃1,a〃b时，名尸可能相交，如图：用四边形A6CD代表平面

用四边形AEED代表平面尸，故A错误；

选项B：当满足人时，戊,尸可能相交，如图：用四边形ABCD代表平面

a,用四边形AEED代表平面夕，故B错误；

选项C：因为a_La,a〃bnZ?_La,又所以a〃1，

〃/?是a〃1的一个充分条件，故C正确；

当满足。〃&力〃1,a与b相交时，％尸可能相交，如图：用四边形A6CD代表平面

a,用四边形AEED代表平面尸，故D错误;

故选：c.

4.甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）.已知每局比赛

甲获胜的概率均为则甲以4比2获胜的概率为（）

13515

A.—B.—C.—D.—

64323264

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解.

【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜，

则甲以4比2获胜的概率为C；-（1）3-（1）2=

故选：C.

5.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位:

天）.铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为入《.开始记录时，这两种物质的质量相等,

512天后测量发现乙的质量为甲的质量的;’则工,丁2满足的关系式为（）

C512512c512512

B.2+十

A-2+丁可F

一512।512512।512

C.-2+log^=log^D.2+log

222T=10g2^T

【答案】B

【解析】

【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即

可得答案.

【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1,

512512

则512天后，甲的质量为：d）丁，乙的质量为：（3百，

22

当x23时，f(x)=4-x,令4—x=—1,解得x=5,

又因为—所以1—形＜1—。＜5,解得一4＜。＜后.

故选:D.

7.记的内角A,5c的对边分别为a,4c,已知c=2,'+—+—1—=1.则JWC面

tanAtaaBtanAtaaB

积的最大值为()

A.1+6B.1+V3C.2A/2D.273

【答案】A

【解析】

【分析】由题意及正切与正弦与余弦的关系，两角和的正弦公式及余弦公式可得角C的大小，再由余弦定

理及基本不等式可得ab的最大值，进而求出该三角形的面积的最大值.

【详解】因为一-—+—-—+---------=1,可得tanA+tanB+lutanAtanB,

tanAtanBtanAtanB

sinAsinB,sinAsinB

即nn----+-----+1=---------,

cosAcosBcosAcosB

整理可得sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=sinAsinB,

即sin(A+B)=—cos(A+B),

在三角形中sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

即sinC=cosC,Ce(O,兀)，可得C=[；

由余弦定理可得c?=b~+a2-2abcos—>lab-\[2ab,当且仅当a=Z?时取等号，

4

而c=2,

所以aZ?V----广—2(2+A/2),

2-V2

所以sABC=gabsinC<gx2(2+夜)X等=1+收•

即该三角形的面积的最大值为1+0.

故选：A.

22

8.已知双曲线c：--提=i(a＞o,6＞o)的左、右焦点分别为耳心，点尸在双曲线左支上，线段尸6交y

ab

轴于点E,B.PF2=3PE.设。为坐标原点，点G满足：PO=3GO,GF2PFl=0,则双曲线C的离心

率为()

A.B.1+72C.1+75D.2+0

【答案】D

【解析】

【分析】设P(x0,%)(Xo<O)，根据题设条件得到％=-|,4=于，再利用P(x。，为)椭圆上，得

至Ue,—12a2c2+4/=。，即可求出结果.

【详解】如图，设尸(%,%)(/<0),骂(―c,0),弱(c,0),则直线PR的方程为y=-^(x—c),

xo~c

令x=0,得到>=二也，所以E(O,Wd),

Xc

Xo-C0~

尸乙=(c-%,一%),「£=(一/,一-%),因为=3PE,

一x0-c-

所以c—x0=-3xo,得到/=—1,故尸(—2%),

又P0=3G0，所以G(-，^),得到Gg=(一，一?),「片=(一"1•，一%),

o3632

又GE•/¥；=(),所以—台+々=0,得到>；=?①，

cU

又因为P(-不为)在双曲线上，所以4_芯_=[②，又〃=°2—/③，

2a2b2-

由①②③得到o4—12a2c2+4/=0，所以e4—12e2+4=0，

解得e?=6+4A历或e?=6—4A历，又e>l,所以e?=6+40=(2+0了，得到e=2+a，

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知圆。：必+V=1,圆+（丁一1）2=4,。eR,则（）

A.两圆的圆心距|0C|的最小值为1

B.若圆。与圆C相切，则：二土2丁^

C.若圆。与圆。恰有两条公切线，则-2&<a<2后

D.若圆。与圆C相交，则公共弦长的最大值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距221,从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交

的性质，列式算出。的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆。的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长

有最大值，从而判断出D项的正误.

【详解】根据题意，可得圆。：必+;/=1的圆心为。（0,0）,半径厂=1，

圆C:（x—。P+⑷―1）2=4的圆心为。（。』），半径R=2.

