2024年天津市重点中学数学九年级下学期4月模拟考试试题

2024年天津市重点中学数学九年级下学期4月模拟考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.下列命题是真命题的是（）

A.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等

B.平分弦的直径垂直于弦

C.在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等

D.三角形外心是三条角平分线的交点

2.一个不透明的口袋里装有除颜色都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计

其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，

不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有个（）

A.45B.48C.50D.55

3.如图，在R343C中，ZACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是（）

4.如图，以点。为位似中心，把ABC放大为原图形的2倍得到则下列说法错误的是（）

A.Z\ABC^Z\AB'C

B.CO:CA=1:2

C.A,O,A'三点在同一直线上

D.ACIIAC'

5.方程x（x-1）=0的根是（）

A.x=0B.x=lC.Xl=0,X2=lD.Xl=0,X2=-1

6.已知存0,下列计算正确的是（)

A.a2+a3=a5B.a2*a3=a6C.a3-ra2=aD.(a2)3=a5

7.已知锐角a,且sina=cos38。，贝!|a=()

A.38°B.62°C.52°D.72°

8.如图，将一边长45为4的矩形纸片折叠，使点。与点5重合，折痕为E尸，若EF=2下,则矩形的面积为（）

A.-----W----------.D

G

A.32B.28C.30D.36

9.在△A5C中，ZC=90°,ZB=30°，贝！IcosA的值是()

1B不1

AC.-D.1

224

3—m

10.在平面直角坐标系中，反比例函数y=——的图象经过第一、三象限，则加的取值范围是（）

x

A.m>3B.m<3C.m>-3D.m<—3

11.已知X=-1是关于X的方程2ax?+x—a2=0的一个根，则a的值是（）

A.1B.-1C.0D.无法确定

12.下列各点在反比例函数y=-§图象上的是（）

X

6

A.（3,2）B.（2,3）C.(-3,-2)D.(--,2)

二、填空题（每题4分，共24分）

13.为了对1000件某品牌衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，在相同条件下，经过大量的重复抽检，发现一件合格

衬衣的频率稳定在常数0.98附近，由此可估计这1000件中不合格的衬衣约为件.

3

14.如图，在WAABC中，NC=90°,点。是边的中点，=2,tanNB=—，则sinNB4D的值为.

4

15.如图，AAOB中，ZAOB=9Q0,49=6,60=8,将AAO3绕顶点。逆时针旋转到的。四处，此时线段。片

与AB的交点。恰好为AB的中点，则A03耳的面积为.

16.计算：庖的结果为.

12

17.分式方程——=—的解是.

x-1x

18.如图，以等边△ABC的一边AB为直径的半圆。交AC于点D,交BC于点E,若AB=4,则阴影部分的面积是.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB=2,E为BC上一点，且BE=LZAED=90°,将AED绕点E顺时针旋转

得到八4'即'，A，E交AD于P,»E交CD于Q,连接PQ,当点Q与点C重合时，AED停止转动.

(1)求线段AD的长；

(2)当点P与点A不重合时，试判断PQ与AD的位置关系，并说明理由；

(3)求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长.

20.(8分)关于x的一元二次方程；-臭」用一有两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围.

(2)请选择一个k的负整数值，并求出方程的根.

21.（8分）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c的图象经过（1,0）,（0,3）两点.

（1）求b,c的值；

（2）写出当y>0时，x的取值范围.

22.（10分）小明和同学们在数学实践活动课中测量学校旗杆的高度.如图，已知他们小组站在教学楼的四楼，用测

角仪看旗杆顶部的仰角为35。，看旗杆底部的俯角是为65。，教学楼与旗杆的水平距离是5相，旗杆有多高（结果保留

整数）？（已知sin35°a0.57,cos35°«0.82,tan35°«0.70,sin65°«0.91,cos55°~0.42tan65°~2.14）

23.（10分）如图，在HAABC中，ZACB=90°，以斜边AB上的中线CD为直径作。，分别与AC、BC交于

点M、N.

（1）过点N作NELAB于点E,求证：NE是。的切线；

（2）连接血。，若MD=5,BE=4,求。石的长.

24.（10分）试证明：不论加为何值，关于x的方程"+2〃z+2,2一（4m-1户-7=0总为一元二次方程.

25.（12分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来:

2x>8

2x+1<3x一1

26.在学习概率的课堂上，老师提出的问题：只有一张电影票，小丽和小芳想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电

影，请你设计一个对小丽和小芳都公平的方案.甲同学的方案：将红桃2、3、4、5四张牌背面向上，小丽先抽一张，

小芳从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小丽看电影，否则小芳看电影.

