2024年新高考数学一轮复习-函数及其表示（学生版）

专题06函数及其表示

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.

2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

3.了解简单的分段函数，并能简单应用.

【考点预测】

1.函数的概念

一般地，设46是非空的实数集,如果对于集合4中的任意一个数x,

概念按照某种确定的对应关系f,在集合6中都有唯二确定的数y和它对

应，那么就称人/一8为从集合/到集合8的一个函数

三对应关系y=f{x),A

要定义域工的取值范围

素值域与x对应的p的值的集合"(x)|x£2}

2.同一个函数

(1)前提条件：①定义域相同;②对应关系相同.

(2)结论：这两个函数为同一个函数.

3.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

4.分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这

种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的丑集.

【常用结论】

1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点.

2.注意以下几个特殊函数的定义域：

(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.

(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.

(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.

(4)若f(x)=f,则定义域为{x|xW0}.

(5)正切函数了=土211x的定义域为+万，Aez].

【方法技巧】

1.函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对

应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而6中有可能存在与/中元素不对应的元素.

2.构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同

3.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，

列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

4.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a"]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式aWg(x)W6

求出.

⑵若已知函数的定义域为[a,b\,则/■⑸的定义域为式x)在xd[a,6]上的值域.

5.函数解析式的求法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=6(x),可将尸(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替

代g(x),便得f(x)的表达式.

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.

(3)换元法：已知复合函数/<g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(4)方程思想：已知关于f(x)与/丹或f(—x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外

一个等式组成方程组，通过解方程组求出/1(x).

6.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析

式代入求解.

7.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，

但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.

二、【题型归类】

【题型一】判断两个函数是否相等

【典例1】已知函数/'(x)=|x—1],则下列函数中与f(x)相等的函数是()

A.g(x)一下可

111

B.g(x)=<入力

2,x=-1

[x—1,x>0,

C.g{x)=\

[1-x,xWO

D.g(x)=x—1

【典例2】下列各组函数中，是同一函数的是()

A.广(x)=yp,g(x)=yp

I119x20,

B・Ax)=丁，

C.F(x)=2，+32〃+1,g(x)=(2'S)2〃-i,刀RM

D.D(x)=y[x•yjx+1,g{x)=«x(、+l)

【典例3】(多选)下列各组函数是同一个函数的是()

A.f{x)=x—2x—l,g(s)=s?—2s—1

/-I

B.F(x)=x-1,g(x)=1

x+1

C[x,x20,

C.f{x)=y[x,g(x)=j

[-xfx<0

D.F(x)=yj~x,g(x)=x\[^x

【题型二】求具体函数定义域

【典例1】函数F(x)=川LII+,4—f的定义域为()

A.[~2,0)U(0,2]B.(-1,0)U(0,2]

C.[-2,2]D.(-1,2]

【典例2】函数y=lg(x2—4)+dx?+6x的定义域是()

A.(—8,—2)U[0,+°°)

B.(—8,—6]U(2,+°°)

C.(—8,-2]U[0,+8)

D.(一8,—6)U[2,+°0)

1

【典例3］函数f(x)卜ln(3x—1)的定义域为()

4、

1111-

-4----

C.夕D.22

_

【题型三】求抽象函数定义域

【典例1］若函数f(x)的定义域为［0,2］,则函数f(x—1)的定义域为.

【典例2】已知函数『5)的定义域为［—2,2］,则函数g(x)=『(2x)+MT=亍的定义域为

【典例3】已知函数/<2x—1)的定义域为［1,4］,求函数f⑵)的定义域为

【题型四】求函数的解析式

【典例1】若《»=士，则当xWO,且xWl时，f(x)等于()

1111

A.—B.-------C---------D-.一一1

xx-1-----*l-xx

【典例2】已知F(x)是二次函数且F(0)=2,f(^x+1)—=x—l,则F(x)

【典例3］定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)—f(—x)=lg(x+l),则Ax)=

【题型五】求常见函数的值域

【典例1】函数/=出Y—的3值域为

X.IL

【典例2】函数7=矛+升入-1的值域为

【典例3】求下列函数的值域：

1_X

(1)y=T+7;

⑵尸2x+\l—x；

⑶y=2x+yjl—x；

/、x~2x+5

⑷尸--------；

x~\

(5)若x,p满足3丁+2/=6筋求函数z=V+y2的值域;

(6)f(x)=|2x+l|一|l|.

【题型六】求分段函数的函数值

log3%x>0,

【典例1】已知/■(*)=且/1(0)=2,人-1)=3,则f(f(一3))等于()

a~\~b,xWO,

A.—2B.2C.3D.-3

’("3

“幻

【典例2】已知函数f(X)+1,X<3,则/'(2+log32)的值为

।cosnx,xW1

fM=m(4、

【典例3】已知(/(x-1)^1,x>1,则『l-l+r(—的值为()

11

A."B.——C.—1D.1

【题型七】分段函数与方程、不等式问题

口*,后0,1

【典例1】设函数/(x)=r1则使/(X)=5的X的集合为__________.

ulogzxl,x>0,乙

log；x,x>0,

【典例2】已知函数f(x)=|3若/"(a)>，，则实数a的取值范围是—

21尤W0,

［2x-\~a,x<.l,

【典例3］已知实数aWO,函数/U)=°若f(l—a)=f(l+a),则a的

［一x-2a,

值为.