对于A,因为两圆的圆心距d=+1,所以A项正确；

对于B,两圆内切时，圆心距d"OC|=R-r=l,即=解得a=0.

两圆外切时，圆心距d=|OC|=R+r=3,即疝2'=3,解得a=±2夜.

综上所述，若两圆相切，则。=0或。=±20'，故B项不正确；

对于C,若圆。与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=\OC\^（R-r,R+r）,

即1片+1€（1,3）,可得1<5+1<3,解得一20<。<2&且。/0，故C项不正确；

对于D,若圆。与圆C相交，则当圆+的圆心。在公共弦上时，公共弦长等于2r=2,达到

最大值，

因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2,故D项正确.

故选：AD.

10.己知等比数列｛4｝的公比为4,前〃项和为S“，贝U（）

A.S"+i='+处

B.对任意"eN,S",S2n-Sn,S3"-S2n成等比数列

C.对任意“eN*，都存在4,使得2s2”3s3“成等差数列

D.若囚<0,则数列｛S2“_J递增的充要条件是-l<q<0

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A：分q=l,4W1两种情况计算可判断A；对于B：q=-1可说明不成立判断B；,分

q=l，<7*1两种情况计算可判断C；根据S2n+l-=q(l+q)q2J,若｛S2,-｝是递增数列，可求《判

断D.

【详解】对于A：当q=l时，+Sl+qSn=a1+na1=(n+1)^,故成立,

q(l_q"+i)

当qw1时,S"+]Sl+qSn=q+qx"i,4)=叫4_)；所以s/[成

i—q1-q1-q

立，故A正确;

对于B：当q=—1时，S2=0,所以S..S?”—S,,S3,—S?"不成等比数列,故B错误;

对于C：当4=1时，S"=”,2s2.=4”,3s3"=9〃％,故S”,2s2”,3s3,不成等差数列,

当qwl时，若存在《，使S”,2s2",3s3〃成等差数列，

贝！IZXZSR=S”+3M”,则4x_——=—————+3x———■—,

1-q1-q1-q

整理得4(1+4")=1+3(1+/〃+/),所以3d"—q"=0,所以/=；,

所以对任意“eN*,都存在任使得S”,2s2”,3s3“成等差数列，故C正确；

对于D：邑―一邑“-="+%+1=%(i+qW"T，若是递增数列，

则可得q(l+q)q2"T>0,因为Q<0,所以(l+q)/"T<0,可解得—l<q<0,

所以若。1<0,则数列｛S2,-｝递增的充要条件是-l<q<0,故D正确.

故选：ACD.

11.已知函数/(x)=sin|x+2卜sin%—sin/,则()

jr

A.函数/(%)在-,7l上单调递减

B.函数y=+1■为奇函数

C.当xe—时，函数y=4/(%)+1恰有两个零点

20242027

D.设数列｛4｝是首项为:，公差为二的等差数列，则Z=/(4)=--二

66,=12

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用三角恒等变换化简/(力，再利用正弦函数单调性奇偶性判断ABC,利用裂项相消及累加求

和判断D.

r年的1目如-7兀•/兀，兀)卡)叵、1历46+42

【详解】易知sin——=sin—+—=------------1----------------=---------------------，

12[3422224

7兀A/6-A/2

同理sin』-=cos一=-----

12124

..71

-sin%-sm—

6

6-2.11sinx+无£

--------sinxH—cosx—

222I122

7t/7t137t

对A,xe-,7i,x+--G—,/(x)先减后增，故A错误;

1迷一后sinx为奇函数,故B正确;

对B,y=x+—|+-=

(12J22

71717兀7113K,_7171

对C,xe2，-2t—X~\-------G石-，则sin/在单调递增,

121212?2

7113兀单调递减，即〃力在[w71)(71711

在2，~17，一不单调递增,在一不，不单调递减,

J1.乙2J\JL乙乙J

兀)V6-V2.兀1V6-V2A/6-V21V31

f——=--------sin------=----------------------=-----<——，

\2)412244244

故函数y=4/(%)+1恰有两个零点，故C正确；

rI«4.几贝U/(x)=g(x)—；，

对D,易知二:兀令g(x)=sinx+--sinx,

6

.兀.兀

g(q)=sm---sin—,

36

.兀.兀

g(“2)=sm---sin—,

23

.(2024兀兀、.(2023兀兀)

S(。2024)二sm------+--sin-------+—,

I66)I66/

H/\.(2024兀兀).7t.(兀)1

则nl工门(a；)=sin|-------1——sin——sin3377cH——

2024sv(66J6I2)2

<=i<=ii2027

故E=/(a,)=Eg(a,)-2024x-=-^—,故D正确.

