2024年中考数学复习-点到点的距离最值问题

点到点的距离最值问题【题目6-1】如图6-1,△ABD是等边三角形,在△ABC中,BC=a,AC=b,当∠ACB为何值时,C，D两点间的距离最大?求出该最大值.解法1如图6-2①,将△ABC绕点B逆时针旋转60°至△DBH处,连接CH.易知△BCH为等边三角形,CH=BC=a.∵CH=a,DH=AC=b,∴当C,H,D三点共线时CD最大,∴当CD最大时,CD=CH+DH=a+b,∠ACB=∠BHD=180°−∠BHC=120°解法2如图6-2②,将△ABC绕点A顺时针旋转60°至△ADH处,后面同解法1.解法3如图6-2③,将△DBC绕点B顺时针旋转60°至△ABH处,后面同解法1.解法4如图6-2④,将△ADC绕点A逆时针旋转60°至△ABH处,后面同解法1.解法5如图6-2⑤,将△ADC绕点D顺时针旋转60°至△BDH处,后面同解法1.解法6如图6-2⑥,将△DBC绕点D逆时针旋转60°至△DAH处,后面同解法1.如图6-3,将△DBC绕点B顺时针旋转60°至△ABH处，可知点B，H在以C为圆心、BC为半径的圆上；点A在以C为圆心、AC为半径的圆上.当A，C，H三点共线时，CD最大.此图主要是从圆的角度来说明CD的最大值，对于其他的题目，可以作为参考.点拨：此题给出了CA，CB的长度，求CD的最值，三条线段呈现“鸡爪”型分布，加上此处有等边△ABD，一般的处理策略为旋转.因为旋转前后的图形必须要重合，而等边三角形任意两边都可重合，所以要围绕等边△ABD来旋转.有三个顶点A，B，D，顺时针可旋转，逆时针也可旋转，故总共有六种旋转方法.若换成正方形，则理论上有八种旋转方法.赏析遇等边三角形和“鸡爪”型分布，则想旋转，通过旋转之后的全等或相似解决问题.【题目6-2】如图6-4,在菱形ABCD中,∠DAB=60°,对角线交于点O,AP=2

解法1如图6-5,将△ABP绕点B顺时针旋转60°并缩小至原来的一半，形成△OBH.(也可以理解为以PB为斜边构造内角分别为30°,60°,90°的Rt△PBH与Rt△ABO,形成“手拉手”模型,则△ABP∽△OBH,以下解法中均类似.)∵△ABP∽△OBH,且AB∴OH=又∵∠PBH=60°,∴△PBH是含有60°角的直角三角形，∴PH=∴当O，H，P三点共线时，OP有最大值和最小值，OO点拨：三条线段呈现“鸡爪”型分布，一般的处理策略为旋转.因为旋转前后的图形必须要重合，而此处是个直角三角形，故需要旋转+相似，在旋转的同时，通过放缩使旋转前后的图形重合，再结合三点共线取最值.因为有三个顶点，还有顺时针和逆时针两种旋转方向，故共有六种方法.解法2如图6-6,将△APB绕点A逆时针旋转30°并缩小为原来的32同解法1，有AO则OH=故当O，H，P三点共线时，OP有最大值和最小值，OPmax点拨：同解法1，只是旋转时选择的三角形不同，旋转的方式不同.解法3如图6-7,将△AOP绕点A顺时针旋转30°并放大为原来的23同解法1，有AOAB=AP故B，P，H三点共线时，BH有最大值和最小值，BB∵OP=∴O点拨：同解法1，只是旋转时选择的三角形不同，旋转的方式不同.解法4如图6-8,将△AOP绕点O逆时针旋转90°并缩小为原来的33同解法1，有AOBO=OP当P，B，H三点共线时，PH有最大值和最小值，PP∵OP=∴O点拨：同解法1，只是旋转时选择的三角形不同，旋转的方式不同.解法5如图6-9,将△OPB绕点O顺时针旋转90°并放大为原来的3倍,至△OHA.(也可理解为构建Rt△AOB∽Rt△HOP.)同解法1，有OH则AH=当P，A，H三点共线时，PH有最大值和最小值，PP∵OP=∴O点拨：同解法1，只是旋转时选择的三角形不同，旋转的方式不同.解法6如图6-10,将△OPB绕点B逆时针旋转60°并放大为原来的2倍，至△AHB.(也可理解为构建Rt△AOB∽Rt△HPB.)同解法1，有AB则PH=当P，A，H三点共线时，AH有最大值和最小值，AA∵OP=∴O点拨：同解法1，只是旋转时选择的三角形不同，旋转的方式不同.赏析此题在题目6-1的基础上进一步增加了难度，将等边三角形改成直角三角形，其实质是一样的，只不过此题因为不是等边三角形，故在旋转的时候需要放缩，用“手拉手”模型理解会更简单一点.通过旋转放缩，将PA，PB，PO这三条线段汇聚到一个三角形中，再利用三点共线求最值.【题目6-3】如图6-11,⊙O的半径为4,A,B为圆上两个动点，以AB为边向圆内侧作正方形ABCD,求OD的最小值.

