八省八校(T8联考)2022届高三年级上册第一次联考数学试题含详解

八省八校(T8联考)2022届高三上学期第一次联考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.设OER,则“0〈0〈W”是"0<sin。〈且”的()

32

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.已知z=37T+2i,则复数z在复平面内对应的点位于()

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设a］为非零向量，eR,则下列命题为真命题的是()

A.若a.(a-3)=0,贝！=BB.若3=苏，则⑷+⑻=|a+"

C.若=则4=〃=0D.若贝！J(a+石).(0-旬>0

4.已知函数y=/(x)的图象与函数y=2"的图象关于直线丁=》对称，g(无)为奇函数，

且当x>0时，g(x)=f(x)-x,则g(-8)=()

A.-5B.-6C.5D.6

5.如图，抛物线C:/=4尤的焦点为F，直线/与C相交于4,8两点，/与y轴相交

于£点.已知M尸|=7,|8尸|=3,记A/EF的面积为1,厂的面积为邑，贝lj()

A.S]=2星B.2511=3S2C.=352D.35[=4S2

6.已知tan20。+2cos70。=3,则2的值为（）

A.V3B.2百C.3A/3D.473

试卷第1页，共22页

7.如图，已知四棱柱N8CD-44GA的底面为平行四边形，E,F,G分别为棱

/4，cc“G2的中点，则下列各选项正确的是（）

A.直线3G与平面E尸G平行，直线与平面E厂G相交

B.直线8G与平面EBG相交，直线与平面EFG平行

C.直线8G、都与平面E尸G平行

D.直线3G、8。都与平面E尸G相交

8.设0,6都为正数，e为自然对数的底数，若旌用+6<61116,贝I（）

A.ab>eB.b>e<1+1

C.ab<eD.b<ea+1

二、多选题

9.已知函数/00=不山（5+夕）［/>0,0>0,|夕|<力的部分图象如图所示，则（）

A./（x）的最小正周期为1

B./（x+j］为偶函数

试卷第2页，共22页

71

C.f（x）在区间o,—内的最小值为1

_4_

D./（x）的图象关于直线》=-等27r对称

10.某中学在学校艺术节举行“三独”比赛（独唱独奏独舞），由于疫情防控原因，比赛

现场只有9名教师评委给每位参赛选手评分，全校4000名学生通过在线直播观看并网

络评分，比赛评分采取10分制.某选手比赛后，现场9名教师原始评分中去掉一个最

高分和一个最低分，得到7个有效评分如下表.对学生网络评分按［7,8）,［8,9）,［9,10］分

A.现场教师评委7个有效评分与9个原始评分的中位数相同

B.估计全校有1200名学生的网络评分在区间［8,9）内

C.在去掉最高分和最低分之前9名教师评委原始评分的极差一定大于0.7

D.从学生观众中随机抽取10人，用频率估计概率，X表示评分不小于9分的人数，则

£（X）=5

11.设双曲线C：r-2=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为片,鸟，点尸在C的右支上，

且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（）

A.若。=3,6=2,则C的两条渐近线的方程是〉=±|工

B.若点P的坐标为（2,4后），则C的离心率大于3

C.若PFJPB，则△片柱的面积等于/

□

D.若。为等轴双曲线，且归用=2户用，则cos"；/岑=（

12.在矩形48cD中，AB=2,AD=2C，沿对角线NC将矩形折成一个大小为。的二面

角5-NC-。，若cosO=；,则下列各选项正确的是（）

A.四面体48CD外接球的表面积为16万

B.点2与点。之间的距离为2G

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C.四面体的体积为这

3

D.异面直线/C与AD所成的角为45°

三、填空题

13.设函数〃x)=ei+x3的图象在点处的切线为/,则直线/在y轴上的截距为

14.已知的展开式中第3项为常数项，则这个展开式中各项系数的绝对值之

和为.(用数字作答)

15.数列｛4｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…，称为斐波那契数列(Fibonaccisequence),

该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多•斐波那契(Leonard。Fibonacci)以兔子繁

殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上斐波那契数列可表述为

at=a2=1,an=an_t+an_2｛n>3,«eN*).设该数列的前〃项和为，记出()23=机，则

^2021="(用m表示)

四、双空题

16.在平面直角坐标系中，若正方形的四条边所在的直线分别经过点

/(1,0),8(2,0),。(4,0),。(8,0),则这个正方形的面积可能为或.(每条横

线上只填写一个可能结果)

五、解答题

17.已知函数/(x)=J^sin|_cos|'-cos21'+g.

