西安中学2024届高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析

西安中学2024届高三3月份第一次模拟考试数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如下的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的明

分分别为176,320,则输出的。为（）

A.16B.18D.15

1nx

2.已知函数/（尤）=-----X2+2ex-a（其中e为自然对数的底数）有两个零点，则实数。的取值范围是（）

x

-oo,e2l

A.-oo,e2+-B.+

ee

e2-i,+oo

C.e2--,+oo

ee

3.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）

24

A.-B.-C.2D.4

33

4.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],

若低于60分的人数是18人，则该班的学生人数是()

5.在钝角ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,4c,3为钝角，若acosA=》sinA,贝!)sinA+sinC的最大值

为()

l97

A.yj2,B.—C.1D・一

、88

6.若(1+依)(l+x)5的展开式中的系数之和为—10,则实数。的值为()

A.-3B.-2C.-1D.1

7.已知函数=若关于x的方程,f(x)-机+1=0恰好有3个不相等的实数根，则实数机的取值范

ex

围为()

A.(警,1)B.(0*)C.(l,j+l)D.(1,雪+D

8.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂2017年至2019年各产量的百分比堆积图(例如：2017年该工厂

口罩、抽纸、棉签产量分别占40%、27%、33%）,根据该图，以下结论一定正确的是（）

A.2019年该工厂的棉签产量最少

B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显

C.三年累计下来产量最多的是口罩

D.口罩的产量逐年增加

9.已知函数/（x）=m（x-1）-（x-2）/-'（e为自然对数底数），若关于x的不等式/（x）＞0有且只有一个正整数解,

则实数m的最大值为（）

10.已知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则||FAL|FB||的值等于（）

A.8A/2B.8C.4A/2D.4

11.如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为（）

216

A.B.—C.6D.与点。的位置有关

3

x+2y-5W0

2x+y-4<0

12.若实数x,y满足条件目标函数z=2x—y,则z的最大值为（）

x>0

A.C.2D.0

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知抛物线C:y=；d的焦点为口，其准线与坐标轴交于点E,过尸的直线/与抛物线C交于AB两点，若

3EF=EA+2EB>则直线/的斜率左=.

14.在三棱锥尸-A3c中，AB=5,BC=3,C4=4,三个侧面与底面所成的角均为60。，三棱锥的内切球的表面

积为.

1

15.已知函数y=/（x+l）-2为奇函数,g（x）=——-,且/（九）与g（x）图象的交点为（凡,%），（x2,y2）,...»

（%6，%），则石+4+…+X6+%+^■…+=•

16.在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,已知4-/=2），且sinAcosC=3cosAsinC,则

b=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知数列｛4｝,也｝满足q=34=1,%+1—24=22-%/谢—%=2+1—2+1.

⑴求数列｛4｝,也｝的通项公式；

（2）分别求数列｛an｝,｛2｝的前〃项和S,,Tn.

18.（12分）已知。，〃均为正数，且必=1.证明：

（1）yja+b2>^（-+1）;

（2）妇义+3»8.

ab

19.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，R4,平面ABCD,四边形4BCD为正方形，点方为线段PC上的点，

过A,Q,歹三点的平面与交于点E.将①AB=AP,②BE=PE,③依，ED中的两个补充到已知条件中，解答

下列问题：

（1）求平面皿石将四棱锥分成两部分的体积比;

（2）求直线PC与平面皿石所成角的正弦值.

20.(12分)已知函数/(X)=城+%2+依+b,曲线y=/(x)在点(。，/⑼)处的切线方程为4x—2y—3=0

(1)求。，8的值；

⑵证明:/(x)>lnx.

21.(12分)已知函数/(#=工2+&r-alnx,a&R

(1)若a=l,求/(%)的单调区间和极值；

⑵设g(x)=/(x)+(a+2)lnx—(a+2/2—2)x,且g(x)有两个极值点看，占<%)，若621+^^，求

g(石)—g(%2)的最小值.

f°V2

X—2H------1

2

22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为:(，为参数)，以坐标原点。为极点，“轴

1枝,

y=1------1

[-2

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕2一4夕cos6=3.

