人教A版 （2019）必修第二册8 .5 空间直线、平面的平行

人教A版（2019）必修第二册8.5空间直线、平面的平行

一、单选题

1.己知〃是三条不同的直线，a,0,7是三个不同的平面，则下列命题一定

正确的是（）

A.若〃z//a,mlIn,则〃〃a

B.若根ua,〃ua,且满足加//£,n///3,则a〃尸

C.若=aC\r=m,J3p\/=n,且满足〃历i,贝l]m//〃

D.若根ua,〃ua,/u6，且血/〃，nlll,则。〃力

2.如图，在正方体ABCD-A/B/GQ中，已知E,F,G分别是线段4G上的点，且

4£=£尸=/3=6。.则下列直线与平面A乃。平行的是（）

A.CEB.CFC.CGD.CCi

3.已知加，”为两条不同的直线，a,A为两个不同的平面，则下列说法正确的是

（）

A.若miln,nua,则机〃B.若mllex,wua,贝!]/"〃”

C.若根ua,nu0,mlln,则a/RD.若a///?,mua,则根〃夕

4.下列说法正确的是（）

A.若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C.若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线

D.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行

5.在长方体ABCD-中，AB—BC-1,A4j=y/3,则异面直线A2与£）与所

成角的余弦值为

A.-B.立C.坦D.受

5652

6.如图，在长方体ABC。-A瓦G2中，AAl=AD=2,AB=3,E,尸分别为棱

44-CG的中点，过正的平面a与直线C|E平行，则平面a截该长方体所得截面的

面积为（）

A.3B.3亚

C.3A/3D.3A/5

7.已知长方体ABCD-AB'C'D'，平面aCl平面ABCD=EF,平面aCl平面

ABCD=E/，则EF与E'F'的位置关系是

A.平行B.相交C.异面D.不确定

8.平面a〃平面夕，aua,bu/3,则直线。和6的位置关系（）

A.平行B.平行或异面C.平行或相交D.平行或相交或

异面

DFDF

9.在空间四边形A5CD中，E,尸分别在A。CD上，且满足——=——，则直线所与

EAFC

平面ABC的位置关系是（）

A.斯||平面A3cB.£Fu平面ABC

C.EF与平面ABC相交D.以上都有可能

10.已知直线a与平面a,4,人能使的充分条件是（）

①aJ_y,（2）ally,（3Hy@a//a,a///3@aLa,aL/3

A.①②B.②③C.①④D.②④

11.如图，在三棱柱ABC-aqG中，M,N分别为棱A4，8片的中点，过"N作一

平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则（）

A.MF//NE

B.四边形脑VEF为梯形

C.四边形MNEF为平行四边形

D.ABJINE

12.已知正方体ABC。-A耳GD的棱长为2,点尸在棱AZ）上，过点尸作该正方体的

截面，当截面平行于平面4RC且面积为近时，线段AP的长为（）

A.72B.1C.上

二、填空题

13.如图所示，正方体A8C。-AqGR棱长为3,M,N分别是下底面的棱4万，

的中点，尸是上底面的棱上的一点，AP=1,过尸，M、N的平面交上底面

于PQ,。在CO上，贝"。=.

14.如图，四棱柱ABCD-A/B/C/。/中，A8CO为平行四边形，E,尸分别在线段。8,

DE1CG

上，且工石=彳，G在CG上且平面AEF//平面BC/G,则方丁=___________

EB2。

15.已知直线/〃平面a,Pda,那么过点尸且平行于/的直线有条.

16.如图，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线尸。

与RS是平行直线的图是（填序号）.

17.如图：在正方体ABC。-A4GR中，E为。2的中点.

(1)求证：3。〃平面AEC；

(2)若尸为CG的中点，求证：平面AEC〃平面MR.

18.如图，在三棱柱ABC-44G中，侧棱底面ABC,AB1BC,。为AC的中

点，AAl=AB=2,BC=3.