（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；

（2）乙同学将甲同学的方案修改为只用2、3、5、7四张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？并说明理由.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【分析】根据圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，对照选项逐一分析即可.

【详解】解：A.在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，是真命题；

B.平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题；

C.在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，弦对着两个圆周角，故是假命题；

D.三角形外心是三条边垂直平分线的交点，故是假命题；

故选：A.

本题考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，三角形外心的定义，掌握圆的性质和相关定理内容是解题的关键.

2、A

【分析】小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9,由

此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数.

【详解】•••小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，

白球与红球的数量之比为1：9,

•.•白球有5个，

红球有9x5=45（个），

故选A.

3、D

【分析】根据三角函数的定义求解.

【详解】解：,在R3ABC中，ZACB=90°,BC=1,AB=1.

AC=AB2-BC-=A/22-I2=V3，

BC_1tanA=变一=正,BCACnz

sinAcosBtanB=-----=73.

AB-2AC63~AB2BC

故选：D.

本题考查了解直角三角形，解答此题关键是正确理解和运用锐角三角函数的定义.

4、B

【分析】直接利用位似图形的性质进而得出答案.

【详解】•••以点O为位似中心，把AABC放大为原图形的2倍得到AABC,

.,.△ABC^AA,B,C,,A,O,A，三点在同一直线上，AC〃AO,

无法得到CO：CAf=l：2,

故选：B.

此题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键.

5、C

【分析】由题意推出x=0,或(x-1)=0,解方程即可求出x的值.

【详解】解：(x-1)=0,

・・X1=O,X2=1,

故选c.

此题考查的是一元二次方程的解法，掌握用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键.

6、C

【分析】结合选项分别进行同底数幕的乘法、同底数暴的除法、塞的乘方的运算，选出正确答案.

【详解】A、a?和a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；

B、aW=a5,原式计算错误，故本选项错误；

C、a3-i-a2=a,计算正确，故本选项正确；

D、(a2)3=a6,原式计算错误，故本选项错误.

故选：C.

本题考查了同底数塞的乘法、同底数塞的除法、募的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键.

7、C

【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值求解即可.

【详解】sina=cos38°,

.,.a=90°-38o=52°.

故选C.

本题考查了锐角三角函数的性质，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值.

8、A

【分析】连接30交E尸于0,由折叠的性质可推出3。，万尸，B0=D0,然后证明△EDOgAFBO,得至I]OE=OF,

设BC=x,利用勾股定理求BO,再根据△50尸列出比例式求出工，即可求矩形面积.

【详解】解：连接3。交EF于0,如图所示：

•••折叠纸片使点。与点5重合，折痕为EF,

：.BD±EF,BO=DO,

•••四边形A5CZ)是矩形，

；.AD〃BC

/.ZEDO=ZFBO

在和△FBO中，

；NEDO=NFBO,DO=BO,ZEOD=ZFOB=90°

.,.△EDO^AFBO(ASA)

:.0E=0F=；EF=亚，

•.•四边形ABCD是矩形，

：.AB=CD=4,NBCD=90°,

设BC=x,

BD=VBC2+CD2=G+42，

.Rn&+4Z

2

VZBOF=ZC=90°,NCBD=N0BF,

:.ABOFsABCD,

•OBOF

"BC-CD

x

解得：x=8,

：.BC=8,

**•S矩形ABCD=A_B・8C=4X8=32,

故选：A.

本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

9、A

【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案.

【详解】解：•.,△A5c中，ZC=90°,ZB=30°,

/.ZA=90°-30°=60°.

cosA=cos60°=—.

2

故选：A.

本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.

10、B

【分析】根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

3—Tn

【详解】反比例函数y=——的图象经过第一、三象限

x

•*-3-m>0

:.m<3

故选B.

本题考查了反比例函数的性质：当左>0时，图象分别分布在第一、三象限；当k<0时，图象分别分布在第二、四象

限.

11、A

【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=-l代入2ax2+x—a2=0得到关于a的方程，然后解此方程即可.

【详解】解：・.”-1是关于x的方程2ax2+x-a2=0的一个根，

/.2a-l-a2=0

l-2a+a2=0,

；・ai=a2=l,

，a的值为1

故选：A

本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型

12、D

【分析】将各选项点的横坐标代入，求出函数值，判断是否等于纵坐标即可.

【详解】解：A.将x=3代入y=-中，解得y=-2,故(3,2)不在反比例函数y=-图象上，故A不符合题意；

XX

B.将x=2代入y=--中，解得y=-3,故(2,3)不在反比例函数y=--图象上，故B不符合题意；

XX

C.将x=-3代入y=-£中，解得y=2,故(-3,-2)不在反比例函数y=--图象上，故C不符合题意；

XX

D.将x=-9代入y=-9中，解得y=2,故(-9,2)在反比例函数y=-9图象上，故D符合题意；

2x2x

故选：D.