(1)求直线I的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线/与圆C交于A,3两点,点尸(2,1),求两卜陷|的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据题意可知最后计算的结果为a,Z?的最大公约数.

【详解】

输入的%b分别为176,320,根据流程图可知最后计算的结果为a,6的最大公约数，按流程图计算

320-176=144,176-144=32,144-32=112,112-32=80,80-32=48,48-32=16,32-16=16176和320的最大公约

数为16,

故选:A.

【点睛】

本题考查的是利用更相减损术求两个数的最大公约数，难度较易.

2、B

【解析】

求出导函数/'(x),确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围.

【详解】

=当xe(O,e)时，/'(%)>0,/(幻单调递增，当xe(e,+s)时，/(x)单调

X

递减，...在(0,+s)上/Xx)只有一个极大值也是最大值y(e)=^+e2—。，显然xf0时，f3f%一”时,

f(x)f-oo,

1,1

因此要使函数有两个零点，则/'(e)=—+e2—。>0,.•.a<e2+-.

ee

故选:B.

【点睛】

本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围.

3、B

【解析】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积.

【详解】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示:

112,4

则该四棱锥的体积为V=jSmABCD-PA=-x2xl=-.

故选:B.

【点睛】

本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题.

4、D

【解析】

频数

根据频率分布直方图中频率=小矩形的高x组距计算成绩低于60分的频率，再根据样本容量=磔求出班级人数.

频率

【详解】

根据频率分布直方图，得：低于60分的频率是（0.005+0.010）x20=0.30,

1Q

.•.样本容量（即该班的学生人数）是两=60（人）.

故选：D.

【点睛】

频数

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=目的应用问题,属于基础题

样本谷量

5^B

【解析】

TT713几

首先由正弦定理将边化角可得cosA=sin5,即可得到A=3—-,再求出Be,最后根据

2-2，T

sinA+sinC=sinfj+sin求出sinA+sinC的最大值;

2

【详解】

解：因为acosA=bsinA,

所以sinAcosA=sinBsinA

因为sinAwO

所以cosA=sin5

B>-

2

:.A=B--

2

7171

0<A<—0<B-—<—

222

71„

—<B<71即］工<5<〃

22

不一(n

0<Y0<<—

2

/.sinA+sinC=sinB--+sin

I2

=-cosB-cos2B

——2cos?B—cos5+1

；9

=-2^cosB++-

8

9

.…」的。］时(sinA+sinC)

4I2J\/max8

故选：B

【点睛】

本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.

6、B

【解析】

由(1+0X)(1+X)5=(1+X)5+0X(1+%)5,进而分别求出展开式中X2的系数及展开式中X3的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数。的值.

【详解】

由(1+ax)(l+x)5=(1+x)5+ax(i+x)5,

则展开式中%2的系数为。展开式中的系数为2

砥+aC；=10+5，VC；+«C5=10+10a,

二者的系数之和为(10+5。)+(10a+10)=15。+20=—10,得。=—2.

故选:B.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

7、D

【解析】

讨论x>0,x=0,x<0三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.

【详解】

当％>0时，/(x)=g，故厂(x)=［冷，函数在上单调递增，在+sj上单调递减，且fJ2e

~2e

当尤=0时，/(0)=0;

当x<0时，/(%)=咛，/'(x)=一次菽<°，函数单调递减；

如图所示画出函数图像，则0<m—=等，故加e(l,容+1).

故选：D.

【点睛】

本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.

8、C

【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的

正误.综合可得出结论.

【详解】

由于该工厂2017年至2019年的产量未知，所以，从2017年至2019年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法

比较，故A、B、D选项错误；

由堆积图可知，从2017年至2019年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最

多的是口罩，C选项正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.

9、A

【解析】

若不等式八］)>0有且只有一个正整数解，则y=%(x-1)的图象在丁=8(龙)图象的上方只有一个正整数值，利用导

数求出g(x)的最小值，分别画出y=g(尤)与y=m(x-1)的图象，结合图象可得.

