2024年新高考数学一轮复习-等式与不等式的性质

专题03等式与不等式的性质

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.

2.理解不等式的概念.

3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

【考点预测】

1.两个实数比较大小的方法

3-6>00处6,

(1)作差法<a—b=ga=b,

a一伙0<=>羽6.

Ca

->1(a£R,6>0)=处6(a£R,力0),

(2)作商法<"|=1=己三8(a,8W0)，

a

-<1(a£R,6>0)Q笆6(a£R,母0).

2.不等式的性质

(1)对称性：a>gb<a・,

(2)传递性：a>b9b>c=>a>c；

(3)同向可加性：a>b^>a+c>_b~\-c；a>b,c>d=^a+c>_b~\-d\

(4)可乘性：a>b,a>b,c<0=>ac<bc；a>b>0,c>d>6nac>bd：

(5)可乘方性：a>8>0na">6"(〃£N,〃21)；

(6)可开方性：a>刀22).

【常用结论】

L证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.

2.有关分式的性质

⑴若a〉6〉0,小〉0,财^空N3匕卫(b-ni>0).

aa~\~maa—m

(2)若a6〉0,且a>仪*-〈7.

ab

【方法技巧】

1.作差法一般步骤：

⑴作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积

式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

2.作商法一般步骤：

(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.

3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.

4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.

5.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：

一是必须严格运用不等式的性质；

二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与己知范

围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

二、【题型归类】

【题型一】比较两个数(式)的大小

,22

【典例1］若a<0,b<0,则与g=a+b的大小关系为()

ab

A.p^qB.pWqC.p>qD.4

,22

【解析】p—q=—+*—@一b

ab

=3+—

ab\ab)

廿一Mb—ab—mb+a

abab'

因为水0,仅0,所以a+伙0,ab>0.

若a=b,贝U夕一°=0,故夕=q；

若a#b,则0一0<0,故/Xq

综上，pWq.

故选B.

3c

【典例2］已知&b,ce(0,3),且才=5，,C=3,下列不等式正确的是()

A.a>b>cB.c>a>b

C.c>t)>aD.a>c>b

【解析】a'=5",即山=等，

ao

公4〃，即*=乎，

c=30，即-=与，

c3

设=3,

X

则f(a)=f(5),F(8)=f(4),f(c)=f⑶,

,/、1—In-、

f(x)=----2---(x>0),

x

1nv

当x>e时，f'(x)<0,f(x)=——单调递减，

X

当0<x<e时，

1nv

f'(x)>0,F(x)=--单调递增，

x

因为a,b,ce(0,3),f(a)=f(5),

A6)=f(4),Ac)=A3),

所以a,b,ce(0,e),因为f(5)〈f(4)<f(3),

所以f(a)<f(b)<F(c),a<ZKc.

故选C.

e2021i-I1e2022iI-1

【典例3】已知43」,N=2023,,,则必”的大小关系为

e+1e+1

2021I12022Ii

P-4-1e+1

[解析】方法一M-N=,

e2O22十1e2023+।1i

021+]J023+]_J022+]2

e2022+Ile2023十I1

2021I20232022

e+e—2oe

e,>2022+Ile2023+I1

e2021e—12

2022I-<-2023।>0.

e+le十1

:・M>N.

ex+l

方法二令f{x}=.v-M,

e+11

■"e'+'+l+l—~1--

eele

=

显然f(x)是R上的减函数，

:"(2021)"(2022),即粉及

【题型二】不等式的性质

【典例1］若a>6>0,c<d〈Q,则一定有()

abab

5B•不力

abab

D•尸

C

11又a>6>。，故由不等式性质，得一%-1>。，所呜<4故选D.

