定积分的概念教案 人教课标版

第、课时周一、周二、

课题：定积分的概念

三维目标：

知识与技能：

1.通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；

2.借助于几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简

单的定积分.

.理解掌握定积分的几何意义和性质；

过程与方法：

通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。

情感态度与价值观：

通过分割、逼近的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而激

发学生学习数学的兴趣。

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义.

教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义.

教学过程：

一.创设情景

问题：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实

生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面

积？比如浙江

省的国土面积。

此问题在学生九年级中己有涉及，在九

年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：

方法将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面

积”。。

方法将图形从内外两个方面用规则图形（或规则图形的组合）逼近。

方法将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”（如小石子等小颗粒），

当点数足够大时，统计落入不规则图形中的点

数，则图形的面积与正方形面积的比约为。

方法“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是（正方形区域内

细沙重）、（所求图形内细沙重），则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。

二.合作探究

问题一曲边梯形的面积j

犬）一--x）

如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=/（x）的一段，我儿，）.一

们把由直线x=a,x=。（4力b）,y=0和曲线y=f（x）所围成的图形

~0\ib~X

取为曲边梯形.如何计算这个曲边梯形的面积？

探究：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形状？有几种方案？（分割）

提出自己的看法，同伴之间进行交流。

探究：采用哪种好？把分割的几何图形变为代数的式子•（近似代替）、（求和）

写出面积求和式。老师①巡视，给予指导，即时纠正学生中的运算错误。②及时实物投影

③比较三种求和式的优劣，规定近似代替的原则。

探究：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？（取极限）

写出分割无限多时，相应的数学含义。

探究：采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？（夹逼定理的意义）

例如：求图中阴影部分是由抛物线y=f,直线x=l以及x轴所围成的平面图形的面积。

把区间［0,1］分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以

直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，

对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值.分割越细，面积的近似值就越精确。当

分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积.也即：用划归为计算矩形面

积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积.

解：

（）.分割

在区间［0,1］上等间隔地插入〃—1个点，将区间［0,1］等分成”个小区间:

n-1

0,-_L1J

nn'nn

记第，个区间为—0=1,2,,〃），其长度为

nn

nnn

分别过上述〃-1个分点作大轴的垂线，从而得到〃个小曲边梯形，他们的面积分别记作:

△S］,AS2,•••,AS”显然，S=，AS：

i=\

（）近似代替

,1•

记/（x）=x2,如图所示，当“很大，即Ac很小时，在区间—

nn

上，可以认为函数/（x）=f的值变化很小，近似的等于一个常数，不

妨认为它近似的等于左端点匕!■处的函数值/（匕］，从图形上看，就是用平行于x轴的直

n\J

,1,

线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）.这样，在区间—上，用小矩形的面积AS；

nn

近似的代替AS,.,即在局部范围内“以直代取”，则有

«"/；_1\_1\21

由①，上图中阴影部分的面积S“为5“=»S：=£/.一・­=£」•-

,=I,=1\n)/=1\«)〃

从而得到S的近似值SaS.

（）取极限

分别将区间［0,1］等分，，，…等份（如图），可以看到，当“趋向于无穷大时，即Ax趋向于时,

趋向于S,从而有

从数值上看出这一变化趋势:

IX|iij「o.ri的等分数S的近似伍S.

20,12500000

40.21875000

80.27313750

160.30273438

320.31787109

640.32556152

1280.32913726

2560.33138275

5120.33235711

10240.33281521

20480.33308923

问题：如果不是在区间的两个端点取，而是在每一个区间中间取任意一点作为高，会有怎样

的结果？

★求曲边梯形面积的四个步骤：

第一步：分割.在区间［a,可中任意插入〃一1各分点，将它们等分成〃个小区间

1,x,.］（t=l,2,办区间,3］的长度Ar,.=,

第二步：近似代替。“以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个

小曲边梯形面积的近似值.

第三步：求和.

