2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第5节 因式分解1（含答案）

第5讲因式分解1（学生版）目标层级图课前检测1.下列等式从左到右的图形，属于因式分解的是（）A． B．C．D．2.（1）若，求的值．3.分解因式=．课中讲解一.概念定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。分解因式与整式乘法互为逆变形。注意：

（1）分解的结果要以积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止2.因式分解结果的要求因式分解结果的标准形式常见错误或不规范模式符合定义，结果一定是乘积的形式不能含有中括号，大括号最后的因式不能再次分解相同因式写成幂的形式括号首项不能为负因式中不含有分式因式中不含无理数单项式因式写在多项式因式前面每个因式第一项系数一般不为分数例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．B.C． D．

过关检测1.下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．2．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．B．C． D．3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．

二.提公因式法1．公因式定义：多项式的各项都含有相同的因式，我们把多项式各项都含有相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2．确定公因式的方法：①系数——取多项式各项系数的最大公约数；②字母或多项式因式——取各项都含有的字母或多项式因式的最低次幂3．提公因式法定义：如果一个多项式的各项都含有公因式，可将这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。4．提公因式步骤：①确定多项式中各项的公因式（包括系数、字母、多项式因式）②提出公因式（注意符号）③确定多项式提出公因式后的因式（把原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，写出结果），将提出公因式后的因式合并同类项（注意：如果某一项提出全部后，还剩1）例1.（1）（2）（3）过关检测1．因式分解：＝．2．把下列各式因式分解（1）（2）

（3）（4）例2．对下列式子进行因式分解（1）（2）过关检测1．把下列各式进行因式分解（1）；（2）（3）（4）2．已知可分解因式为，其中、均为整数，则．例3．若的公因式是，则等于（）A． B． C． D．−2an+1过关检测1．利用因式分解计算：＝．2．利用因式分解计算：＝．三.公式法1．根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法！2．公式法两种类型：平方差公式法：形如的式子称为完全平方式。用完全平方公式因式分解：需要了解的几种类型：例1．利用平方差公式进行因式分解：过关检测1．因式分解下列各式（1）（2）（3）2．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）A．B． C．D．3．下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A． B．C． D．例2．用完全平方式法对下列各式进行因式分解（1）（2）（3）（4）（5）（6）过关检测1．因式分解下列各式（1）（2）（3）（4）例3．已知，求的值．过关检测1．（1）（2）学习任务1．下列各式从左到右，是因式分解的是（）A． B．C． D．2．阅读下列材料：如果，那么，则，由此可知：．根据以上材料计算的根为（）A． B．C． D．3．若是正整数,且,则数对为．4．用完全平方式法对下列各式进行因式分解（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）5．分解因式：（1）（2）第5讲因式分解1（解析版）目标层级图本节内容：本节主要是涉及因式分解的认识及提公因式和公式法的分解方法1、先带领学生认识什么叫因式分解，重点强调必须是整式及因式分解的结果，并附上因式分解的一些格式要求，要求学生一定要完全理解2、运用提公因式法对整式进行分解，首先需要理解什么是公因式，以及确定公因式的方法，特别注意先系数，在单项式，在进行多项式的公因式提取，某一项全部提出后剩余1，难版增加了提公因式次数为字母的提公因式，注意提取指数的最低次幂3、运用公式法包含平方差、完全平方公式以及立方和立方差公式运用，注意分解后检查是否分解完全，立方和及立方差的分解需要老师提前刷一下讲义。课前检测1.下列等式从左到右的图形，属于因式分解的是（）A． B．C．D．【解答】解：A、m（a﹣b）＝ma﹣mb，是单项式乘以多项式，故此选项错误；B、2a2+a＝a（2a+1），是分解因式，符合题意；C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，是整式乘法运算，故此选项错误；D、m2+4m+4＝m（m+4）+4，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选：B．2.（1）若，求的值．【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×4＝12；3.分解因式=．【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x）=x2（x﹣y）﹣（x﹣y）=（x﹣y）（x2﹣1）=（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．课中讲解概念定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。分解因式与整式乘法互为逆变形。注意：

（1）分解的结果要以积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数；（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止2.因式分解结果的要求因式分解结果的标准形式常见错误或不规范模式符合定义，结果一定是乘积的形式不能含有中括号，大括号最后的因式不能再次分解相同因式写成幂的形式括号首项不能为负因式中不含有分式因式中不含无理数单项式因式写在多项式因式前面每个因式第一项系数一般不为分数例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）A．B.C． D．【解答】A、是整式的乘法运算，故选项错误；B、结果不是积的形式，故选项错误；C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确；D、结果不是积的形式，故选项错误．故选：C．过关检测1.下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、不合因式分解的定义，故本选项错误；C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D、左边＝右边，是因式分解，故本选项正确．故选：D．2．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．B．C． D．【解答】解：A、右边不是积的形式，错误；B、是多项式乘法，不是因式分解，错误；C、是平方差公式，x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），正确；D、结果不是整式的积，错误．故选：C．3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；B、x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项错误；C、a+ax+ay＝a（1+x+y），故此选项错误；D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项正确．故选：D．