【解析】由c<d<0=>—^>——>0

【典例2】下列命题为真命题的是()

A.若心b,则acybc

B.若水仅0,贝lj

...iab

C.若c>a>b>0,则---<——7

c—ac-b

D.若a>6>c>0,则力

【解析】对于A选项，当c=0时，显然不成立，故A选项为假命题；

对于B选项，当a=—3,6=—2时，满足a〈伙0,但不满足一«6<次故B选项为假命题；

对于C选项，当c=3,a=2,6=1时，」一=白〉々；=，故C选项为假命题；

c~a3—2c~b2

1丁3yt十，、、…a乃+cab+c—ba+cac~bca—bea+c、工.工、,+人口=,,

对于D选项，由于a>b>c>0,所以7—工厂=---TZT-----=,71=//I>0,即7〉工工一，故D选项为真命题.故

bb-vcbb-\~cbb-\-cbb-\~cbb~\-c

选D.

【典例3]（多选）若1〈10,则下列不等式正确的是（）

ab

11,,.

A.-r-;<-7B.a\+Z?>0

a-rbab

1122

C.a—>/7—7D.Ina>lnb

ab

【解析】由一&0,可知b<a<0.

ab

A中，因为a+ZKO,ab〉0,所以一/〈0，〉〉0.故有；小士，即A正确；

a-rbaba-vbab

B中，因为伙水0,所以一力一-0.故一6>|a|,即|己|十伙0,故B错误；

C中，因为灰水0,又一则一一>一）>0,所以a-—>力一），故C正确；

ababab

D中，因为伙水0,根据y=V在（-8,0）上单调递减，可得—>0,而y=lnx在定义域（0,+8）上单调递

增，所以InZ72>ln/，故D错误.

故选AC.

【题型三】应用性质判断不等式是否成立

【典例1】已知於"0,给出下列四个不等式：

①）3〉心:②2a>2”T；（3>\Ja-~\[b；@aIjylab.

其中一定成立的不等式为（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

【解析】方法一由心母0可得才》况①成立；

由a>8〉0可得於方一1,而函数Hx）=2"在R上是增函数，

：.f（a）>f（b~l）9即2a>2"、②成立；

Va>b>0,:・/）季,

qa-小）2-（/一或）2

=2y[ab—2b=2y[b>0,

a-b>y[a-y[b,③成立；

若a=3,6=2,则/+戌=35,2才8=36,

a+/}<2ab,④不成立.

故选A.

方法二令a=3,6=2,

可以得到①a?〉氏②然>2~',/均成立，而④/+皮>2成6不成立，故选A.

【典例2】已知a,6为正数，aW6,〃为正整数，则a7+a6〃一a"】一6"的正负情况为()

A.恒为正

B.恒为负

C.与〃的奇偶性有关

D.与a,6的大小有关

【解析】ab-\-ati1—a1^'—1)+'=a^b~a)+Zf(a—6)

=—(a—Z?){a—6"),

因为(a—6)与(d—6)同号，所以百％+乃6—石+一斤十々0恒成立.故选B.

【典例3】如果0</<6〈分贝！J()

b+mbb-m

A.cos-;-<cos-<cos----

a-rmaa-m

bb-mb+m

B.cos-<cos---<cos-;-

aa-ma-rm

b—mbb+m

C.cos---<cos-<cos-:-

a-maa-rm

b+mb-mb

D.cos-:-<cos---<cos-

a+ma-ma

b~\~m.bab-\~amb-\~mbb—mbb-\~mbb—m

【解析】作商比较:>L所以1>同理，0V——<-<i,：A>

a+m*aab+bm4>尸，a—ma

>0.而p=cosx在（0,J）上单调递减，所以cos-^^<cos-<cos-一2（也可取特殊值判断）.故选A.

VzJa-vmaa-m

【题型四】求代数式的取值范围

【典例1】若—4<£<2,则住一£的取值范围是.

【解析】由IV。<3得由一4V£V2得一2V—£V4,所以£■一£的取值范围是卜*故填

JIJI

【典例2】若角a,£满足一万〈。〈£〈彳，则2。一£的取值范围是—

,_JIJIJIJIJIJIJIJI

【解析】一'7<a<0<-T，**.一~5-<a<—,一■—<j0<—,一■—<—<—,而a<8,：.—TI<a—

乙乙乙乙乙乙乙乙

3兀।3兀

£<0,：.2a—£=（。一£）+aRFT-故填।

~2

【典例3]已知a>",2a+6+c=。，崂勺取值范围是()