(1)设g(x)=/(-X),求函数g(x)的单调递减区间；

(2)设的内角/,B,。所对的边分别为a,b,c,。为8C边的中点，若

/(4)=；,.=6,求线段/D的长的取值范围.

18.设等差数列｛%｝的前"项和为，，已知%=3,&=5%.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

2,、

(2)设2=1+不，数列｛a｝的前〃项和为定义田为不超过x的最大整数，例如

[0.3]=0,[1.5]=1.当[见+%]+…+亿]=63时，求〃的值.

试卷第4页，共22页

19.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，平面尸48，平面ABCD,PB=AB,E为BC

的中点.

(1)若/P胡=60。，证明：AE1.PD■,

(2)求直线NE与平面P/O所成角的余弦值的取值范围.

20.设椭圆E:^+==l（a>6>0）,圆C:（x-2M2+（y-4加）2=l（加H0）,点耳,匕，

分别为£的左右焦点，点C为圆心，。为原点，线段。。的垂直平分线为/.己知£的

离心率为点号耳关于直线/的对称点都在圆C上.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设直线/与椭圆£相交于/,8两点，问：是否存在实数相，使直线ZC与8C的

2

斜率之和为］?若存在，求实数〃?的值；若不存在，说明理由.

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21.元旦将至，学校文学社拟举办“品诗词雅韵，看俊采星驰”的古诗词挑战赛初赛阶段

有个人晋级赛和团体对决赛.个人晋级赛为“信息连线”题每位参赛者只有一次挑战机会

比赛规则为：电脑随机绐出错乱排列的五句古诗词和五条相关的诗词背景（如诗词题名、

诗词作者等），要求参赛者将它们^-一配对，有三对或三对以上配对正确即可晋级.团

体对决赛为“诗词问答”题，为了比赛的广泛性，要求以班级为单位，各班级团队的参赛

人数不少于30人，且参赛人数为偶数为了避免答题先后的干扰，当一个班级团队全体

参赛者都答题完毕后，电脑会依次显示各人的答题是否正确并按比赛规则裁定该班级团

队是否挑战成功，参赛方式有如下两种各班可自主选择其中之一参赛.

方式一：将班级团队选派的2〃个人平均分成〃组，每组2人电脑随机分配给同一组两

个人一道相同试题，两人同时独立答题，若这两人中至少有一人回答正确，则该小组闯

关成功.若这"个小组都闯关成功，则该班级团队挑战成功.

方式二：将班级团队选派的2〃个人平均分成2组，每组“人电脑随机分配给同一组〃

个人一道相同试题，各人同时独立答题，若这〃个人都回答正确，则该小组闯关成功.若

这2个小组至少有一个小组闯关成功则该班级团队挑战成功.

（1）甲同学参加个人晋级赛，他对电脑给出的五组信息有且只有一组能正确配对，其

余四组都只能随机配对，求甲同学能晋级的概率；

（2）在团体对决赛中，假设你班每位参赛同学对给出的试题回答正确的概率均为常数

p（0<p<l）,为使本班团队挑战成功的可能性更大，应选择哪种参赛方式？说明你的

理由.

22.已知函数/（x）=alnx-sinx+无，其中a为非零常数.

（1）若函数在（0,+⑹上单调递增，求a的取值范围；

（2）设Oe］万,1且cose=l+6sine,证明：当。?sin。<〃<0时，函数在（0,2万）

上恰有两个极值点.