⑴求证：44〃平面BCQ；

(2)求三棱柱ABC-AB。］的表面积

19.在正方体ABCD—4囱。。/中，E是棱88/的中点.

DiCi

(1)求证：3/0〃平面ACE.

⑵若尸是棱CG的中点，求证：平面〃平面ACE.

20.如图，已知三棱柱43(7-4再£,平面MGC，平面ABC,NABC=90。,

4BAC=30。,A,A==AC,E,尸分别是AC,A片的中点.

(1)证明：EFVBC-,

(2)求直线跖与平面4BC所成角的余弦值.

21.如图，在正方体A3CZ)-aqGR中，E为8月的中点.

(I)求证：BC"/平面ARE；

（II）求直线AA与平面ARE所成角的正弦值.

参考答案:

1.c

根据空间线面、面面间的位置关系判断.其中C可由线面平行的判定定理的性质定理判

断.

【详解】

因为A的直线”中可能在面夕内，故A错误；

B,D中加，〃可能平行，则结论不一定成立，故B、D错误；

C中若〃/"z,lay,muy,则有〃//,又/u£,从而有〃/〃，mlln,故C正

确.

故选：C.

2.B

连接AC,使AC交8。于点0,连接A/。，CF,由A尸〃。C,4尸=0C,证得平行四边

形，从而得线面平行.

【详解】

如图，连接AC,使AC交BD于点。，连接4。，CF,

在正方体ABCD—AiB1CiDi中，由于4///AC,AiF=~AC,

又oc=gac,可得：\FHOC,\F=OC,即四边形4OCP为平行四边形,

可得：A1O//CF,又4OU平面C/C平面48。，

可得CP〃平面

故选：B.

3.D

利用线面平行、面面平行的判定、性质定理，依次分析即得解

【详解】

选项A：有可能出现7"UC的情况；

选项B：加和"有可能异面；

选项C：a和夕有可能相交；

选项D："旧mua,得直线加和平面夕没有公共点，所以根//£,

故选：D

4.C

利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.

【详解】

A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，

可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；

B错，

若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，

则这两个平面可能平行或相交；

C正确，设ac/?=/,机〃。，机〃£,

利用线面平行的性质定理，在平面a中存在直线。〃加，

在平面口中存在直线6〃机，所以可知

根据线面平行的判定定理，可得,

然后根据线面平行的性质定理可知匕/〃，所以加III；

D错，两个平面可能平行，也可能相交.

故选：C

本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的

熟练应用，属基础题.

5.C

【详解】

分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量

夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

。(0,0,0),A(l,0,0),4(1,1,代),A(。,0,t),所以碣=(-1,0,6),函=(1,1,73),

因为cos〈函，函)=指赢=万溟=与,所以异面直线ADt与DBX所成角的余弦值为

。，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空

间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，

求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

6.D

取。A中点G,连接GA,GF,AF,进而证明EC】//平面ABFG得到平面ABFG即为所求的

平面a,再求面积即可.

【详解】

解：如图，取中点G,连接G4,GRAF,

因为在长方体中，E,尸分别为棱AA，CC,的中点，

所以AE〃GF,4E=G尸，

所以四边形AECZ是平行四边形，

所以EC"/AP,

因为G为。2中点，P为棱CG的中点，

所以GF/ADC,GB=£>C,

又因为A3//DC,A3=DC,

所以AB//G£AB=G尸，

所以四边形是平行四边形，

又因为EG<z平面ABFG,AFu平面ABWG,

所以EQ//平面ABFG,

所以平面A3FG即为所求的平面a,

又因为44]=A£>=2,AB=3,

所以面积为5=3*也2+1=36

故选：D

由长方体的特点可以得到平面ABCD//平面A'3'C'D',接下来根据面面平行的性质定理可以

得到结果.