2024202422

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质及数列求和应用，关键是利用利用裂项相消及累加求和

判断D.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

r1丫

12.在卜一W的展开式中,/的系数为

【答案】15

【解析】

【分析】利用--j=的通项公式,+]=2(0<r<6,reN),即可求出结果.

IyxJr+16

【详解】因为1X—十]

的展开式的通项公为Tr+l=C"6f(—；):=(_iyc"6-E(o<r<6,reN),

由6—]r=3,得到厂=2,所以V的系数为(―iyc；=15,

故答案为：15.

13.抛物线C：V=4x的焦点为/，准线为/,A为C上一点，以点尸为圆心，以|A同为半径的圆与/交于

点、B,D,与x轴交于点M,N,若AB=K0,则，“卜.

【答案】473

【解析】

【分析】首先得到抛物线焦点坐标与准线方程，设准线与x轴交于点石，根据圆的性质及抛物线的定义

可得△ABE为等边三角形，即可求出忸同，再在A47的中利用余弦定理计算可得.

【详解】抛物线C：V=4》的焦点为b(1,0),准线/：x=—1,设准线与x轴交于点E,贝"£(—1,0),

依题意3、。均在y轴的左侧，又AB=FM，所以用也在y轴的左侧且B点在x轴上方，

兀

又AD为圆产的直径，所以NABO=—,即

2

由抛物线的定义可知|人耳=|人耳，又忸典=|入同，

7171

所以为等边三角形，所以NB4B=NAE5=—,则N3M0=NAFN=—,

33

所以山闾二一因一二4,

11cosZBFM

27r

所以忸耳=|AF|=|MF|=4,ZAW=y,

在AAFM中|=JAF|2+|MF|2-2\AF\\MF\COSZAFM

=(42+42-2X4X4X^-1^=4相.

故答案为：473.

14.已知实数/y，Z,满足y+z-2=0,则

yjx2+y2+z2+^/(x-2)2+y2+z2+-^(x-1)2+y2+(z-2)2+^/(x-1)2+(y-2)2+z2的最小值为

【答案】2拒+2叵

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系，将所求转化为距离和的最小值，利用几何关系求得最值.

【详解】如图，设正方体的边长为2,建立如图所示的空间直角坐标系，

设P(x,y,z)为空间任意一点，因为y+z—2=0,则P在平面430。所在的平面内运动，

JV+y+z?+4―2)2+/+Z2表示p与点4(0,0,0)和点4(2,0,0)的距离之和，

因为A关于平面ABC^的对称点为D,故/弭+尸42DB1=2G,

当且仅当尸中点即P为正方体中心时等号成立；

_1尸+丁+(z-2)-+J(x-1)-+(y_2)~+w

表示P与点M(1,0,2)和点N。,2,0)的距离之和，则PM+PN>MN=141，

当且仅当P在MV所在直线上时等号成立，

故y]x2+y2+z2+^(x-2)2+y2+z2+^/(x-1)2+y2+(z-2)2+^/(x-1)2+(y-2)2+z2

的最小值为2百+20，当且仅当尸为正方体中心时等号成立

故答案为：2也+2母

【点睛】关键点点睛：本题考查空间中距离最值问题，关键是利用空间坐标系将所求转化为距离和，并

注意等号成立条件.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥F—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，NBA。=60°,M是侧棱PC的中点,

侧面QAD为正三角形，侧面底面ABCD.

p

（1）求三棱锥M—ABC的体积；

（2）求40与平面尸所成角的正弦值.

【答案】（1）|

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到/到平面ABCD的距离为

也，进而由锥体体积公式求出答案；

2

（2）证明出建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值

求出线面角的正弦值.

【小问1详解】

如图所示，取A。的中点。，连接P0.

因为Bl。是正三角形，所以POLAD.

又因为平面上40,底面ABCD,POu平面。A。，平面平面ABCD=AD,

所以平面A6CD,且20=6.

又因为/是PC的中点，M到平面ABCD的距离为也,

2

5AABC=1x2x2xsiny=^/3，

所以三棱锥〃—ABC的体积为且=4

322

【小问2详解】

（2）证明见解析.

【解析】

3

【分析】（1）由题意得6=石，将点（1,万）代入椭圆的方程可求得小的值，进而可得椭圆的方程；

（2）设/:x=9+l,尸（%，/）,。（%,%）,联立直线/和椭圆的方程，可得%+方=—^^，

%%=——提一，直线P4的方程为y=—（X+2）,令x=4,得"（4,同理N（4,‘力。）,

3?2+4为+2拓+2%+2

由斜率公式计算即可.

【小问1详解】

221

因为26=26，所以b=g，再将点11,|代入Ff+=1,

a1

22

解得/=4,故椭圆C的方程为土+二=1；

43

【小问2详解】

由题意可设/：X=）+1,。（%,%）,。（％2，%），

x=ty+l

由<22可得（3/+4b2+6—9=0,

x+丁-i

[--4-----1----3---——1

6t9

易知A>0恒成立，所以％+%=-3产+4'3V2--3入4

又因为4（—2,0）,

所以直线己4的方程为了=』7（x+2）,令》=4,则>=」、，故”4,

国+2再+2I

同理

、x2+2?