试卷第6页，共22页

八省八校(T8联考)2022届高三上学期第一次联考数学试题

参考答案

1.【答案】A

【分析】

由三角函数的单调性直接判断0〈。g是否能推出0<sin8(如，反过来判断

32

0<sinO<@时，是否能推出

23

【详解】

当0<0〈£时，利用正弦函数y=sinx的单调性知o<sinO<"；当0<sin0<@时，

322

2k兀<0<2左〃+?(左GZ)或2左+<0<2kjr+7i(k£Z).综上可知“0<0<三”是

“0<sin。<且”的充分不必要条件.

2

故选：A

【点睛】

本题考查判断充分必要条件，三角函数的性质，意在考查基本判断方法，属于基础题型.

2.【答案】B

【分析】

由复数的乘除法法则求得Z后可得其对应点坐标，从而得象限.

【详解】

因为z=*72-1+21=iTT+2i=-2+3i，则复数z在复平面内对应的点Z(-2,3)

(1-0(1+1)

位于第二象限，

故选：B.

3.【答案】D

【分析】

根据向量垂直的数量积表示判断A,由向量共线判断BC,利用数量积的运算判断D.

【详解】

对于A,a-(a-b)=0a±(a-b),结论不成立，命题为假；

对于B,当"与3方向相反时，结论不成立，命题为假；

对于C,当£与后共线时，结论不成立，命题为假；

对于D,若内>向,则曰2>|次,即片〉片,则/一片>0,所以

试卷第7页，共22页

(a+b)-(a-b)=a-b^>0>命题为真.

故选：D.

4.【答案】C

【分析】

先求出〃x)=logzx,再求出g(8)=-5即得解.

【详解】

解：由已知，函数y=〃x)与函数>=2,互为反函数，则〃x)=log2X.

由题设，当x>0时，g(x)=log2x-x,jjl!jg(8)=log28-8=3-8=-5.

因为g(x)为奇函数，所以g(-8)=-g⑻=5.

故选：C.

5.【答案】C

【分析】

分别过点4,2作/轴的垂线，垂足为4，耳，利用三角形相似结合抛物线的定义求解.

【详解】

解：抛物线C的准线方程为X=-1,分别过点45作V轴的垂线，垂足为4,4,

=*丫=回=马=“一1上

=3,

'邑L\BE\,h\BE\BB\\BF\-\3-1

2

所以岳=3邑.

故选：C.

5f

…g…

6.【答案】D

试卷第8页，共22页

【分析】

切化弦后，由二倍角公式，两角差的正弦公式化简变形后可得.

【详解】

由已知，^sin200+2sin20°=3,贝1>Asin20°+/Isin20°cos20°=3cos200,

cos20°

从而(sin40°=3cos200-Gsin20°=2Gsin(60°-20°)=2Gsin40°,所以2=46，

故选：D.

7.【答案】A

【分析】

取43的中点H,证明BQ〃HG,BQ〃平面跳'G即得证，再证明直线与平面E尸G

相交即得解.

【详解】

解：取的中点则从而四边形BCQa为平行四边形，

所以5G〃//G.易知EH//GF,EH//GF,则四边形EGFH为平行四边形，

从而GHu平面E尸G.又BGZ平面E尸G,所以8G〃平面EBG.

易知BFHED、,BF=EDl,则四边形跳为平行四边形，从而3,与跖相交，

所以直线BD、与平面EFG相交.

故选：A.

8.【答案】B

【分析】

试卷第9页，共22页

把不等式进行变形，引入函数〃x)=xlnx,由导数确定函数单调性，由单调性及不等

关系得结论.

【详解】

由已知，<6(ln6-l)=61n2,则e"Ine"<.

eee

设〃x)=xlnx,则/(/)</

因为〃〉0,则e“>l.又6(lnb—l)>0,b〉0,贝！jlnb〉l,即b〉e,从而一>1.

e

当％>1时，/r(x)=lnx+l>0,则/(%)在(1,+8)内单调递增，

所以e"<2,即6>e"+1

e

故选：B.