【详解】

因为几何体是长方体ABCD-AJS'C'D,所以平面ABCD〃平面AB'C'D,由已知条件得平面

an平面ABCD=EF，平面aP|平面ABCD=£’尸,则由面面平行的性质定理得:如果两个

平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行，所以EF与E'F'的位置关系是平行.

故选:A

本题考查了面面平行的性质定理，在两个平行平面中的两条直线的位置关系有平行和异面两

种情况，但本题有第三个平面和两个平行平面相交，则由面面平行的性质定理即可判定出结

果.

8.B

利用平面a〃平面夕，可得平面C与平面夕没有公共点，根据aua,6u〃，可得直线。,

匕没有公共点，即可得到结论.

【详解】

•.•平面a〃平面夕，.•.平面a与平面/没有公共点

bu。，.•.直线a,6没有公共点

...直线a,b的位置关系是平行或异面，

故选：B.

9.A

由上？=三，可推出EF〃AC,再根据线面平行的判定可得出答案.

EAFC

【详解】

..DEDF

"E4-FC

/.EFHAC

又：ACu平面ABC,EFz平面ABC.

•*.EF〃平面43c.

故选：A

10.D

根据线面的平行关系，结合相关性质，逐个分析判断即可得解.

【详解】

对①，若垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故①错误;

对②，若a/帆///乙则M/6，平面的平行具有传递性，故②正确；

对③，若aHa,aH/3,平行于同一直线的两平面可以相交，故③错误；

对④，aLa,aL(3,垂直于同一直线的两平面平行，故④正确.

综上：②④正确，

故选：D.

11.B

由已知条件及线面平行的性质可得MN〃EP且班WMN,可得四边形MNEF为梯形，可

得答案.

【详解】

解：：在口44,80中，AM=MA},BN=NB”:.AM〃BN,MN〃AB又MNU平面

ABC,ABi平面ABC,MV||平面ABC.

又MNu平面MN£F,平面跖VEFn平面ABC=£F,:.MN//EF,:.EF//AB.

显然在AABC中，EF^AB,:.EF^MN,

...四边形脑VEF为梯形.

故选：B.

本题主要考查直线与平面平行的性质定理，需注意其灵活运用，属于基础题型.

12.A

过点P作D3,4。的平行线，分别交棱AB,AA于点Q,R,连接QR,BD,即可得到

△PQK为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出PQ的长度，即可求出AP；

【详解】

解:如图，过点P作D3,4。的平行线，分别交棱AB,AA于点。，R,连接QR,

BD,因为BDHB\D\,所以尸Q〃4R,耳"u面B℃,PQu面耳RC,所以尸。〃面

BQC

因为4D//8。，所以PR//B]C,面B|RC,PR①面BQC,所以PR〃面用2c

又PQcPR=P,P。,尸Ru面PQR,所以面PQR〃面4"C,则尸QR为截面，

易知△PQR是等边三角形，则jP02.，[=百，解得尸。=2,・・・AP=41PQ=0.

222

故选：A.

13.2&

利用面面平行的性质定理可得MN〃PQ,从而可得PQ〃AC,再由相似比即可求解.

【详解】

因为平面AfiCD〃平面A81G2,

平面ABCDn平面PQNM=PQ,

平面451G2n平面PQNM=MN,

所以PQ,

又因为MN〃AC,

所以PQ〃AC.

rib、、PDDQPQ2

又因为钎=1,所以而=五=二=<

所以加=：*=千3五=2后.

故答案为：20

1

14.

3

先推导出，EF//BD1,平面AD2A//平面3。。出1，由G在CG上且平面AEF//平面

CGDF1

BD。,可得AF//5G,从而777=方万=鼻

【详解I

平面AEF//平面BDiG,且平面AEHl平面BBiDiD=EFf平面BQ/GCl平面

DFDE1

BBiDiD=BDi,：.EF//BDi,-

rL)x£Sn2

易得平面ADO/A///平面8CC/B/,又BGu平面BCC/氏，，8G//平面AZJO/4,

又：平面AEF〃平面3QG,8Gu平面BO/G,「.BG〃平面AEE

平面AE〃n平面ADD1A1=AF,

：.BG//AF,，83、4尸可确定平面ABGF,

又知平面ABBA〃/平面CDDiCi,

平面A8GFTI平面ABBiAi=AB,平面A8G/D平面CDDiCi=FG,

：.AB//FG,：.CD//FG.

