浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试卷（四）

2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷04一、单选题1．已知向量，，若与平行，则实数的值为（

）A． B．1 C． D．02．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（

）A． B．C． D．3．已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（

）A．3 B． C． D．14．已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n5．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣C．P(A∪6．在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（

）A．1 B．4 C． D．57．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12A.316 B．34C．1316 D．8．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以AA．6 B．212C．252 D．多选题9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A．P(A)=14 B．事件C．事件A与事件B相互独立 D．P10．下列有关复数的说法正确的是（）A．若复数z=z，则z∈R B．若|z1|＝1，则|z1+1﹣i|的最小值为2C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，则z11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（

）A．是的充要条件B．，，若，则这样的三角形有两个C．若，则为钝角三角形D．的面积公式为12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则为等腰或直角三角形C．若，则D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形填空题13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_______________14．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，，，，则A，B两点间的距离是__________km.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为AB＝4，则AP→⋅CD→的值为解答题16．（2022春·江苏南京·高一统考期末）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值和下四分位数；(2)求全体应聘者笔试成绩的众数，中位数和方差（每组数据以区间中点值为代表）；(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．17．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，分别为角的对边，，且，.(1)求角大小.(2)为边上一点，，且__________，求的面积.（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图所示，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的正弦值19．（2022春·山东济南·高一统考期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为a的菱形，，△PAD为正三角形，平面平面ABCD，G为边AD的中点．(1)求证：平面PAD；(2)若BG与AC交于点E，设点F是棱AP上一动点，试确定点F的位置，使得平面PBC，并证明你的结论；(3)求二面角的正切值20．（2022春·浙江宁波·高一统考期末）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.2023-2024学年高一数学下学期期末模拟卷04一、单选题1．已知向量，，若与平行，则实数的值为（

）A． B．1 C． D．0【解】由已知，，又与共线，所以，解得．故选：C．2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，使得恰有一个解的是（

）A． B．C． D．【解】A.因为，，则，无解；B.因为，

，则，又，则，有两解，故错误；C.因为，则，所以无解，故错误；D.因为，，则，又，且，所以，故有一解，故正确.故选：D3．已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（

）A．3 B． C． D．1【解】因为，所以.因为，为夹角为60°的两个单位向量，所以故选：C4．已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）A．m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n B．m∥n，m∥α，n⊄α，则n∥α C．α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n【解】对于A，由平面与平面平行的性质，可得A正确；对于B，由直线与平面平行的判定定理，可得B正确；对于C，m与n的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C错误；对于D，由平面与平面垂直的性质，D正确．故选：C．5．在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事件A＝“第二次摸出的球是红球”，事件B＝“两次摸出的球颜色相同”，事件C＝“第二次摸出的球是黄球”，若P(A．P(B)=25 B．P（C）＝1﹣C．P(A∪【解】依题意，事件A，C对立，P（A）+P（C）＝1，故B正确；设盒子中有m个红球，5﹣m个黄球，PP(A∩B)=P(A∪故选：C．6．在中，，过点O的直线分别交直线于M，N两个不同的点，若，其中m，n为实数，则的最小值为（