9.【答案】AC

【分析】

由图知，/(X)的最小正周期为7=",结论A正确；

求出/(x)=2sin(2x+J从而小+看]=2sin,x+^j不是偶函数，结论B错误；

因为"0)=6，=则“X)在区间°，?内的最小值为1，结论C正确；

因为x=-号为/(X)的零点，不是最值点，结论D错误.

【详解】

解：由图知，/(X)的最小正周期为7=4x|^|-|^=",结论A正确；

因为。亨=2,4=2,则/(x)=2sin(2x+0).因为x=g为%)在(0,+s)内的最小零

点，则2x(+0=",得夕=.，所以〃x)=2sin(2x+。，从而

/"1)=2sin2,+6+:=2sin12r+畀不是偶函数，结论B错误;

因为〃0)=2s呜=6,呜J=2si呜+,=2cos,=l,结合图像可得小)在区间

JT

0,丁内的最小值为1,结论c正确；

L4_

因为dT]=2sinL+'=2sin(-力=0，则x=—为的零点，不是最值点,

结论D错误.

故选：AC.

10.【答案】ABD

【分析】

试卷第10页，共22页

根据中位数概念判断A,由频率分布直方图估计样本容量判断B,由极差概念判断C,

由二项分布求出期望判断D.

【详解】

去掉9个原始评分中的一个最高分和一个最低分，不会改变该组数据的中位数，A正确;

因为学生网络评分在区间［8,9)内的频率为0.3,学生总人数为4000,则网络评分在区间

［8,9)内的学生估计有4000x0.3=1200A,B正确;

若去掉的一个最高分为9.6,去掉的一个最低分为8.9,则9名教师原始评分的极差等于

0.7,C错误；

学生网络评分在区间［9,10］内的频率为0.5,则万~5(10,0.5),所以£(X)=10x0.5=5,

D正确；

故选：ABD.

11.【答案】BC

【分析】

本题根据双曲线的离心率和渐近线、三角形面积求法及余弦定理进行逐项分析即可求

解.

【详解】

解：由题意得：

A选项：当。=3,6=2时，双曲线的渐近线的斜率左=±々=±2,A错误；

a3

B选项:因为点P(2,4扬在C上,则且=得与上+8>8,所以e=Jl+?>3,

故B正确；

C选项：陷日*=2a,若尸耳，巡,则忸用尸用2=国且「=公2,即

(|尸周一|尸用了+2阳|小工卜念？，即44+2|尸团尸阊=而，得

222

\PFt\-\PF2\=2(c-a)=2b,所以山户2=J列讣「阊=〃，c正确；

D选项：若C为等轴双曲线，贝i|a=6,从而阳月|=2c=2缶.若归用=2|时则

|尸闾=2a,忸闻=4a.在△取风中，由余弦定理，得

ci%忸用2+飓°E可-16—+4/-8立3

12“D错误

2\PF^PF2\2X4QX2〃

故选：BC

12.【答案】ACD

试卷第11页，共22页

【分析】

求出2R=/C=4,即可判定A正确；分别作垂足为E,F,利用

向量法求出|访卜2也，即可判定B错误；证明CD,平面/皿，求出”=乎，故C

正确；利用向量法求出（/，诟）=45。，所以异面直线/C与此所成的角为45。，故D

正确，

【详解】

解：如图，因为A/BC和A/OC都是以/C为斜边的直角三角形，则/C为四面体48CD

外接球的直径.

因为AB=2,BC=2。则2R=/C=4,

所以四面体48co外接球的表面积为5=4万斤=16万，故A正确；

分别作尸，NC,垂足为£,F,则。=（d,品）.