【详解】

解：/(x)=m(x-1)-(x-2)ex-e>0,

:.m(x-1)>(%-2)ex+e,

设》=g(%)=(%-2)e"+e,

rx

••g(x)=(x-l)ef

当尤>1时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，

当尤<1时，g'(x)<0,函数g(x)单调递减，

.­.g(x)>g(l)=O(

当Xf+co时，/(九)f+oo,当尤一>-co,/(无)-e,

函数y=〃z(x-i)恒过点(LO),

分别画出丁=且(%)与丁=加(％-1)的图象，如图所示，

若不等式/(x)>0有且只有一个正整数解，则y=机(X-1)的图象在y=g(x)图象的上方只有一个正整数值,

/.m(3-1)<(3-2)e3+e且根(2—1)>(2-2)ex+e,即<g(3)=e3+e,且冽〉e

故实数，”的最大值为

2

故选：A

【点睛】

本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学

运算能力.

10、C

【解析】

将直线方程y=x-1代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出忻同|的值.

【详解】

y2=4x

F(1,0),故直线AB的方程为y=x-1,联立方程组，可得X2-6X+1=0,

设A(xi,yi),B(X2,y2),由根与系数的关系可知XI+X2=6,xixi=l.

由抛物线的定义可知：|FA|=xi+l,|FB|=X2+L

||FA卜|FB||=|XI-X2|=J(Xi+7)2—4X]%=V36-4=4后.

故选C.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

11、B

【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.

【详解】

如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，

正方体的体积为8,四棱锥的底面是边长为2的正方形，

顶点。在平面AD2A上，高为2,

1Q

所以四棱锥的体积为；x4x2=；,

33

所以该几何体的体积为8--=—.

33

故选:B.

【点睛】

本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.

12、C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.

【详解】

x+2y-5<0

2x+y-4<Q

若实数x,y满足条件目标函数z=2x—y

x>0

【点睛】

求线性目标函数Z=ax+by(ab+0)的最值：

当6>0时，直线过可行域且在V轴上截距最大时，z值最大，在V轴截距最小时，z值最小；

当6<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、士立

4

【解析】

求出抛物线焦点坐标，由3E7=EA+2EB，结合向量的坐标运算得5=-2%,直线/方程为y=Ax+l,代入抛物

线方程后应用韦达定理得5+，//9从而可求得乙，/，得斜率左.

【详解】

由3或=£4+2班得E4=2B尸，即5=-

x2-4y

联立〈­得了2_4丘—4=0二4+/=4左,1/覆=一4

y=KX+1

x=2^2\x=-2A/2x+xJ7

解得A心或A「，，左=为旦=±注.

xB=-V2xB=>/244

Ji

故答案为：

4

【点睛】

本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示.直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是

解决直线与抛物线相交问题的常用方法.

4不

14、一

3

【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱

锥的体积的三倍即可解决.

【详解】

设顶点在底面上的射影为“，H是三角形A5c的内心，内切圆半径r=1.三个侧面与底面所

成的角均为60。，APAB,PBC,PAC的高PD=PE=PF=2,PH=6,设内

切球的半径为R,(1(3+4+5)X2+1X3X4)XJR=3X|X|X3X4X73=6A/3

:.R力,内切球表面积S=4»R?=生.

33

47r

故答案为：.

3

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.

15、18

【解析】

由题意得函数f(X)与g(x)的图像都关于点(1,2)对称，结合函数的对称性进行求解即可.

【详解】

2x—11

函数y=/(x+l)—2为奇函数，二函数y=/(x)关于点(1,2)对称，g(x)=--=2+—…函数y=g(x)

关于点(1,2)对称，所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称，/(%)与g(x)图像的交点为(看,%),

H

(x2,y2),...»(尤6，16)，两两关于点(1，2)对称，xx+x2-i—+/+%+、2—+为=3x2+3x4=18.

故答案为：18

【点睛】

本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档

题.