第四步：取极限。

（说明：最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值）

问题二汽车行驶的路程

汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间f所行驶的路程为5=7.如果汽车作变速直线运

动，在时亥M的速度为v（7）=—/+2（单位：），那么它在WfW（单位：）这段时间内行驶的路

程S（单位：）是多少？

分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路

程问题，化归为匀速直线运动的路程问题.把区间［0,1］分成〃个小区间，在每个小区间上，

由于v（f）的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上

行驶路程的近似值，在求和得S（单位：）的近似值，最后让〃趋紧于无穷大就得到S（单位：）

的精确值.（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变

速直线运动的路程）.

解：.分割

在时间区间［0,1］上等间隔地插入〃一1个点，将区间［0,1］等分成〃个小区间：

j_2n—1/—Ji

0,-…—,1记第i个区间为—(i=l,2,,〃)其长度为△[=

nn'nnnn

n—J

把汽车在时间段0,-_L2——,1上行驶的路程分别记作：AR,AS,,…,

_nn'nn

AS.

显然，S=

()近似代替

•i•

当〃很大，即△/很小时，在区间—上，可以认为函数以。=—/+2的值变化很小,

nn

近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点上1■处的函数值

n

•I•

+2,从物理意义上看，即使汽车在时间段—(i=l,2,,〃)上

nn

的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻上1处的速度=-(3)+2作匀速直

«\nJ\n)

线运动，

即在局部小范围内“以匀速代变速”于是用小矩形的面积AS：近似的代替AS,,则有

(I、

△SjxAS；=v----Af=

\nJ

()求和由①得,

；2

sn=t^=t+—

i=li=nn

从而得到S的近似值Sas“

()取极限

当〃趋向于无穷大时，即4趋向于时，5“=一；(1一：，1一2)+2趋向于5,

从而有5=1而50=1而：1/3]=1而1--||1--|+2=-

〃+°〃_>8\n)-13(〃八2n)\3

思考结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线f=0,f=l#=。和曲

线u=-r+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

归纳得到一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为u=?(7),那么我们也可以采用分

割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出

它在WfW内所作的位移s.

问题三定积分的概念

从前面求曲边图形面积以及求变速直线运动路程的过程发现，它们都可以通过“分割、近

似代替、求和、取极限得到解决，且都归结为求一个特定形式和的极限，

5=limVAx=limV—f（£：）5=limVv（（^.）•Az=limV—v（£）

事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限

☆定积分的概念

一般地，设函数/（X）在区间伍,切上连续，用分点

a=xQ<x}<x^<<再_］<Xj<<xn=b

将区间［a,句等分成〃个小区间，在每个小区间［粗，引上取一点&（i=l,2,,〃），作和式:

£%）•—亿）

/=1/=1n

当〃f+8）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数/（冗）在区间［外物上的定

积分。记为：Cf(x)dx即「/(x)公lim£”与■低)

JaJa，iT6M

i=l

其中函数7（x）叫做，X叫做变量，区间切为区间，。积分，a积分。

说明：（）定积分J：/（x心是一个常数

（）用定义求定积分的一般方法是：①分割：%等分区间［a,句；②近似代替：取点

。武打，到；③求和：E—M）；④取极限：J：/。心=”\>信）上?

/=1"/=1〃

（）曲边图形面积：5=1/（工世；变速运动路程S

☆定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间口上的函数/（x）连续且恒有

/（x）>0o那么定积分J表示由直线x=a,x=Z?

（〃工8），y=0和曲线y=/（x）所围成的曲边梯形的面积。

☆定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质:

rb

性质|Idx=b-a

性质[hkf(x)dx=k[hf(x)dx(其中是不为的常数)(定积分的线性性质)

JaJa

pbpbpb

性质"(x)±〃x)团=〃x)公±J“f23dx(定积分的线性性质)

bcb

性质ffMdx=f(x)cbc+Jf(x)dx(其中Q<c<b)

aac

(定积分对积分区间的可加性)

说明：①推广：J："(x