由已知可得，EB=FD=A/3,AE=CF=1,EF=2.因为应）=BE+EF+FD'贝U

-.2t->-2—2.2――

\BD\2=BD=（BE+EF+FD）2=BE+EF+FD+1BEFD

=3+4+3+26・6cos（万一6）=8,所以|而|=2血，故B错误；

因为。。2+8〃2=]2=3。2,

则CDJ_8D.同理又CD,ADD8。=u平面,

则CD_L平面/8Q,所以『=1s4mxC£>=LxLx2x2也x2=t2,故C正确；

3323

由已知可得，ZCAD=30°,ZCAB=60°,

则AC-BD=AC\AD-AB）=AC-AD-ic-AB=4x2>/3cos300-4x2cos60°=8-贝汁

COSIAC,BD\=^'BD=—^=^,得（北,砺）=45。,

\/\AC\\BD\4x2血2\/

所以异面直线/C与8。所成的角为45。，故D正确，

故选：ACD.

试卷第12页，共22页

13.【答案】-2

【分析】

求出导函数得切线斜率，写出切线方程后可得纵截距.

【详解】

因为/'(x)=e，T+3/,则为⑴=4.又/⑴=2,则切线方程为y-2=4(x-l),即

y=4x-2,所以该切线在＞轴上的截距为-2.

故答案为：一2.

14.【答案】729

【分析】

根据第三项为常数可知该项X得指数为0,解得〃，(4-；：的展开式中各项系数的绝

对值之和与14+的展开式中各项系数之和相等故可得答案.

【详解】

解：由题意得：

i=o,〃=6

2

又；(4-；：的展开式中各项系数的绝对值之和与(五+：；的展开式中各项系数之

和相等

，当取x=1,得(6+的展开式中各项系数之和为36=729.

故答案为：729

15.【答案】m-1

【分析】

由斐波那契的定义有。“=%+2-%+-$2021中每一项都表示为两项的差，然后正负抵消后

可得结论.

【详解】

由得。”+2=。“+1+%，即％所以

试卷第13页，共22页

$2021=%+。2+/+…+&021=（°3一.2）+（°4一％）+（%一%）+…+（°2023一。2022）=°2023一°2=机一1

故答案为：m—l.

36

16.【答案】—

T

【分析】

设直线4的倾斜角为。,正方形的边长为以按4〃幻/"4/〃"分类讨论,

用。表示。，从而求得。正方形面积.

【详解】

不妨设正方形的四条边所在的直线分别为小小屋4,它们分别经过点/、B、C、D,

直线4的倾斜角为夕o<e<£j,正方形的边长为a.

TT

①若则4〃。，且从而。的倾斜角为。+2•

因为切=1,则4与4之间的距离为sine,所以a=sin6.

因为|8|=4,则人与。之间的距离为4sin+=4cos6,

所以。=4cos。.

令sin9=4cos。，则sir?6=16cos?。=160—sir?。)，得sin2e=j1,则正方形面

S=sin20=—.

17

JT

②若h〃％，则4〃乙，且从而4的倾斜角为。+万.

因为|佝=3,贝也与4之间的距离为3sin。，所以a=3sin6.

因为|8。|=6.则4与。之间的距高为6sin万-[e+'J]=6cos。，

所以Q=6cos。.令3sin。=6cos。，贝！]sin29=4cos20=4(1-sin2,得sin?。=g，

试卷第14页，共22页

则正方形面积S=9sin2=彳

TF

③若4〃4,则，2〃/3,且从而的倾斜角为。+2.

因为|/。=7,则4与。之间的距离为7sin6,所以a=7sin6.

因为|8C|=2,则4与4之间的距离为2sin+=2cos。，

所以Q=2COS。.

令7sin6=2cose,贝I]49sin/4cos?6=4（1-sin?6）,得5亩2。=2，则正方形面积

196

S=49sin26=——.

53

故答案为：—;—（在石、—>V中任选其中两个填写）.

17.【答案】

24.71.