16、4

【解析】

■:sinAcosC=3cosAsinC

Z72_i_A2_2序42_2

根据正弦定理与余弦定理可得：ax幺二—r—=一—xc,即2c2=2储

2ab2bc

Va2-c2=2b

，b~=4b

"刈

•*./?=4

故答案为4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

n1n1w2a”2R

17、(1)a=2n+-+-；b=T------(2)S=2,!+1-2+—+-n；T=2n+1-2-------n

n"22n22"4444

【解析】

(1)4+1+么+i=2(«„+2)，％+4=4,可得｛%+〃｝为公比为2的等比数列，。“+1-2+1=—2+1可得｛an-bn｝

为公差为1的等差数列，再算出｛%+2｝,｛q-〃｝的通项公式，解方程组即可；

(2)利用分组求和法解决.

【详解】

(1)依题意有［%+%=2(4+2)

an+l-bll+l=an-bn+l

又见+4=4；a「bi=2.

可得数列｛%+bn｝为公比为2的等比数列，｛q-〃｝为公差为1的等差数列，

n+l

"〃+d=(q+伪)X2"TJan+bn=2

an-bn=｛ai-^1)+(«-1)&一切=〃+1

1勿I

故数列｛%｝，也｝的通项公式分别为4=20+5+5；&„=2n----.

⑵s=2(J2")+愉+1)+屋2“+-2+/+口，

“1-24244

T=2(1-2:)9+1)J2向2/3.

n1-24244

【点睛】

本题考查利用递推公式求数列的通项公式以及分组求和法求数列的前〃项和，考查学生的计算能力，是一道中档

题.

18、(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)由储进行变换，得到2(6+/)N［-卜工］,两边开方并化简，证得不等式成立.

aJ

(2)将把匚、^化为(〃+/)+2(/+/)+

(a+A),然后利用基本不等式，证得不等式成立.

【详解】

(1)a2+b2>2ab，两边力口上/+〃得+,即2(4+〃)［：+',当且仅当

。=/,=1时取等号，

(2)

2+3'+竺+'必+2+心4+24@)+(、3=(/+⑹+

abaaabbbabababy/

2^a2+Z?2)+(a+Z?)>2\la3b3+4ab+2-Jab=8.

当且仅当a=Z?=l时取等号.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式证明不等式成立，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

19、(1)-；(2)逅.

33

【解析】

若补充②③根据已知可得ADL平面ABP，从而有ADLBP,结合PBLED，可得

BP上平面ADFE,故有PBLAE,而BE=PE,得到AB=AP,②③成立与①②相同，

①③成立，可得BE=PE,所以任意补充两个条件，结果都一样，以①②作为条件分析；

(1)设AP=A3=1,可得AE,进而求出梯形AEED的面积，可求出/.A»FE，％.ABS，即可求出结论；

(2)AB=AD=AP=1,以A为坐标原点，建立空间坐标系，求出3,C,P坐标，由(1)得为平面ADE尸的

法向量，根据空间向量的线面角公式即可求解.

【详解】

第一种情况：若将①AB=AP,②5E=PE作为已知条件，解答如下：

(1)设平面ADEE为平面

,/BC//AD,二BC//平面«,而平面a平面PBC=EF,

/.EF//BC,又E为P5中点.

设AP=AB=1,则所=』BC=L.

22

在三角形？A3中，PB=j2,AE=—=—,

22

由AD，Z4,AZ)，AB知AD平面R43,

：.AD±AE,EF±AE,

二梯形AEED的面积

11

AD+EF-i+2330,

SAEFD---------xAE=----x-——=----

2228

AB=AP,BE=PE,PB_LAE,AD_LPB,

AD4£=4..尸6,平面4£包),

、,1372721_111_1

V^pApm~~-X----X---——,VpARCD——xlxl——,

P-AEED382833

_J__1

VEF-ABCD=3—W=五，

1

8-3

---/F—ABC£>

故AEFD55-

^P-AEFD

-ABCD1

24

(2)如图，分别以AB,AD,AP所在直线为苍轴建立空间直角坐标系,

^AB=AD=AP=1,贝!JC(1,1,O),P(O,O,1),8(1,0,0)

PB=(1,0,-1),PC=(1,1,-1),

由(1)得P3为平面ADEE的一个法向量,

PCPB2_V6

因为cos〈PC,PB〉=

|PC||PB「&•百一3

所以直线PC与平面ADEE所成角的正弦值为逅.