.CGDF1

*'CQ-D^"3'

故答案为：—■

15.1

由直线/与点P确定一个平面£,利用线面平行的判定定理即可求解.

【详解】

如图所示，〃平面a,PGa,

直线/与点P确定一个平面aAy?=m,

；./〃机且机是唯一的.

假设点P且平行I的直线有两条m与",

:.m//I^.n//I，

由平行公理4可得加〃-

这与两条直线两条相与“相交与点尸相矛盾，

所以在平面内过点尸且平行于I的直线只有有一条

故答案为：1

本题考查了线面平行的性质定理，需理解定理的内容，属于基础题.

16.①②

根据正方体的结构特征，以及两直线的位置关系的判定方法，即可求解.

【详解】

根据正方体的结构特征，可得①②中RS与PQ均是平行直线，④中RS和尸。是相交直

线，③中RS和尸。是是异面直线.

故答案为：①②.

17.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

(1)连结8。交AC于。，连结EO.可证EO//B",即可得证；

(2)首先可证RB//EC,即可得到马尸〃平面AEC,再由(1)的结论即可得证；

【详解】

解：(1)连结交AC于O,连结E0.

•••因为4BCZ)-44G2为正方体，底面ABCD为正方形,

对角线AC、3。交于。点，所以。为的中点，

又因为E为。2的中点，在△08。中

0E是的中位线

OEHBD｛；

又因为OEu平面AEC,BD1<Z平面AEC,

所以BR〃平面AEC.

(2)证明：

因为尸为CG的中点，E为。2的中点，所以CF〃ER,

所以四边形C尸2E为平行四边形，所以，尸〃EC,

又因为ECu平面AEC,。尸(2平面AEC,

所以，尸〃平面AEC；

由(1)知8。〃平面AEC,

又因为=所以平面AEC〃平面8F。1

18.(1)证明见解析

(2)16+2万

(1)连接与c交BG于点。，连接。。，可证得0£>〃A耳，然后利用线面平行的判定定理

可证得结论，

(2)由已知条件可得三个侧面是矩形，两个底面为直角三角形，然后根据已知的数据可求

得答案

⑴

证明：连接用C交于点。，连接

因为四边形BCC用为矩形，

所以。为耳C的中点，

因为，。为AC的中点，所以

因为A/(Z平面8CQ,0。匚平面26。，

所以4瓦〃平面8CQ；

因为侧棱相，底面ABC,

所以三棱柱ABC-ABjQ为直三棱柱，

所以侧面BCC再,BAA,B,,C4Aq均为矩形，

因为ABL3C,所以底面A8C，AB|G均为直角三角形，

因为BC=3,所以AC=口口+叱="+32=岳,

所以三棱柱ABC-A与G的表面积为

(AB+BC+ACyAA,+2x^AB-BC

=(2+3+V13)x2+2x1x2x3

=16+2万

19.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(1)连BZ),使8£>nAC=G,连EG,由中位线定理以及线面平行判定定理证明即可;

(2)证明〃平面ACE,结合8/。〃平面ACE,利用面面平行判定定理证明即可.

(1)

连BD,使BDAAC=G,连EG.

•.N3C。是正方形，BDHAC^G,:.DG=BG.

又是88/中点，：.BiE=BE,

：.DBi//GE,

又DB,<z平面ACE,GEI平面ACE,

，囱。〃平面ACE.

⑵

是棱BS的中点，尸是棱CG的中点.