（1）-------F2ATT,—F2k兀，左EZ

33

⑵芦3-

【分析】

（1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求

试卷第15页，共22页

出g(x),再由复合函数的单调性与正弦函数的单调性得出减区间；

TT

(2)由(1)求得/=由余弦定理得Ac关系，结合基本不等式得儿的范围，利用

中线向量公式=+平方后结合向量的数量积运算可求得中线长的范围.

(1)

>口.口G2111.1.(研

由已矢口，/(X)=——sinx2cos——1=——sinxeosx=sinx--.

22(2J22I6J

贝Ug(x)=/(_%)=sin1—x—KJ=-sin[^x+—J,

所以当g(x)单调减时，函数尸Sin(x+1^单调递增.

令F2k兀4xH—,,—H2左7T,左eZ,得----F2k兀4x4—I-2k兀,左eZ.

26233

27rn

所以函数g(x)的单调递减区间是-？-+2力r,§+2左/，左eZ.

(2)

因为/(/)=sin(/-看卜"八(0"),则/=。.

又a=V^，由余弦定理,得3=I)?+c?-be,即)2+/=/?c+3・

因为。为BC的中点，则4D=-(AB+AC)2=-b2+c2+be)=~(2bc+3).

44、74

S^Jb2+c2>2bc,则6c+322bc,BP0<6c<3,当且仅当b=c=l等号成立，所以

3——►、9_3

4<|AD[<^-,即叱<|/o区上.

4422

以线段4。的长的取值范围是

18.【答案】

(1)an=2/2+1

(2)10

【分析】

(1)由等差数列的前〃项和公式求得公差"，可得通项公式；

(2)用裂项相消法求和求得，，根据新定义求得7,,然后分组，结合等差数列的前〃项

和公式计算后解方程可得.

(1)

设等差数列｛4｝的公差为力因为％=3,则邑=3%+3"=9+3".

试卷第16页，共22页

因为S3=5%=15,贝ij9+3d=15,得d=2.

所以数列｛叫的通项公式是%=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)

因为S“=3”+^^x2=/+2"，贝版“=1+]=1+；^=1+;一去

所以备="+11_；］+］；

当“V2时，因为一------<0,贝!][?；]=〃.

32n+1n+2

当〃23时,因为。<；-土-击<；，则［讣"+】•

因为[北]+[4]+…+[][=63,则1+2+4+5+…+(”+1)=63,即

(«-2)(4+»+1)

5H------------------------------=63,

2

即/+3〃-130=0,即(〃-10)(”+13)=0.因为“eN*,所以〃=10

19.【答案】

(1)证明见解析；

(2)不.

、5?

【分析】

(1)取NB的中点尸，连接尸尸,。尸.先证明PB_L/E,DFLAE,即证NE_L平面PDF,

原题即得证；

(2)分别取尸4Po的中点G,H,连接4W,证明为直线ZE与平面P4D所成

的角，设正方形4BC。的边长为1,P/=x(0<x<2),在必A/HE中,

cosZEAH=—=^^,即得解.

AEV5

(1)

解：取42的中点尸，连接PF,DF.

因为P8=48,ZPA4=60。，则为正三角形，所以

因为平面PAB1平面ABCD,则尸尸，平面ABCD.

因为/Eu平面48C。，则尸尸_L/E.①

因为四边形48C。为正方形，£为8c的中点，则

RMDAF公RMABE,所以ZADF=ZBAE,

试卷第17页，共22页

从而AADF+NEAD=ZBAE+ZEAD=ABAD=90°,

所以.②

又尸尸口。尸=尸，尸尸，。尸u平面PDF,

结合①②知，NE_L平面PDF,所以

(2)

解：分别取尸4尸。的中点G,H,则GH///。，GH=-AD.

2

又BE//AD,BE=-AD,则GHUBE,GH=BE,

2

所以四边形8G/殂为平行四边形，从而EH〃BG.

因为P8=4B,则8G_LP/.

因为平面尸48_L平面/BCD,AD1AB,则4D_L平面尸48,

从而4D_LBG,因为P/C|4D=4尸44Du平面尸40,

所以BG_L平面P/D,从而£7/_L平面尸4D.

