第28章 锐角三角函数【复习课件】

人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数全章整理与复习知识框架(2)∠A的余弦：cosA＝

＝

；(3)∠A的正切：tanA＝

＝

.1.锐角三角函数如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．(1)∠A的正弦：∠A的对边斜边sinA=∠A的邻边斜边∠A的邻边∠A的对边1.成比例的数（线段）：叫做四个数成比例.那么或若,::cbaddcbadcba==,,,若a、b、c、d

为四条线段，如果（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d

叫做成比例的线段，简称比例线段.a

cb

d

=sin30°＝

，sin45°＝

，sin60°＝

；cos30°＝

，cos45°＝

，cos60°＝

；tan30°＝

，tan45°＝

，tan60°＝

.2.特殊角的三角函数1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．三边关系：_______________；三角关系：_________________

；边角关系：sinA＝cosB＝_____，cosA＝sinB＝____，tanA＝_________，tanB＝_______.a2＋b2＝c2∠A＝90°－∠B

3.解直角三角形(2)直角三角形可解的条件和解法◑条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素．◑解法：①一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．(3)互余两角的三角函数间的关系sinα=

，cosα=_____________，sin2α+cos2α=

.tanα·

tan(90°－α)

=___.cos(90°－α)sin(90°－α)11对于sinα与tanα，角度越大，函数值越

；对于cosα，角度越大，函数值越____.大小(4)锐角三角函数的增减性(1)利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.(不同计算器操作可能不同)第一步：按计算器键，sintancos4.借助计算器求锐角三角函数值及锐角(2)利用计算器求锐角的度数还可以利用键，进一步得到角的度数.第二步：输入函数值屏幕显示答案(按实际需要进行精确)方法①：°＇″2ndF第一步：按计算器键，2ndFsincostan方法②：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案(按实际需要选取精确值).第一步：按计算器键，°＇″2ndF(1)仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.5.三角函数的应用以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角，叫做方位角.如图所示：30°45°BOA东西北南(2)方位角45°45°西南O东北东西北南西北东南坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=tan

α.坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i

=.(3)坡度，坡角(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；②根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；③得到数学问题的答案；④得到实际问题的答案．ACMN①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；E

②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；③量出测倾器的高度AC=a，可求出

MN=ME+EN=l·tanα+a.α(1)测量底部可以到达的物体的高度步骤：6.利用三角函数测高(2)测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；ACBDMNEα②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角

∠MDE=β；β③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离

AB=b.根据测量数据，可求出物体MN的高度.1.锐角三角函数的概念【例1】如图,BD是菱形ABCD的对角线,CE⊥AB于点E,交BD于点F,且E是AB中点,则tan∠BFE的值是(

)分析

连接AC,根据菱形的性质与已知条件,易证△ABC是等边三角形,从而可知∠BFE=60°.解析:如图,连接AC.∵CE垂直平分AB,∴BC=AC.又四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=∠ABC=30°,∴∠BFE=60°,∴tan∠BFE=.故选D.答案:D点拨

除像该例恰好遇到特殊角外,解决该类问题的常用方法是设参数法,即先用含参数的代数式表示出各边长,再利用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.跟踪训练1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则cosA的值是(

)答案解析解析关闭答案解析关闭2.与特殊角的三角函数值有关的计算【例2】

(1)计算sin245°+cos30°tan60°,其结果是(

)(2)在锐角三角形ABC中,如果∠A,∠B满足分析(1)把特殊角的三角函数值直接代入计算即可.(2)根据绝对值与平方的非负性可以得到∠A的正切值与∠B的余弦值,进而可先求出两角的度数,再利用三角形内角和定理计算∠C的大小.又∠A,∠B都为锐角,∴∠A=45°,∠B=60°,∴∠C=180°-45°-60°=75°,故答案为75°.答案:(1)A

(2)75°点拨

熟记特殊角的三角函数值与实数的运算法则是进行三角函数计算的关键.另外,由特殊锐角的三角函数值反求角的度数,常与“几个非负数的和为0,则这几个非负数的值分别为0”的性质密切联系.答案答案关闭3.解直角三角形【例3】如图,已知△ABC.按如下步骤作图:①以A为圆心,AB长为半径画弧;②以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;③连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:△ABC≌△ADC;(2)若∠BAC=30°,∠BCA=45°,AC=4,求BE的长.分析(1)根据尺规作图步骤直接利用“SSS”判定方法证得结论;(2)先证明AC⊥BE,得出Rt△ABE和Rt△BEC.设BE=x,先利用特殊角的三角函数表示相关线段长度,再利用AE+CE=AC构建方程求值.(1)证明在△ABC与△ADC中,由作图步骤,可知AB=AD,BC=CD.∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SSS).(2)解由(1)得AB=AD,∠BAC=∠DAC,∴AE⊥BD,即AC⊥BE.设BE=x,在Rt△ABE中,∵∠BAC=30°,点拨

解直角三角形时,要结合图形,根据已知条件选择合适的关系式进行计算.另外,注意把解直角三角形与求锐角的三角函数值区别开来,前者是求直角三角形中未知的边和角,后者是计算锐角的正弦、余弦与正切值.跟踪训练3.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,D是边AB上一点,∠BDC=45°,AD=4,求BC的长(结果保留根号).答案答案关闭4.解直角三角形的实际应用【例4】

“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60km/h,为了检测车辆是否超速,在公路MN旁设立了观测点C,从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5s,已知∠CAN=45°,∠CBN=60°,BC=200m.此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:分析

过点C作CE⊥MN于点E,先在Rt△BCE中利用正弦函数和余弦函数求出CE和BE的长,再在Rt△ACE中,利用正切函数,求得AE的长;由于小车从点A行驶到点B用时5s,即可求得小车的速度,与60km/h比较大小,即可判断该车是否超速.点拨

利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造,即把实际问题转化为数学问题,并构造直角三角形求解.解题时要认真审题,弄清