【解析】因为女>6>c,2a+6+c=0,

所以a>0,c<0,b=-2a~c,

因为a>b>c,

c

所以一2a—c〈a,即3a>—c,解得—>—3,

a

将6=—2a—c代入b>c中，得一2a—c>c,

即水一c,得±1,所以—3岑一L

三、【培优训练】

【训练一】已知实数2b,。满足6+c=6—4a+3才，c~b=4~4a+a,则ab,c的大小关系为（）

A.a〈bWcB.bWc<a

C.Z?<c<ZaD.b<a<c

【解析】丁c—5=4—44a+才=（之一2）220,:・c?b,

又■:6+c=6-4司+35，c—b=4—4：a+af

两式相减得26=2+2才，即6=1+才，

2

b-a=a—a=[^a—~^+1->0,

:.b>a,aVbWc.

【训练二】已知函数人才)=苏+"+。满足F(l)=0,且於力c,则e的取值范围是

a

【解析】因为/'(1)=0,所以a+Z?+c=0,

所以b——(a+c).又a>b>c,

所以於一(a+c)>c,且0>0,c<0,

山>与即

所以i>aaaa

(2c

—<-1,

ac

所以〈解得-2〈-5.

即2的取值范围为(一2,一上).

【训练三】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:

(1)男学生人数多于女学生人数；

(2)女学生人数多于教师人数；

(3)教师人数的两倍多于男学生人数.

①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为.

②该小组人数的最小值为.

x>y,

【解析】设男学生人数为x,女学生人数为八教师人数为由已知得且x,y,z均为正整数.

2z>x,

①当z=4时，8>x>y〉4,的最大值为7,y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.

x5

②x>y>z>2，当x=3时，条件不成立，当x=4时，条件不成立，当x=5时，5>y>z>~,此时z=3,y=4.

・••该小组人数的最小值为12.

【训练四】设心力1,c<0,给出下列三个结论：

®a<bc；③log.Q—c)〉loga(6—。).

其中所有正确结论的序号是()

A.①B.①②

C.②③D.①②③

【解析】①又。①正确；②由于己>6>1,可设_f(x)=a",g(x)=ZA当x=c

V0时，根据指数函数的性质，得才<",②正确；(3)Va>Z?>l,c<0,即a-c>b—c>\,loga(a—c)>loga(Z?

—c),又由对数函数的性质知logz/a—c)>loga(a—c),JIog6(a—c)>loga(6—c),③正确.故选D

【训练五】(多选)设a,6,c,，为实数，且a>6>0>c>d,则下列不等式正确的是()

A.c<.cdB.a-c<b—d

,cd

C.ac>bdD.----r>0

ab

【解析】对于A,(?—cd=c(c—d)〈O,所以A正确；

对于B,w—c一(6一中=%—6)—(c—中，无法判断与0的大小关系，所以B错误;

对于C,不妨设H=2,6=1,c=—\,d=-2,贝！Jac=Z?d,所以C错误；

ITcdbc-adac-ada(c—d')一广…一小,,_

对于D,——>——=--------->0,所以D正确.故选AD.

abababab

【训练六】若乃>6>0,c<d<0,\b\>\c\.

⑴求证:b+c>0.

/、i、一b-\~ca+d

(2)求证：c)2V〈b一6”

h―I—z-»o—|—/

(3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足2c所求式<77/4若能,

，\a~c)、1b—d)

请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.

【解析】⑴证明因为|引>|。|,且6>0,c<0,所以6>—c,所以6+c>0.

(2)证明因为。VdVO,所以一c>一40.

又a>b>0,所以由同向不等式的可加性可得a—c'b—AO,

所以(a—c)?>(b—d)2>0,

所以0V-42@.

(a—c)(b-dr)\

因为d>c,所以由同向不等式的可加性可得E+/>6+C,

所以a+d>b+c>0@.

=b+ca+d

①②相乘得二卜

(-a-----c1)V((b~.d2).

