北京市宣武区2024届中考一模数学试题含解析

北京市宣武区名校2024届中考一模数学试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺

钉和螺母刚好配套.设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）

A.2x1000（26-x）=800xB.1000（13-x）=800x

C.1000（26-x）=2x800xD.1000（26-x）=800x

2.如图，点A、B、C是。O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OFLOC交圆O于点F,则/BAF等于（）

A.12.5°B.15°C.20°D.22.5°

3.如果m的倒数是-1,那么m20i8等于（）

A.1B.-1C.2018D.-2018

4.如图，在AABC中，ZACB=90°,CDLAB于点D,则图中相似三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

5.囱的值是（）

A.±3B.3C.9D.81

6.七年级1班甲、乙两个小组的14名同学身高（单位：厘米）如下：

甲组158159160160160161169

乙组158159160161161163165

以下叙述错误的是（）

A.甲组同学身高的众数是160

B.乙组同学身高的中位数是161

C.甲组同学身高的平均数是161

D.两组相比，乙组同学身高的方差大

7.如图，平行于x轴的直线与函数丫=勺（&>0,x>0）,y=^（k2>0,x>0）的图象分别相交于A,B两点,

xx

点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若ABC的面积为4,则k[-k2的值为（）

A.8B.-8C.4D.-4

8.下列各运算中，计算正确的是（)

A.42“3=。4B.=9a6

C.(^a+by=a2+b2D.2a-3a=6a2

9.一元二次方程无2—2%=0的根是（)

A.%=°，X?——2B.项=I,%2=2

C.玉=1,犬2=-2D.玉—0,%2=2

10.超市店庆促销,某种书包原价每个x元,第一次降价打“八折”,第二次降价每个又减10元，经两次降价后售价为

90元，则得到方程()

A.0.8x-10=90B.0.08x-10=90C.90-0.8x=10D.x-0.8x-10=90

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.因式分解：4ax2-4ay2=.

12.如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好

在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为

13.如图，矩形A5CD的面积为20cM2,对角线交于点以45、AO为邻边作平行四边形A0G5,对角线交于点

01；以A3、4。1为邻边作平行四边形A01C28;…；依此」类推，则平行四边形AQCsb的面积为

14.亚洲陆地面积约为4400万平方千米，将44000000用科学记数法表示为

15.如图，正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数y=g的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B,

连结BC,则AABC的面积等于

16.如图，在平面直角坐标系中，RtAABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，ZABO=90°,OA与反比例函

数y=A的图象交于点D,且OD=2AD,过点D作x轴的垂线交x轴于点C.若S四边彩ABCD=10,则k的值为.

x

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图,BD为^ABC外接圆。O的直径,且NBAE=NC.求证:AE与。O相切于点A；若AE〃BC,BC=2近，

AC=20,求AD的长.

E

18.(8分)如图1,抛物线h：y=-x?+bx+3交x轴于点A、B,(点A在点B的左侧)，交y轴于点C,其对称轴为

x=l,抛物线12经过点A,与X轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D(0,-5).

(1)求抛物线12的函数表达式；

(2)P为直线x=l上一动点，连接PA、PC,当PA=PC时，求点P的坐标；

(3)M为抛物线12上一动点，过点M作直线乂^1〃丫轴(如图2所示)，交抛物线h于点N,求点M自点A运动至

点E的过程中，线段MN长度的最大值.

19.(8分)为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的

部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图(图1,图2),请根据统计

图中的信息回答下列问题：

(1)本次调查的学生人数是人；

(2)图2中a是度,并将图1条形统计图补充完整；

(3)请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；

(4)老师想从学习效果较好的4位同学(分别记为A、B、C、D,其中A为小亮)随机选择两位进行学习经验交流,

用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.

20.(8分)一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有

任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；甲从中任取一球,

不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率.

21.（8分）先化简再求值：（x—y）2+y（y+2x）,其中无=0,y=JL

22.（10分）今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外.如图，某天我国一艘

海监船巡航到A港口正西方的3处时，发现在3的北偏东60。方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿C4方

向行驶，C点在A港口的北偏东30。方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在。

处成功拦截可疑船只，此时。点与B点的距离为750海里.

（1）求8点到直线C4的距离；

（2）执法船从A到。航行了多少海里？（结果保留根号）

23.（12分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.

⑴求证：OP=OQ；

⑵若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒,

请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形.