提公因式法1、公因式定义：多项式的各项都含有相同的因式，我们把多项式各项都含有相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。2、确定公因式的方法：①系数——取多项式各项系数的最大公约数；②字母或多项式因式——取各项都含有的字母或多项式因式的最低次幂3、提公因式法定义：如果一个多项式的各项都含有公因式，可将这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。4、提公因式步骤：①确定多项式中各项的公因式（包括系数、字母、多项式因式）②提出公因式（注意符号）③确定多项式提出公因式后的因式（把原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，写出结果），将提出公因式后的因式合并同类项（注意：如果某一项提出全部后，还剩1）例1.（1）（2）【解答】解：【解答】解：（1）原式＝9a2bc（5ab+1﹣6b）；（3）（单项式的提公因式）【解答】解：过关检测1．因式分解：＝．【解答】解：原式＝2a（a﹣2）．故答案为：2a（a﹣2）．2.把下列各式因式分解（1）（2）【解答】解：．【解答】解：．（3）．（4）【解答】解：原式，【解答】解：原式=例2.对下列式子进行因式分解（多项式的提公因式）（1）【解答】解：原式＝（a﹣b）4+a（a﹣b）3﹣b（a﹣b）3＝（a﹣b）3（a﹣b+a﹣b）＝2（a﹣b）4；（2）【解答】解：原式＝．过关检测1.把下列各式进行因式分解（1）；（2）【解答】解：原式＝（x-3）(a+2b)【解答】解：原式＝5（x-y）2(x-y+2)（3）（4）【解答】解：原式＝2（1-p）2(2q-2qp+1)【解答】解：原式＝（x-y）(3m+n)2.已知可分解因式为，其中、均为整数，则．【解答】解：，，，则，，故，故答案为：．例3.若的公因式是，则等于（）（次数为字母的提公因式，注意提最低次幂，在运用幂的运算求剩下的次数）A． B． C． D．−2an+1【解答】解：﹣2an﹣1﹣4an+1＝﹣2an﹣1（1+a2），故选：C．过关检测1.利用因式分解计算：＝．【解答】解：=2．利用因式分解计算：＝．【解答】解：（﹣2）101+（﹣2）100+299＝﹣2101+2100+299＝299（﹣22+2+1）＝﹣299．故答案为：﹣299．公式法1.根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法！2.公式法两种类型：平方差公式法：形如的式子称为完全平方式。用完全平方公式因式分解：需要了解的几种类型：（一般学生都不知道，需要大概讲解下）（立方和）（立方差）（完全立方和）（完全立方差）（三项式的完全平方和）例1.利用平方差公式进行因式分解：【解答】解：原式＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．【解答】解：原式=（7n-m）(7m-n)【解答】解：原式=（15b-4a）(8a-9b)过关检测1.因式分解下列各式【解答】解：a2（x﹣y）+4（y﹣x）＝（x﹣y）（a2﹣4）＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．=2\*GB3②【解答】解：ax2﹣9a＝a（x2﹣9）＝a（x+3）（x﹣3）=3\*GB3③【解答】解：（m﹣n）2﹣9（m+n）2＝[（m﹣n）+3（m+n）][（m﹣n）﹣3（m+n）]＝[m﹣n+3m+3n][m﹣n﹣3m﹣3n]＝（4m+2n）（﹣2m﹣4n）＝﹣4（2m+n）（m+2n）．2.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（）A．B． C．D．【解答】解：A、符合平方差公式的特点；B、两平方项的符号相同，不符和平方差公式结构特点；C、符合平方差公式的特点；D、符合平方差公式的特点．故选B．3.下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（）A． B．C． D．【解答】解：不能运用平方差公式分解的是﹣x2﹣y2，故选：B．例2.用完全平方式法对下列各式进行因式分解（1）（2）【解答】解：=14(3a+4b)2（3）（4）【解答】解:=3m22n−12（5）（6）【解答】解:=(x−y)2【解答】解:=过关检测1.因式分解下列各式（1）【解答】解:=（2）【解答】解:=（3）【解答】解:=（4）【解答】解:=例3.已知，求的值（立方和公式因式分解）【解答】解:a=-7过关检测1.（1）（立方差与平方差综合）（2）（立方和公式）【解答】解:=【解答】解:=学习任务1.下列各式从左到右，是因式分解的是（）A． B．C． D．【解答】解：A、是多项式乘