⑶因为a+d>6+c>0,077，

(5—c)kb-d)

b~\~cZ2+ca+db~\-ca~\-da~\-d

'(a—c)2<(b—d)2<(Z?—(7)»(3―c)(乃―c)(/?—6/)2，

所以三士呆，均为所求代数式・(只要写出一个即可)

kb—d)\a-c)

四、【强化测试】

【单选题】

1.若f(x)=3l—x+1,g(x)=2x?+x—1,则/1(x),g(x)的大小关系是()

A.f(x)=g(x)B.f(x)>g(x)

C./'(x)〈g(x)D.随x的值变化而变化

【解析】F（x）—g（x）=V—2x+2=（X—l）2+l>0nF（x）>g（x）.故选B.

2.若冰0,刀>0且〃+〃<0,则下列不等式中成立的是（）

A.-/7<欣77〈一〃7B.一/7〈冰一欣77

C.欣一力〈一力<刀D.欣一水刀〈一加

【解析】法一（取特殊值法）：令〃=—3,〃=2分别代入各选项检验即可.

法二：ZZ7+77<0=>ZZ7<-77=>72<—III,又由于欣0〈刀,故/<一刀<〃<一勿成立.

故选D.

3.已知&6为非零实数，且水）则下列不等式一定成立的是（）

A.a<Z?2B.aljyab

11ba

C."72<-r7D.-<T

ababab

bQ

【解析】若水伙0,则—>况故A错；若0〈水6,贝卜>7，故D错；若石伙0,即水0,6>0,

ab

则才6〉〃氏故B错；故C正确.故选C.

4.设为6£R,贝lj“於2且"1"是'匕+6>3且2力2”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解析】若a2且力1,则由不等式的同向可加性可得石+6>2+1=3,由不等式的同向同正

可乘性可得成>2X1=2.即%>2且b>r是（（a+b>3且ab>2"的充分条件；反之，若可

+6〉3且a力2"，则“a〉2且b>l"不一定成立，如a=6,Z?=1.所以“a〉2且力1”是“a

+6>3且必>2"的充分不必要条件.故选A.

5.已知下列四个条件：①6>0>a,②0〉a〉b,③a>0>6,④a>6>0,能推出又1成立的有（）

ab

A.1个B.2个

C.3个D.4个

【解析】由不等式的倒数性质易知条件①，②，④都能推出由a〉0>6得］>］，故能推出工

ababa

J成立的条件有3个.故选C.

6.下列命题中，正确的是（）

A.若a>6,c>d,则ac>bd

B.若ac>bc,则Ja>b

C.若工々<0,贝!］|己|+伙0

ab

D.若力b,c>d,贝（J.一c>〃一d

【解析】取a=2,b=l,c——\,d=—2,可知A错误；当c<0时，a»bc0a<b,所以B

错误；由海0,可知伙水0,所以一》—a>0,故㈤,—〈0,故C正确；取a

=c=2,b=d=\,可知D错误.故选C.

7.已知8£（0,1）,勿£（0,1）,记后N=ai+a2—1,则"与N的大小关系是（）

A.帐NB.M>N

C.M=ND.不确定

【解析】M-N—51a2—E+&—1）

=司1司2-a—&+1=（si-1）（色—1）

又功£（0,1）,及£（0,1）,

a\—1<0,功一1X0.

・•・（为一1）（&-1）>0,即V-A>0,:・M>N.

8.已知实数a,b,c满足6+c=6—4a+3才，c—6=4—4己+才，则a,b,c的大小关系为

（）

A.虱bWcB.b&c《a

C.欣c<aD.b<a<c

【解析】。-8=4-4石+才=（之一2）220,工

又6+c=6—4a+3-,c-b=4—4a+才，

两式相减得26=2+2/即b=l+a,

6一8=才+1一a=（乃一

a,:・£bWc.

故选A.

【多选题】

9.已知水伙a,且ac<0,那么下列不等式中，一定成立的是（）

A.ab>acB.c{b~a）>0

C.甘D.ac{a~（?）<0

【解析】由且ac<0知a>0且c<0,6的正负不确定,

由6>c且打>0知ba>ca,故A一定成立；

•・"一水0且c<0,：.c（b-a）>0,故B一定成立；

当6=0时，cl}=at）—0,故C不一定成立；

又a—c〉0且ac<0,c）<0,故D一定成立.