连接/〃，则为直线NE与平面尸/。所成的角.

1X

设正方形/BCD的边长为1,PA=x(0<x<2),则8E=G〃=—,NG=—.

22

从而AE=yjAB2+BE1=—,AH=^AG2+GH2="•

22

.AH_Vx2+1

在RtAAHE中，cos/EAH-...-.......1=—.

AEV5

〃x)=在/单调递增,

因为当0cx<2时,贝UcosZEAHG

V5

所以直线ZE与平面尸4。所成角的余弦值的取值范围是不

试卷第18页，共22页

（2）不存在，理由见解析

【分析】

（1）由对称性求得因区|，得。，再由离心率得。，然后求得6得椭圆方程;

（2）由垂直得出直线/方程，代入椭圆方程，设点/（%,弘）,3仁,%）,由韦达定理得

2

西+%巧当，代入左数+心c=］求解加，若有解则存在，若无解，则说明不存在.

（1）

c1

由已知，£=-=-,贝Ua=2c

a2

设点可，匕关于直线I的对称点分别为M,N,因为点O,C关于直线/对称,O为线段月外

的中点，则C为线段跖V的中点，从而线段初V为圆C的一条直径，所以出阊=1跖V1=2,

艮2。=2,即。=1.

于是。=2,〃=/—02=3,所以椭圆£的方程是二+廿=1.

43

（2）

因为原点。为线段月月的中点，圆心C为线段九W的中点，直线/为线段OC的垂直平

分线,

所以点。与C也关于直线/对称,

因为点C（2检4/），则线段OC的中点为（加,2加），直线0C的斜率为2,又直线/为线段

0c的垂直平分线,

115m

所以直线/的方程为八2"7=-5&-加），gpy=--x+y-.

将"f+T代入；。L得#++>^[2,

即

4x2-10mx+25m2-12=0.

设点4（%,弘）,以心外）,则再+/=事,2=3产

一t77Pi-4my.-4m1再+3冽+/+3m

^c^BC=—+—=--

再-2mx2-2m

(M+3加)(/—2m)+(x2+3m)—2m)

2(%j-2m)(x2-2m)

2

2再%2+加(％1+、2)-12加

2

2XXX2-Am(%i+x2)+8m

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2

2,2XX9+m（x,+-12m2八，

由己知，…则2；；-」（；+；）+8/+r°,得

2x^2_加（X]+%）―4m2=0.

所以25〃/二£2_包匚_4加2=0,即〃，=1,即"?=±1.

22

因为直线/与椭圆E相交，则A=10（W-i6（25/-12）＞0,解得苏＜||,gp|m|＜1.

因为二4＜1,所以不存在实数机，使直线NC与2C的斜率之和为2:.

53

21.【答案】

（1）—

24

（2）方式一参赛，理由见解析

【分析】

（1）甲同学能晋级这个事件分类两个互斥事件的和：甲同学正确配对3对和甲同学正

确配对5对，分别计算出概率相加可得；

（2）设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为耳A.求出PX,P2后作差々-£,

得了它们的大小关系，从而可得结论.

⑴

设甲同学正确配对3对为事件4正确配对5对为事件8,甲同学能晋级为事件C,

则C=N+8,S.A,B互斥.

因为甲同学只有一组能正确配对，其余四组都随机配对，则尸。）=鸟=；,

44

尸⑶

1177

从而P（C）=P（A）+P（B）=-+—=—,所以甲同学能晋级的概率为.

42424274V

（2）

设选择方式一、二的班级团队挑战成功的概率分别为斗心.

当选择方式一时，因为两人都回答错误的概率为（I-。）?，则两人中至少有一人回答正确

的概率为1-（1-P）2,所以々=口一（1一021=/，（2一°y.

当选择方式二时，因为一个小组闯关成功的概率为P",则一个小组闯关不成功的概率

为"P",

所以鸟=1-（1一0"）2=0"（2-"）