此题考查的是判断一个点是否在反比例函数图象上，解决此题的关键是将点的横坐标代入，求出函数值，判断是否等

于纵坐标即可.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、1

【分析】用总件数乘以不合格衬衣的频率即可得出答案.

【详解】这1000件中不合格的衬衣约为：1000x(1—0.98)=20(件)；

故答案为：L

本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越

小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.

14、巫

65

【分析】作高线DE,利用勾股定理求出AD,AB的值，然后证明AACB,求DE的长，再利用三角函数

定义求解即可.

【详解】过点D作。至于E

H

•点。是6C边的中点，CD=2

：.BD=DC=2,BC=4

Ar3

在RtACB中，由tan3==—

CB4

•-C一3

''~~4

，AC=3

由勾股定理得

AD=YIAC2+CD1=V32+22=V13

AB=VAC2+BC2=A/32+42=5

•:DE±AB

：.ZC=ZDEB=90°

,/ZB=ZB

AADEBs^ACB

DEDB

ACAB

DE2

35

:.DE=-

5

6

.DEJ6而

sinZ/RBA4DN==—=

AD岳65

故答案为：Ml.

65

本题考查了三角函数的问题，掌握勾股定理和锐角三角函数的定义是解题的关键.

“96

15-.—

5

【分析】4151与04相交于点E,作于点如图，利用勾股定理得到45=1,再根据直角三角形斜边上的

中线性质得则N1=NA,接着根据旋转的性质得N3=N2,AiBt=AB=l,。5尸08=8,04=04=2,易得

2424

N2+Nl=90°,所以NOE5i=90°,于是可利用面积法计算出0E=万，再由四边形在5出为矩形得到5由=0岳=不，

根据三角形的面积公式即可得出结论.

【详解】451与。4相交于点E,作于点〃，如图，

VZAOB=90°,A0=2,BO=S,

2

•-AB=_|_g=1.

•.•O为A5的中点，

：.OD=AD=DB,

：.Z1=ZA.

•.,△408绕顶点。逆时针旋转得到△AiOBi,

N3=N2,AiBi=AB=l,OBi-OB-8,OAi-OA=2.

VZ3+ZA=90°,

/.Z2+Zl=90°,

：.ZOEBx=90°.

V-OE'AiBx=-OBi*OAi,

22

VZBiEO^ZEOB=ZOHBi^90°,

四边形OEBiH为矩形，

24

：.BiH=OE=—,

5

1|2496

AOBB,的面积=—=—x8x——=——

2255

96

故答案为：y

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了全等三角形的判定与性质和矩形的判定与性质.

16、273

【分析】根据二次根式的乘法法则得出.

【详解】J|xV24=；x24=g=26.

故答案为：2石.

本题主要考查了二次根式的乘法运算.二次根式的乘法法则：♦加=阪.

17、x=2

【分析】等式两边同时乘以尤（尤-1）,再移项即可求解.

12

【详解】—=-

%-1x

等式两边同时乘以龙（工—1）得：x=2x-2

移项得：x=2,

经检验，x=2是方程的解.

故答案为：x=2.

本题考查了解分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键.

18、百

【分析】作辅助线证明aAOD义ZXDOE义aEOB之aCDE,且都为等边三角形,利用等边三角形面积公式S=昱婚即可

4

解题.

【详解】解：连接DEQDQE,

在圆中,OA=OD=OE=OB,

•.•△ABC是等边三角形，

/.ZA=60°,

...△AODg/kDOEg/kEOBg/iCDE,且都为等边三角形，

；AB=4,即0A=0D=0E=0B=2,

易证阴影部分面积=SMDE=-X2XV3=V3.

2

本题考查了圆的性质，等边三角形的判定和面积公式，属于简单题，作辅助线证明等边三角形是解题关键.

三、解答题（共78分）

19、(1)5；(2)PQ//AD',理由见解析；(3)6

2

【分析】(1)求出AE=J^,证明△ABEs/\DEA,由22=空可求出AD的长；

,AEBE

(2)过点E作EF_LAD于点F,证明△PEFs/\QEC,再证△EPQS^A，E。，可得出NEPQ=NEA，D)则结论得

证；

(3)由(2)知PQ〃A'D',取A，D，的中点N,可得出NPEM为定值，则点M的运动路径为线段，即从AD的

中点到DE的中点，由中位线定理可得出答案.