故选ABD.

10.有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a,b,c,d,e,f,已知a+6

-\-c=d+e+f,a-\-b+e>c+d+f,a+b+f<c+d+e,a+e<6.则下列判断正确的有（）

A.b>c>fB.b>e>f

C.c>e>fD.b>e>c

【解析】因为〃+6+a+6+e>c+d+£

所以e—c>c—e,所以e>c,

又因为a+6+c=d+e+£a+6+/Kc+d+e,

所以c-f>f—c,所以c>f,

所以e>c>£所以C错误；

又因为a+e<6,所以水6,e<b,

所以"e>c,b>e>f,6>c>f均成立.故选ABD.

11.若0<水1,b>c>l,则（）

C.D.log,水logbd

【解析】对于A,・,・2>1.V0<a<l,则9"〉(£|。=1,故正确.

c

对于B,若专~则方。一石方即石(c—6)>0,这与0<水1,6>。>1矛盾，故错误.

b~ab

对于C,*.*0<a<l,5―l<0.Vb>c>\,：./\〉甲\,故错误.

对于D,V0<a<l,b>c>l,logca<log/,5,故正确.故选AD.

12.下列命题为真命题的是()

A.若a>b>0,贝|acybc

B.若水仅0,则a2>aZ?>/?2

cc

C.若石>6>0且c<0,则F>苕

ab

D.若8>6且一>工则ab<0

ab

【解析】当。=0时，不等式不成立，・・・A中命题是假命题；/'=品ab,/'

[a<0[b<0

0ali>4,：.a>ab>/j,・・・B中命题是真命题；£>力00才>皮>000<二<!，

ab

cc1111b—

Vc<0,二・C中命题是真命题；T>。0—7->0,Va>b,Z?—a<0,ab<3/.

abababab

D中命题是真命题，故选BCD.

【填空题】

13.若为<&,b(bz,则国61+功坊与〃也+/61的大小关系是.

【解析】作差可得(a61+/庆)一(己也+&61)=(a-/)•(/?1—&),

因为劭<&,b\<t）2,

所以（@—&）（左一方）>0,

即囱及+/庆〉助治+&61.

答案：a、bi~\~改姓a、bA~&b\

14.若1<。<3,—4<£<2,则。一|£|的取值范围是.

【解析】因为一4〈£<2,所以0W|£|<4,所以一4<—|£|W0.所以一3<。一|£|<3.

答案：（-3,3）

15.设a>6,有下列不等式：©4>4；②《<1；③同>1引；@a\c\^b\c\,其中一定成立的

有.（填序号）

【解析】对于①，二>0,故①成立；

C

对于②，a〉0,次0时不成立；

对于③，取a=l,6=—2时不成立；

对于④，故④成立.

答案：①④

16.已知存在实数a满足a9>a>a6,则实数6的取值范围是.

【解析】因为aZ分a>ab,所以a#0,

当a〉0时，F>\>b,

”，

即“解得伙一1;

LZK1,

曲1,

当水0时，次1<6,即|无解.

[Z?>1

综上可得仅一1.

答案：（-8,—1）

【解答题】

17.已知a+6>0,试比较（+与与:+弓的大小.

baab

【解析】向-（%力=5型?

（11、a-\-ba-lj

=（ai）・--了尸"•

•・・乃+力0,g—6）22。，

a~\~ba~甘、

----------00.

a，-1—bc~~d

18.(1)若3后0,bd>。,求证：-——；

bd

(2)已矢口c>a>6>0,求证：~—~T.

c-ac-b

【证明】3•:bc2ad,表。•W2今

c,、a、a-\-b/+d

9

(2)：c>a>b>0f：.c-a>0,c-b>0.

Va>b>0f：.

c-ac-b

又・.,c>0,・•・a<b

ab

又c—a>0,c—Z?〉0,

c-b

19.已知一1<才一水4,2<x+j<3,求3x+2p的取值范围.

【解析】设3tx+2y=几（x—。〃（x+y），

即3x+2y=