三、【培优训练】

【训练一】(多选)若函数f(x)满足：对定义域内任意的荀，X2(Xl=X2),有/'(荀)+

f(xA2f［工产)，则称函数F(x)具有〃性质.则下列函数中具有〃性质的是()

A.f(x)=。

B.f{x}=lnx

C.f{x)=x(^r^O)

D.f{x)=tan

l\2x~\~a,—K^r<0,

【训练二】设f(x)是定义在R上的函数，且/U+2)=:f(x),f(x)=,“/

［be，0W1,

其中a,6为正实数，e为自然对数的底数，若f［|)=f则］的取值范围为

【训练三】已知函数f(x)满足对任意的xWR都有f(l+x)+f(l-x)=4成立，则4-1+

flog2(l—x),xWO,

【训练四】定义在R上的函数/<x)=则/(2015)的值为

[fz(^-1)~f(x-2),x>0,

【训练五】已知函数f(x)=log2X,g(x)=2x+a,若存在Xx,xfp2，使得f(xj=虱苞),

则a的取值范围是.

【训练六】高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号,

用其名字命名的“高斯函数”为：设xGR,用［切表示不超过x的最大整数，则尸［旧称为

高斯函数.例如：［—2.1］=-3,［3.1］=3,已知函数f(x)=W1,求函数尸"(x)］的值

域.

四、【强化测试】

【单选题】

2.已知函数f(x)=F，xW°'

则f(F(8))等于(

[1—log2X,£〉0,

A.-1B.--C.1D.2

3-设函数『百口=x,则/U)的表达式为()

.1+x1+x

)B.(xW—1)

X-l

1一万

c.1+^(xW—1)D.中（矛力―1）

4.函数/（x）=30g,（x—1）+1的定义域为（）

A.(-8,3]B.(1,+°°)

C.(1,3]D.[3,+°°)

5.下列函数中，定义域与值域相同的是（)

A.尸1B.y=lnx

1x+1

C./-3-1D.y~x~l

6.函数y=1+八一\/1—2太的值域为（）

(3)(3]

A.—8,B.—oo-

12j【2J

<3+,co\「3,\

C.0JD.[2‘十)

aXb,aX620,

7.定义3㊉6=<a,设函数f{x)=lnx㊉x,则/(2)+)

aXZKO,

A.41n2B.-41n2

C.2D.0

8.设Mx）,g（x）都是定义在实数集上的函数，定义函数（/1・Q（x）：Vx£R,(/,g)(x)

x,x>0,e,xWO,

F(g(x)).若f{x}=KO,g3=则（）

Inx,x>0,

A.(F•/(x)=F(=B.(/•g)(A)=f(x)

C.(g•力(x)=g(x)D.(g・g)(x)=g(x)

【多选题】

9.下列四组函数中，Hx）与g（x）是相等函数的是（)

A.f{x}=Ing{x)=21nx

B.f{x)=x,

g(x)=汩

C.f{x)=x,

D.f{x)=x,g(x)=logaa、(a>0且aWl)

V

10.函数（数=]+/,x£（—8,0）U（0,+°°）,则下列等式成立的是（）

B.—f{x}=

x,

C.-77~=/[■■]D.f{-x)=-f{x)

fkx)\xj

[x,xWO,

11.已知函数Hx)=2、则下列结论中正确的是()

[-/,£>O,

A./(—2)=4B.若f(而=9,则/=±3

C.F(x)是偶函数D.Hx)在R上单调递减

log2(X—1)，x>\,

12.已知f(a=\则下列结论正确的是()

3,E,

A.f(f(l))=乎B.AA-1))=1

c.r(Ao))=1D.(/尚)=19

【填空题】

13.若函数/(x)在闭区间[—1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为—

{2\x>0,

14.已知函数/<x)=,_若f(a)+f(l)=O,则实数a的值等于.

[x+1,xWO,

15.设函数f(x)的定义域为〃若对任意的都存在使得/•(力=-f(x)成立,

则称函数/<x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：

①f(x)=/②/U)=占;

③f(x)=ln(2x+3)；④f(x)=2sinx~\.

其中是“美丽函数”的为.(填序号)

16.已知具有性质：4"=一F(x)的函数，我们称F(x)为满足“倒负”变换的函数，下列

函数:

①_f(x)=x­：；②F(x)=x+｝；

C,、0,x=l,

③广(x)=《

1

--,£>1.

IX

其中满足“倒负”变换的函数是(填序号)

【解答题】

fl

—1

17.设函数r(x)=Tx''求：(l)f(f(2))的值;