/且BiE=CF,：.四边形8/ECF是平行四边形，

.,.B1F//CE,又；.4尸(2平面ACE,CEu平面ACE,〃平面ACE,

由(1)8必〃平面ACE,又；DBQBiF=Bi,平面8点尸〃平面ACE.

3

20.(1)证明见解析；(2)

(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正

弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.

【详解】

⑴如图所示，连结4及4石，

B

等边AA41c中，AE=EC,则AE，AC,

平面A8C_L平面AACQ,且平面A8CTI平面^ACQ=AC,

由面面垂直的性质定理可得：4石，平面A3C,故AELBC,

由三棱柱的性质可知A4〃AB,而ABL3C,故且A4n4E=4，

由线面垂直的判定定理可得：3CL平面4片£,

结合MU平面4月£,故EFL8c.

⑵在底面ABC内作E”,AC,以点E为坐标原点，EH,EC,E4方向分别为羽y,z轴正方向建

立空间直角坐标系E-xyz.

设团=1,则AE=EC=石，A4,=*=26，BC="A8=3,

据此可得：A(O,-73,O),B,OJ，A(O,O,3),C(O,6,O),

由砺=M可得点用的坐标为瓦1|］后3］，

利用中点坐标公式可得：尸g-6,3)由于£(0,0,0),

故直线所的方向向量为：而=，患,31

设平面\BC的法向量为机=(%,y,z),贝U：

m-A^B=(x,y,z)-=^x+^-y-3z=0

l乙J

m-BC-(x,y,zY--,-^-,0=-—x+=0

v72222

据此可得平面\BC的一个法向量为质=(1,6,1),方二序(6,3

/—«一\43

设直线EF与平面42c所成角为6,贝iJsinaucostEEm'uw,COseMy.

本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象

能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关

系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向

量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

21.(I)证明见解析；(II)

(I)证明出四边形ABGA为平行四边形，可得出BC//AR,然后利用线面平行的判定定

理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；

(II)可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建

立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解.

【详解】

(I)［方法一］:几何法

如下图所示：

在正方体ABCD-ABJGM中，AB//A4且AB=A#,A4〃G，且A4=CR,

.•.48//£R且48=60,所以，四边形ABG2为平行四边形，则BCJ/AQ,

•.•8C]n平面ARE，ARu平面AD]E,,BC]〃平面A，E；

[方法二]:空间向量坐标法

以点A为坐标原点，AD,AB.AA所在直线分别为x、，、z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系A-孙z,

设正方体A3C。一A4GR的棱长为2,则A（0,0,0）、4（0,0,2）,.（2,0,2）、£（0,2,1）,

函=（2,0,2）,通=（0,2,1）,

一/、\n-AD,=0f2%+2z=0

设平面A?E的法向量为〃=X,y,z,由一I,得C八

n-AE=Q|2y+z=0

令z=—2,贝！|x=2,y=l,贝!J万=（2,1,—2）.

又：向量瓯=(2,0,2),^>i=2x2+0xl+2x(—2)=0,

又平面.1BQ//平面A£)1E；

(ID［方法一］：几何法

延长CG到P,使得GF=8E,连接石尸，交Eg于G,

又•.•C//ABE,.•.四边形8EPG为平行四边形，尸，

又•/BC\IIAD\ADj//EF，所以平面ARE即平面ADtFE,

连接RG,作G"垂足为“，连接我，

FQ1平面4月C1〃,DXGu平面4月GR,Fq±Dfi,

又•/FQnC.H=£,/.直线DfiI平面QFH,

又直线RGu平面DtGF,：.平面DfiF1平面C}FH,

/.G在平面DfiF中的射影在直线F"上,...直线加为直线尸G在平面DfiF中的射影，Z

QFH为直线FC.与平面DfiF所成的角，

根据直线FQ〃直线AA,可知ZQFH为直线AA与平面AD.G所成的角.

2x12

则GG=GP=1,〃G