24.某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在A、B两位投篮高手间进行了6次投篮比赛，每人每次投10个球，将他

们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图.

（1）根据图中所给信息填写下表:

投中个数统计平均数中位数众数

A8

------------:——

B77

-----------;—

（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题

进行分析说明.

投中个数

“'第一次第二次第三次第四次第五次第六次

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、C

【解题分析】

试题分析：此题等量关系为：2x螺钉总数=螺母总数.据此设未知数列出方程即可

【题目详解】

.故选C.

解：设安排x名工人生产螺钉，则(26-x)人生产螺母，由题意得

1000(26-x)=2x800x,故C答案正确，考点：一元一次方程.

2、B

【解题分析】

解：连接OB,

四边形ABCO是平行四边形，

；.OC=AB,XOA=OB=OC,

.*.OA=OB=AB,

.,.△AOB为等边三角形，

VOF±OC,OC/7AB,

.\OF±AB,

.\ZBOF=ZAOF=30°,

由圆周角定理得NBAF=LZBOF=15°

2

故选:B

3、A

【解题分析】

因为两个数相乘之积为1,则这两个数互为倒数，如果m的倒数是-1,则m=-l,

然后再代入“2。18计算即可.

【题目详解】

因为m的倒数是-1,

所以m=-l,

所以机2。18=(4)2018=1,故选人.

【题目点拨】

本题主要考查倒数的概念和乘方运算，解决本题的关键是要熟练掌握倒数的概念和乘方运算法则.

4、C

【解题分析】

VZACB=90°,CD±AB,

/.△ABC^AACD,

△ACDsCBD,

△ABCsCBD,

所以有三对相似三角形.

故选C.

5、C

【解题分析】

试题解析：：次=3

••・西的值是3

故选C.

6、D

【解题分析】

根据众数、中位数和平均数及方差的定义逐一判断可得.

【题目详解】

A.甲组同学身高的众数是160,此选项正确;

B.乙组同学身高的中位数是161,此选项正确;

158+159+160x3+161+169

C.甲组同学身高的平均数是=161,此选项正确;

7

甲组的方差为乙组的方差为芳，甲组的方差大，此选项错误.

D.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了众数、中位数和平均数及方差，掌握众数、中位数和平均数及方差的定义和计算公式是解题的关键.

7、A

【解题分析】

【分析】设A（a,h）,B（b,h）,根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k-bh=k2.根据三角形的面积公式

得到S.ABc=gAB-yA=g（a—b）h=g（ah—bh）=g（k「k2）=4,即可求出k「k2=8.

【题目详解】AB//X轴，

:.A,B两点纵坐标相同，

设A（a,h）,B（b,h）,则ah=k],bh=k2,

S.ABc=1AB-yA=1（a-b）h=1（ah-bh）=|（k1-k2）=4,

k,—k2=8,

故选A.

【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标满足

函数的解析式是解题的关键.

8、D

【解题分析】

利用同底数塞的除法法则、同底数塞的乘法法则、塞的乘方法则以及完全平方公式即可判断.

【题目详解】

A、。口该选项错误；

B、（3/丫=27。6H9。6,该选项错误;

C、(47+Z?)~=a2+2ab+b2^a2+b2,该选项错误；

D、2a•3a=6a2,该选项正确；

故选：D.

【题目点拨】

本题考查了同底数塞的乘法、除法法则，塞的乘方法则以及完全平方公式，正确理解法则是关键.

9、D

【解题分析】

试题分析：此题考察一元二次方程的解法，观察发现可以采用提公因式法来解答此题.原方程可化为：

因此_(「或-二二八，所以•=1三=2.故选D.

考点：一元二次方程的解法——因式分解法——提公因式法.

10、A

【解题分析】

试题分析：设某种书包原价每个x元，根据题意列出方程解答即可.设某种书包原价每个x元，

可得：0.8x-10=90

考点：由实际问题抽象出一元一次方程.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、4a(x-y)(x+y)

【解题分析】

首先提取公因式4a,再利用平方差公式分解因式即可.

【题目详解】

4ax2-4ay2=4a(x2-y2)

=4a(x-y)(x+y).

故答案为4a(x-y)(x+y).

【题目点拨】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.

12、20cm.

【解题分析】

将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点AS根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求.

【题目详解】

解:如答图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，，连接A，B,则A，B即为最短距离.