）A．1 B．4 C． D．5【详解】三点共线即，故的最小值为.故选：C.7．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12A．316 B．34 C．1316【解】由题意知，本题是一个相互独立事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是相互独立的，∴灯泡不亮的概率是12∵灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是1-3故选：C．8．已知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=π2，AD＝2，若球O的表面积为22π，则三棱锥A﹣BCD（以A．6 B．212 C．252 D【解】取BC中点E，∵∠BAC＝90°，∴E为△ABC的外接圆圆心，过E作AD的平行线，由球的性质可知，球心O必在此平行线上，作OF∥AE，交AD于F，如图所示：OA=OEOA＝OD，∴AF＝DF＝OE=12AD＝∵球O的表面积为22π∴球O的半径R=222，设AB＝x，AC＝由R=OC=CE2+OE∴三棱锥A﹣BCD侧面积S＝S△ABD+S△ACD+S△ABC=12•2x+12•2y+12xy＝由x2+y2≥2xy，得：xy≤9，（当且仅当x＝y＝3时取等号），又（x+y）2＝x2+y2+2xy≤18+x2+y2＝36（当且仅当x＝y＝3时取等号），∴S≤6+92=212（当且仅当x故选：B．多选题9．一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件B为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A．P(B．事件A与事件B互斥 C．事件A与事件B相互独立 D．P【解】对于A，P（A）=24=对于B，实验的总结果数为4×4＝16，A，B同时发生的结果数为4，所以P（A∩B）=416=14≠0，对于C，B发生的结果数为2×2+2×2＝8，P（B）=8P（AB）＝P（A∪B）=14=P（A）×P（B），所以事件A与事件B对于D，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）=12+故选：CD．10．下列有关复数的说法正确的是（）A．若复数z=z，则z∈RB．若|z1|＝1，则|z1+1﹣i|的最小值为2 C．若z是复数，则一定有|z|2＝z2 D．若z1，z2∈C，则z【解】对于A，设z＝a+bi，（a，b∈R），则z=a﹣bi若z=z，则b＝0，∴z∈R，故A选项B：若|z1|＝1，设z1＝cosθ+isinθ，则z1+1﹣i＝（cosθ+1）+（sinθ﹣1）i，则|z所以当cos(θ+π4)=-1时，|z1+1对于C，当z＝1+i时，则|z|2＝2，zz2＝2im，∴|z|2≠z2，故C错误；对于D，令z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝m+ni（m，n∈R），则z1•z2＝ma﹣nb+（mb+na）i，z1⋅z2=ma﹣nb﹣（mb∵z1=a﹣bi，z2=∴z1⋅z2=（a﹣bi）（m﹣ni）＝ma﹣nb﹣（mb∴若z1，z2∈C，则z1⋅z故选：ABD．11．在中，角所对的边分别是，下列说法正确的是（

）A．是的充要条件B．，，若，则这样的三角形有两个C．若，则为钝角三角形D．的面积公式为【解】若，则，由正弦定理得；若，则，从而，所以A正确；由正弦定理得，所以，只有一解，所以B不正确；若，则，所以为锐角，无法得出为钝角三角形，所以C不正确；因为，所以，所以的面积，所以D正确.故选：AD.12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则为等腰或直角三角形C．若，则D．若sin2C＞sin2A+sin2B，则△ABC一定为钝角三角形【解】由余弦定理，A正确；，由正弦定理得，，是三角形内角，所以或，即或，三角形为等腰三角形或直角三角形，B正确；由得，，同上得或，C错；D中，sin2C＞sin2A+sin2B，由正弦定理c2＞a2+b2，可得cosC=a2+b2-故选：ABD．填空题13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_______________【解】由于，所以，即，∴，又，∴，，∴，由于，∴.14．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得，，，，则A，B两点间的距离是__________km.【解】由题意，△为等边三角形，即，又，，则，∴在△中，，可得，∴在△中，，故.故答案为：15．如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→=mAC→+12【解】由AD→=2DB又C，P，D三点共线，则有AP→=m∵AP→∴2-2m3又CD→且∠BAC=π3，AC＝2，故AP→⋅CD→==-=-＝3．故答案为：3．解答题16．（2022春·江苏南京·高一统考期末）社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在内，将笔试成绩按照、、、分组，得到如图所示频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中的值；(2)求全体应聘者笔试成绩的众数和方差（每组数据以区间中点值为代表）；(3)若计划面试人，请估计参加面试的最低分数线．【详解】（1）解：由题意有，解得.（2）解：应聘者笔试成绩的众数为，应聘者笔试成绩的平均数为．所以方差为（3）解：，所以，面试成绩的最低分为百分位数，前两个矩形面积之和为，前三个矩形的面积之和为，设百分位数为，则，解得.因此，若计划面试人，估计参加面试的最低分数线为.17．（2022春·江苏南京·高一统考期末）在中，分别为角的对边，，且，.(1)求角大小.(2)为边上一点，，且__________，求的面积.（从①为的平分线，②为的中点，两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答.如果都选，以选①计分.）【详解】（1）由正弦定理得：，，，（2）选①：由平分得：，所以，（1）在中，由余弦定理得：所以，（2）（1）（2）联立得解得，解得，所以，选②：，，得（1）中，由余弦定理得所以，（2）（2）-（1）即可得，.18．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图所示，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，，在底面上的射影为中点，为的中点．

(1)求证：平面；(2)求直线与所成角的正弦值．【详解】（1）在三棱柱中，取中点，连，依题意，平面，而平面，则，又是正三角形，即有，，平面，于是平面，因为为的中点，则，即四边形是平行四边形，有，则四边形是平行四边形，有，所以平面．（2）由（1）知，，，平面，则平面，而平面，于是平面平面，平面平面，在平面内过作于，则平面，连，因此是直线与平面所成的角，正的边长为2，则，又，，于是，，又，因此，所以直线与平面所成的角的正弦值