从而=石+2=6yl=6%

'—不?一西而'2-3（例+3）

36

4yM3产+4

故匕匕=1----------------------------7=-1为定值.

9/18/八

-9（电+3）（仇+3）t~y1y2+3t（y1+y2）+9

3『+43r+4

17.树人中学高三（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表:

性参加考试人平均成标准

别数绩差

男3010016

女209019

在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为石,马，退,・，%，其平均数记为

X，方差记为S：；把第二层样本记为%,%，为，•，％，其平均数记为7,方差记为S；；把总样本数据的

平均数记为方差记为

（2）求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；

（3）假设全年级学生的考试成绩服从正态分布N（〃,b2）,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差

分别作为〃和b的估计值.如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为

AB,。,。四个等级，试确定各等级的分数线（精确到1）.

附：cr<X<//+cr）«0.68,7302«17,7322«18,7352«19.

【答案】（1）证明见解析；

（2）平均数为96分，标准差为18分；

（3）将X2114定为A等级，96<X<H4定为B等级，78<X<96定为C等级，X<78定为D等

级.

【解析】

【分析】（1）利用平均数及方差公式即可求解；

(2)利用平均数及方差公式，结合标准差公式即可求解;

(3)根据(2)的结论及正态分布的特点即可求解.

【小问1详解】

=--------%)2+(x-z)2+2(%,.-%)(%-z)+Z(y,-J)2+(J-2)2+2(X--y)(j-z)>

机+〃〔i=lL」，=1L」

/n

Z[2(K-x)(x-z)^|=2(x-z)y^(x7--x)=2(元一N)(/+x2+x3++xn-nx)=0,

f=li=\

同理£[2(%一歹)(歹一列=0.

i=l

1

所以§?2=——+机区+(歹一切[}

m+n

【小问2详解】

将该班参加考试学生成绩的平均数记为』，方差记为$2,

_1

贝^=^(30x100+20x90)=96,

2

所以d=[{30[256+(100—96产]+20[361+(90—96)]}=322

又所以5引8.

即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分.

【小问3详解】

由⑵知〃=96,。=18,所以全年级学生的考试成绩X服从正态分布必96,W),

所以P(96-18<X<96+18)«0.68,P[X>96)=0.5.

P(78<X<96)=P(96<X<114)-0.34,尸(X>114)=P(X<78)«0.16.

故可将X2H4定为A等级，96<X<114定为B等级，78<X<96定为C等级，X<78定为D等

级.

18.已知曲线C:/(x)=er-xel在点A(L/(1))处的切线为I.

(1)求直线/的方程；

(2)证明：除点A外，曲线C在直线/的下方；

(3)设，求证：x+x<2t---l.

''ei2

【答案】(1)y=-ex+e；

(2)证明见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)求导，得到/(l)=o,/'(l)=—e,利用导数的几何意义写出切线方程；

(2)令g(x)=-ex+e-e'+xe',二次求导得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到所以

g(x)>g(l)=O,当且仅当x=l等号成立，得到证明；

(3)求导得到/(x)的单调性，结合函数图象得到。</<1,不妨令占<0,0<々<1,结合曲线C在(1,0)

点的切线方程为0(x)=—ex+e,得到％<退=」+1,转化为证明石<2/—2,又/=e』—邛*，只要

e

证再<29—2再/'—2,4F(x)=2ev-2xex-%-2,x<0,求导得到函数单调性，结合特殊点函数值

得到答案.

【小问1详解】

因为/(x)=e*-xex,

所以/⑴=0J'(x)=—*⑴=—e,

所以直线/的方程为：y=-e(x-l),即>=—ex+e

小问2详解】

令g(%)=-ex+e-e*+xex,则g'(x)=-e-eA+eA+xex=-e+xex,

令/z(x)=g，(x),则〃(x)=(%+l)e",

由〃(x)>0,解得1>—1,由“(x)<0,解得x<—1,

所以h(x)在—1)上单调递减，在(—1,+“)上单调递增，

当x-—8时，-—e,/z⑴=0,

所以g(x)在1)上单调递减，在(1,+。)上单调递增，

所以g(x)2g(l)=0,当且仅当X=1等号成立，

所以除切点(1,0)之外，曲线C在直线/的下方.

【小问3详解】

由/'(%)=一>。,解得x<0,/'(%)=—xe*<0,解得无>。,

所以/⑺在(-8,0)上单调递增，在(0,+“)上单调递减，

/⑴1mx=/(O)=lJ⑴=0，

当Xf-8时，/(%