3

第二种情况：若将①AB=AP,③？BLED作为已知条件，

则由AD,ARAD,AB知平面ABP,AD±PB,

又PBLFD，所以平面ADEE,PB±AE,

又A3=AP,故E为PS中点，即BE=PE,解答如上不变.

第三种情况：若将②=③？6,ED作为已知条件，

由尸5，田及第二种情况知PBLAE，又BE=PE,

易知AB=AP,解答仍如上不变.

【点睛】

本题考查空间点、线、面位置关系，以及体积、直线与平面所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.

3

20->(1)a=l,b=—；(2)见解析

2

【解析】

分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于。力的等量关系式，从而求得结

果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用

中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.

r(o)=i+«

详解：(1)解：/'(x)=(x+l)e、+2x+a,由题意有|.3，解得〃=1/=-

f^)=b=--2

3

(2)证明：(方法一)由(1)知，/(x)=xex+X1+x--.^h^x)-:M+%2+x-lnx

3

则只需证明,(力＞5

xx

“(%)=(x+l)e+2x+l--=(x+1)/+2--,设g(x)=e+2__1

X

则7(x)=/+二＞0,g(x)在(0,y)上单调递增

X

gf4+2—4＜0,..逮]]="+2—3〉0

且当尤e(O,九o)时，g(x)<0,当xe(%,+oo)时,g(尤)>0

,当xe(0，M)时,//(x)<0,%单调递减

当xe(而,+℃)时,人(%)单调递增

；・"("min='(%)=/*+需+/-1慢，由靖。+2-；=0,得/。=J-2,

X。“0

(1)

=%0---------2+XQ+XQ—IILVQ—XQ—XQ+1—IILXQ,

lxo)

设0(x)=f—x+l—lnx,“(x)=2x—1」=(2x+l)(x1)

.•.当［时，“(x)<0,。(力在「单调递减，

2

：+ln3〉T，因此/z(x)>T

•■-M%)=o(xo)>。--+l-ln

3I

33

(方法二)先证当*0时，f(x)=xex+x2+x-->2x--,即证加工+炉_%20

设g(x)=xe*+x?—x,xNO贝！)g'(x)=(x+l)e*+2x—l,且g'(0)=0

g，(x)=(x+2)e£+2>0,.*(尤)在［0,+8)单调递增，g,(x)>g,(O)=O

.•.g'(x)在［0,+8)单调递增，则当xNO时，g(x)=^r+x2-x>g(O)=O

33

(也可直接分析xe'+j?+x—二22x-；；<=>xex+x2-x>0O靖+x—l20显然成立)

22

3

再证2x——>lux

2

Q1。11

设/z(x)二2%一5-lux,则/z'(x)=2——=———,令/z'(x)=O,得x=］

且当时，//(x)<0,人⑺单调递减;

当元4；,+00)时,

//(x)>0,入⑺单调递增.

33

/z(x)2x----Inx>h+ln2>0,gp2x——>lux

22

又/(x)=xex+x2+x——>2x——，/(x)>lux

22

点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关

切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性,

借助中间量来完成.

21、(1)/(%)增区间为减区间为1o,gj；极小值：+ln2,无极大值；(2)|-21n3

【解析】

(1)求出/(*)的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；

(2)由题意可得当+々=人一1,%工2=1，求出且(七)一且(士)的表达式，"(7)=—1+求出为

(力的最小值即可.

【详解】

⑴将a=l代入"％)中，得到J/(x)=d+x—Inx,求导，

得到,(X)=2X+］_1=2X2+X1=(X+1)(2X1),结合工〉。，

XXX

当7''(力>0得到：〃尤)增区间为&■,+",当/'(尤)<0,得〃尤)减区间为且外力在x=；时有极小值

=4,无极大值.

(2)将/(九)解析式代入，得g(x)=