【详解】解：(1)：AB=2,BE=LNB=90°,

AE=JAB。+BE?=V22+12=75，

VZAED=90°,

，NEAD+NADE=90°,

,矩形ABCD中，NABC=NBAD=90°,

.,.ZBAE+ZEAD=90°,

/.ZBAE=ZADE,

/.△ABE^ADEA,

.AD_AE

"AE-BE*

.ADy/5

,,丁丁‘

/.AD=5；

(2)PQ〃A'D',理由如下：

,:AD=5,AE=6，ZAED=90°

DE=VDA2-AE2=小?一西辛=2非,

VAD=BC=5,

.\EC=BC-BE=5-1=4,

过点E作EFLAD于点F,

A'

则NFEC=90°,

,.,ZA'ED'=ZAED=90°,

，NPEF=NCEQ,

,.,ZC=ZPFE=90°,

.".△PEF^AQEC,

.EP_EF_2_1

*'EQ-EC-4-2)

..EA_EA_s/5_1

,ED~ED~2石-2

.EPEX

'•豆一击

...PQ〃A'D'；

(3)连接EM,作MN_LAE于N,

由(2)知PQ〃A'D',

,\ZEPQ=ZA,=NEAP,

又•••△PEQ为直角三角形，M为PQ中点,

；.PM=ME,

.\ZEPQ=ZPEM,

；NEPF=NEAP+NAEA',NNEM=NPEM+NAEA'

.\ZEPF=ZNEM,

又；NPFE=NENM-90°,

/.△PEF^AEMN,

NMEMPQ浒占行

----=——=为定值,

EFPE2PE

又；EF=AB=2,

AMN为定值，即M的轨迹为平行于AE的线段,

,/M初始位置为AD中点，停止位置为DE中点,

AM的轨迹为4ADE的中位线，

2

本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题的关键.

9

20、(1)k>---

4

⑵寸*，—/

122

【详解】解：（1）方程有两个不相等的实数根，•••(—3)2—4(-左)>1.

9

即4%>—9,解得，k>--.

4

（2）若k是负整数，k只能为一1或一2.

如果k=-l,原方程为X2-3X+1=O.

解得，%=若且，％=之泸・

（如果k=-2,原方程为尤2一3%+2=0，解得，占=1，々=2.）

21、（1）b=-2,c=3；（2）当y>0时，-3<x<l.

【分析】（1）由题意求得b、c的值；

（2）当y>0时，即图象在第一、二象限的部分，再求出抛物线和x轴的两个交点坐标，即得x的取值范围;

【详解】（D根据题意，将（1,0）、（0,3）代入，得：

一1+/7+。=0

c=3,

b=-2

解得：<

c=3；

(2)由(1)知抛物线的解析式为y=—f—2x+3,

当y=0时，一%2一2%+3=0,

解得：x=-3或x=l,

则抛物线与X轴的交点为(—3,0),(1,0卜

.•.当y>0时，-3VxVL

考查待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，数形结合是解题的关键.

22、旗杆的高约是14根.

【分析】过点B作于点C,由题意知，BC=5,ZABC=35°,NCBD=65。,根据锐角三角函数即可分别

求出AC和CD,从而求出结论.

【详解】解：过点B作于点C,由题意知，BC=5,ZABC=35°,ZCBD=65°

CD

tan65°=

BC

/.CD=5xtan65°=10.7m,

AC

tan35°=He

/.AC=5xtan35°=3.5m,

:.AD=10.7+3.5=14.2«14m,

答：旗杆的高约是14m.

此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

9

23、(1)见解析；(2)—

4

【分析】(1)连接QV,ND,可知NCND=90。，再证NOND=NBDN,即可证ONLNE,最后根据切线的定义求

得答案；

【详解】解：如图

连接QV,ND,

在AABC中，CD为斜边中线，

:.CD=AD=BD,

*/CD是->0的直径.

；.NCND=90。,

：.DNYBC,

•.•等腰ACDB三线合一，

：.Z.CDN=ABDN,

•.,在ACM)中，。为斜边CD的中点，

/.ON=OD=OC,

：.ZODN=ZOND,

：.Z.OND=ZBDN,

■:NELAB,

1/NED=90。,

ZEND+ZEDN^90°,

：.NOND+/END=90°,

：.ON工NE,

；ON是)0的半径，

:・NE是。的切线.

(2)连接ND,则四边形MDNC为矩形,

MD=NC=5,BN=5

:.NE=3

Z3=ZBDN,ZB=ZB

NNEBADA®,

BNBE

"BD~BN

9

/.DE=BD-DE=-

4

本题考查的是圆的切线的判定，垂径定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和勾股定理，是一道综合性较强的习题，

能够充分调动所学知识多次利用勾股定理求解是解题的关键.

24、证明见解析.

【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得