解法1如图6-12，令点A固定，点B运动，将△OAB绕点A顺时针旋转90°至△PAD处,连接OP,OD.易知△OAP为等腰直角三角形,PD=OB=4,则OP=∵P,O为定点,PD,PO为定长,∴当P,D,O三点共线时,O点拨：题中有两个动点，不容易入手.根据物理中相对运动的知识，可以令点A固定，点B运动，OA，OB都为4，OD是要求的线段，这三条线段呈现“鸡爪”型分布，很容易想到旋转，根据旋转后构造出的等腰直角三角形，再利用三点共线求得OD的最小值.解法2如图6-13，令点A固定，点B运动，将△OAD绕点A逆时针旋转90°至△PAB处,连接OP,OB.易知△OAP为等腰直角三角形,PB=OD,则OP=∵P,O为定点,OB,OP为定长,∴当P,B,O三点共线时,P∴O点拨：同解法1，只是这里旋转了△OAD.解法3如图6-14，令点A固定，点B运动，将△BDO绕点B顺时针旋转45°并且缩小为原来的22,至△BAP,连接OA,OP,则△BDO∽△BAP,目∵∴△OBP为等腰直角三角形，∴OP=BP=∵A,O为定点,P为动点,OA,OP为定长,∴当O,A,P三点共线时,AP最小,A∴O点拨：同解法1，只是这里旋转了△OBD.赏析见“鸡爪”型分布，想旋转.因为旋转前后三条线段均要用上，故旋转方向有一定的限制.三种方法在最后求最值时均用到了三点共线时距离最短，当然也可以用点到圆的最短距离来解释.以解法1为例，如图6-15，令点A固定，点B运动,将△OAB绕点A顺时针旋转90°至△PAD处,连接OP,OD.易知△OAP为等腰直角三角形,PD=OB=4,则OP=∵P为定点,PD为定长,∴点D在以P为圆心、PD为半径的圆上运动，∴当O,D,P三点共线时OD最小,OD【题目6-4】如图6-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,cosB=12解法1如图6-17,过点C作CF⊥AB于点F,过点Q作QG⊥AB于点G.∴∴∠B=60°,∠A=30°.又∵∠ACB=90°,AB=8,∴BC=∵CF⊥AB,∠B=60°,∴∠BCF=30°,∴BF=∵CF⊥AB,QG⊥AB,∠CPQ=90°,∴∠FCP+∠CPF=90°,∠CPF+∠GPQ=90°,∴∠FCP=∠GPQ,∴∠PFC=QGP=90°,∴△PFC∽△QGP,∴设PF=y,QG=x,则AQ=2QG=2x,AG=PG=8−2−y−AC=∵QGPF=整理得y由=解得x≤233或∴CQ=4即CQ长度的最小值为8点拨：将几何问题代数化，利用一线三等角构造相似，体现了数形结合的数学思想，最终利用二次函数解决问题.解法2如图6-18,点P在以CQ为直径的圆上，当圆与AB相切于点P时，CQ最小，设圆的半径为R,则此时CO=OP=R,AO=2R,由AC=3R=82−42=43,得点拨：本解法计算量极小，利用圆与直线的位置关系，先判定最值的存在情况，再计算最值，是解决几何最值问题常见的手段之一.解法3如图6-19,作CQ的中点O,连接OP,过点O作ON⊥AB于点N.∵∠CPQ=90°,∴OP=OC=OQ=x,CQ=2x.∵BC⟂AC,∴∠A=30°.设ON=h,则OA=2ON=2h.由勾股定理得AC=x+2ℎ=∵x≥h,∴3x≥x+2ℎ=43,得∴CQ=2x≥833点拨：在直角三角形中，斜边比直角边大，通过构造直角三角形，利用这一性质采用不等式的方法解决问题.