根据勾股定理，得A，B=JA'D，+BD?=,12?+16?=20(cm).

故答案为：20cm.

【题目点拨】

本题考查了平面展开…最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考

查了同学们的创造性思维能力.

13、-

8

【解题分析】

试题分析：根据矩形的性质求出△AOB的面积等于矩形ABCD的面积的二，求出△AOB的面积，再分别求出二三。、

、、\:的面积，即可得出答案

'-BO,.L5O».，

•••四边形ABCD是矩形,

/.AO=CO,BO=DO,DC/7AB,DC=AB,

考点：矩形的性质；平行四边形的性质

点评：本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规

律，注意：等底等高的三角形的面积相等

14、4.4x1

【解题分析】

分析：科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小

数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值VI时，

n是负数.

详解：44000000=4.4x1,

故答案为4.4x1.

点睛：此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中l\a|V10,n为整数，表示时

关键要正确确定a的值以及n的值.

15、1.

【解题分析】

根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则SABOC=SAAOC,再利用反比例函数k的几何意义得到

SAAOC=3,则易得SAABC易.

【题目详解】

•.•双曲线y=g与正比例函数y=kx的图象交于A,B两点，

X

，点A与点B关于原点对称，.•.SABOC=SAAOC,

•SAAOC=」X1=3,••SAABC=2SAAOC=1•

2

故答案为L

16、-1

【解题分析】

VOD=2AD,

,OD_2

•,演一§，

•.•/ABO=90。，DC±OB,

；.AB〃DC,

/.△DCO^AABO,

.DCPCOP_2

"AB~OB~OA一§，

.J2?4

SOABbJ9,

S四边形ABCD=10,

••SAODC=8,

二OCxCD=8,

OCxCD=l,

•*.k=-1,

故答案为-L

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)证明见解析；(2)AD=2jH.

【解题分析】

(1)如图，连接OA,根据同圆的半径相等可得：ZD=ZDAO,由同弧所对的圆周角相等及已知得：ZBAE=ZDAO,

再由直径所对的圆周角是直角得：NBAD=90。，可得结论；

(2)先证明OALBC,由垂径定理得：今3=今0,FB=JBC,根据勾股定理计算AF、OB、AD的长即可.

【题目详解】

(1)如图，连接OA,交BC于F,

贝！IOA=OB,

，ND=NDAO,

VZD=ZC,

/.ZC=ZDAO,

VZBAE=ZC,

.\ZBAE=ZDAO,

：BD是。O的直径，

...NBAD=90°,

即NDAO+NBAO=90°,

.\ZBAE+ZBAO=90°,即NOAE=90°,

.\AE±OA,

，AE与。O相切于点A；

(2)；AE〃BC,AE±OA,

/.OA±BC,

1

FB=-BC,

，AB=AC,

；BC=2w，AC=2y/2,

；.BF=V7,AB=2&,

在RtAOFB中，OB2=BF2+(OB-AF)2,

.\OB=4,

；.BD=8,

.•.在RtAABD中,AD=y/BD2-AB2=,64-8=2^/14•

【题目点拨】

本题考查了圆的切线的判定、勾股定理及垂径定理的应用，属于基础题，熟练掌握切线的判定方法是关键：有切线时,

常常“遇到切点连圆心得半径，证垂直”.

18、(1)抛物线12的函数表达式；y=x2-4x-l；(2)P点坐标为(1,1)；(3)在点M自点A运动至点E的过程中,

线段MN长度的最大值为12.1.

【解题分析】

(1)由抛物线A的对称轴求出分的值，即可得出抛物线h的解析式，从而得出点4、点5的坐标，由点5、点E、点

。的坐标求出抛物线b的解析式即可；(2)作由，PG交直线PG于点77,设点尸的坐标为(1,j),求出点C的坐

标，进而得出S=LPH=\3-y\,PG=\y\,AG=2,由B1=PC可得由勾股定理分别将92、尸。用。五、

PH、PG、AG表示，列方程求出y的值即可；(3)设出点"的坐标，求出两个抛物线交点的横坐标分别为-1,4,

①当-1＜烂4时，点M位于点N的下方，表示出UN的长度为关于x的二次函数，在x的范围内求二次函数的最值;

②当4〈烂1时，点M位于点N的上方，同理求出此时MN的最大值，取二者较大值，即可得出MN的最大值.

【题目详解】

(1),抛物线h：y=-x2+bx+3对称轴为x=l,

二抛物线h的函数表达式为：尸-x2+2x+3,

当y=0时，-X2+2X+3=0,

解得：Xl=3,X2=-1，

.".A(-1,0),B(3,0),

设抛物线，2的函数表达式；y=a(x-1)(x+1),

把Z>(0,-1)代入得：-la=-1,a=l,

抛物线，2的函数表达式；J=x2-4x-1；

(2)作CVLPG交直线PG于点H,

设尸点坐标为(1,y),由(D可得C点坐标为(0,3),

：.CH=1,PH=\3-yI，PG=\y\,AG=2,

2

...PCM2+(3_y)2=y2_6y+10,PA^==y+4,

"：PC=PA,

；.PA2=PC,

：.y2-6j+10=/+4,解得y=l,

•••P点坐标为(1,1);

(3)由题意可设Af设,x2-4x-1),

；MN〃y轴，

:.N(x,-x2+2x+3),

令-x2+2x+3=x2-4x-1,可解得x=-1或x=4,

325

①当-1V0时，MN=(-x2+2x+3)-(x2-4x-1)=-2x2+6x+8=-2(x--)2+一，

—22

3

显然-iv—7,

2

3

.•.当x=一时，MN有最大值12.1；

2

325

②当4<x<l时，MN=(x2-4x-l)-(-x2+2x+3)=2x2-6x-8=2(x--)2------,

22

3

显然当x>—时，MN随x的增大而增大，

2

325

.•.当x=l时，MN有最大值，MN=2(1--)2------=12.

22

综上可知：在点M自点A运动至点E的过程中，线段长度的最大值为12.1.

【题目点拨】

本题是二次函数与几何综合题，主要考查二次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及动点求线段最值问题.

19、(1)40；(2)54,补图见解析；(3)330；(4)

2

【解题分析】

(1)根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%,可求得本次调查的学生人数；

(2)«=—x360°=54°,由自主学习的时间是0.5小时的人数为40x35%=14；

40

(3)求出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比乘以600即可；

(4)根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求

得答案.

【题目详解】

(1)•••自主学习的时间是1小时的有12人，占30%,

/.124-30%=40,

故答案为40；

(2)«=—x360°=54°,故答案为54；

40

自主学习的时间是0.5小时的人数为40x35%=14；

,、14+8

(3)600x-------=330；

40

故答案为330；

(4)画树状图得：

开始

ABCD

/T\Zl\/1\/T\

BCDACDABDABC

•.•共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能,

11

20、（1）-；（2）-.

【解题分析】

（1）一共4个小球，则任取一个球，共有4种不同结果，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为上；

4

（2）列表或画出树状图，根据一共出现的等可能的情况及恰能组成“美丽”或“光明”的情况进行解答即可.

【题目详解】

（1）•.•“美”、“丽”、“光”、“明”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果,

，任取一个球，摸出球上的汉字刚好是“美”的概率P=-

⑵列表如下:

美丽光明

美——（美,丽）（光，美）（美，明）

丽（美,丽）——（光,丽）（明,丽）

光（美,光）（光,丽）——（光，明）

明（美，明）（明，丽）（光,明）.....

根据表格可得：共有12中等可能的结果，其中恰能组成“美丽”或“光明”共有4种，故

取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“光明”的概率P=1.

【题目点拨】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能

的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数

之比.

21、8

【解题分析】

原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，合并得到最简结果，将x与y的值代入

计算即可求出值.

【题目详解】

原式=x~—"2xy++y2+2xy=x2+2,y~>

当工=&，y=退时，原式=(0y+2x(石产=2+2X3=8.

【题目点拨】

本题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类

项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键.

22、(1)3点到直线CA的距离是75海里；(2)执法船从A到。航行了(75-25班)海里.

【解题分析】

(1)过点3作B〃_LCA交C4的延长线于点7/,根据三角函数可求377的长；

(2)根据勾股定理可求在RtAABH中，根据三角函数可求AH,进一步得到AO的长.

【题目详解】

解：(1)过点B作BHLCA交CA的延长线于点H,

,:ZMBC=60°,

.,.NCB4=30。，

'：ZNAD=30°,

AZBAC=120°,

.\ZBCA=180°-ZBAC-ZCBA=