赏析解法1与解法3都与不等式结合，是数形结合思想的完美体现，但计算量大；解法2直接利用几何法求解，体现出几何法的美妙，计算量小，但思维含量大.【题目6-5】如图6-20,A(0,6)是定点，点P在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，以AP为边，AB为对角线作矩形APBC，求线段OC的最小值.解法1如图6-21,过点C作CM⊥y轴于点M.∵四边形APBC是矩形,∴AC=BP,∠CAM=∠PBO,∠AMC=∠BOP=90°,∴△AMC≌△BOP,∴AM=BO.设AM=BO=n,则OM=A从而有6解得MC=故OC2当n=62时，OC°的最小值为故O点拨：本解法的思路主要是通过勾股定理和构造全等，利用线段长度建立数量关系，转化为二次函数解决问题，是初中生比较容易理解与接受的解法.解法2如图6-22,作矩形MHGN,则△ANC≌△BHP,△AMP∽△CNA.

设.AN=AM=a,CN=b,则PMAN=AMCN,即由勾股定理得OC2假设m=a²,则1当m=3时,OC°的最小值为92故O点拨：本解法的思路主要是通过构造矩形、构造全等和相似，利用线段长度建立数量关系，转化为二次函数解决问题，是初中生比较容易理解与接受的解法.赏析平面直角坐标系中的几何问题，首先是几何性质决定数量关系.解析法是将几何问题转化为代数问题的重要手段，既可以用解析法直接求解，也可以利用图形本身的几何性质，使得计算量变小，简化解题程序.【题目6-6】如图6-23,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=AC=8,AD=3BD,若∠FDE=60°,∠FDE的两边分别与射线BC,AC交于点F,E,则线段EF的最小值是多少?解法1如图6-24,作FH⊥AC的延长线于点H,延长HF交AB于点I,在AB上取一点G,使得∠EGD=60°.∵AB=∴AD=6∵∠EGD=∠EDF=∠DIF=60°,∴△GDE∽△IFD,∴设GE=y,BI=x,则GD=3x,AE=从而y=AG=AD−GD=6∵CE=AC−AE=8−CF=BC−BF=8−∴CH=∴EF²=EH²+HF²==21=21当x=3时，EF²的最小值为21，故EF的最小值为点拨：利用一线三等角模型构造相似，建立函数关系，解决最值问题.解法2如图6-25,作△DEF的外接圆,圆心为O，半径为R，连接FO并延长交⊙O于点M.∵∠M=∠EDF=60°,∴∴EF=∵当DC是直径时，圆最小，此时EF最小，∴此时∠DFC=90°.∵AB=8∴此时FD=3∴DC=∴E点拨：构造圆，CD为圆的一条弦且长度固定，∠EDF的角度固定，故要使得EF最小，则圆要最小，当CD为圆的直径时圆最小，进而求出答案.解法3如图6-26,过点D作DM⊥BC于点M,作DN⊥AC的延长线于点N.易证△DMF∽△DNE,则DF∵∠EDF=60°是定角,∴要使得EF最小，则DF要最小.∵DF的最小值为DM=3,此时∴此时E点拨：利用相似算出定角，再利用三角形形状固定，转换为求DF的最小值，最后求出答案.解法4如图6-27,过点D作DG⊥BC于点G,作DH⊥AC的延长线于点H,连接GH,过点H作HK⊥DG的延长线于