人教版A版（2019）高中数学必修第一册：第三章综合测试（附答案与解析）

第三章综合测试

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的）

1.函数/。）=-^=+（3*-1）°的定义域是（）

yI1-X

2.已知函数+则/'⑴+”9）等于（）

〔/（x+3）（x<2）,

D.7

4.若函数,=⑪与y=-一在（0,+8）上都是减函数，贝!J/（%）=以2+法在（o,+8）上是（）

%

A.增函数B.减函数C.先增后减D.先减后增

5.函数/。）=依2+（2+々）％+1是偶函数，则函数的单调递增区间为（）

A.[0,+oo）B.（-oo,0]C.（-00,+oo）D.[l,+oo）

6.函数/（1）=如2+（机一i）%+i在区间上为减函数，则加的取值范围是（）

C.0,1

3

7.定义在R上的偶函数〃x),对任意再，%e[0,+8)&HX2),有‘㈤一"再)<0,则()

%2—玉

A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)

C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)

a

——

8.若函数/(尤)=x''是R上的减函数，则实数。的取值范围是()

(2—3Q)X+1,

A.勺)B-%)C.卓]叫,+]

9.设函数/(x)满足对任意的飞〃(“〃为正数)都有/(m+«)=/(;«)•/(»)且/(1)=2,则

/(2)1/(3)/(2020)卒于

+L+

/(I)/(2)/(2019)]

A.2020B.2019C.4038D.4040

10.在函数y=国(九£[-1』])的图像上有一点?(用)，此函数图象与不轴、直线x=T及尤=/围成图形的面

积为S(如图的阴影部分所示)，则S与/的函数关系的图象可表示为()

11.设奇函数/(X)在(0,+00)上是增函数，且〃2)=0,则不等式/(X)二八一Lvo的解集为()

X

A.(—2,0)U(2,+QO)B.(-2,0)U(0,2)

C.(-oo,-2)U(2,+oo)D.(-o),-2)U(0,2)

12.已知定义在R上的函数f(x),若函数y=/(九+1)为偶函数，且/(%)对任意冷々£[l,+oo)(石工々)都有

〃々卜〃％>>0,若八。一1)讨(20,则实数。的取值范围是()

A.[-1.1]B.(-<=0,-1]C.[1,+00)D.(-00,-1]U[l,+00)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上)

五,GO

13.设函数/(%)=<£「贝小(/(—4))=

,x<0

2

14.若函数f(x)=("T)尤:"一2为奇函数,则实数。=.

X+Q—1

15.设函数/(x)=-2炉+4X在区间[和用上的值域是[-6,2],则7"+〃的取值范围是.

9,九、3,

16.已知函数/(x)={''则不等式/(尤2-2X)</(3X-4)的解集是

—x+6x,x<3,

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)

X-I-QV-L/7

17.[10分]已知函数/(%)=--------£[1,+8).

X

(1)当〃=工时，求函数/(%)的最小值；

2

(2)若对任意xe[L+0O),/'(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围;

(3)讨论函数的单调性.(只写出结论即可)

18.[12分]设函数/(力=》2—2|x-a|+3,xeR.

(1)小鹏同学认为，无论a取何值，/(X)都不可能是奇函数，你同意他的观点吗？请说明你的理由.

(2)若〃为是偶函数，求a的值.

(3)在(2)的情况下，画出y=/(x)的图象并指出其单调递增区间。

19.[12分]通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的

时间，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生

的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示

接受能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：分钟)，可以有以下公式：

-O,lx2+2.6x+43(0<xW10),

/(x)<59(10<xW16),

-3x+107(16<x<30),

(1)开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些?

20.[12分]已知函数/(x)='^,/(2)=2，且方程/(x)=2x有一个根为L

mx+n2

(1)求的值；

(2)求f(2)+/(3)+f(4)+/(5)+/W+/QK/M+/W的值.

2LD分］函数〃M雷是定义在TD上的奇函数，且

(1)确定函数/'(x)的解析式；

(2)用定义证明/(X)在(-1,1)上是增函数;

(3)解不等式/•”1)+/•⑺<0.

22.［12分］设函数y=/(x)(xeR,且工工。)对任意非零实数七,々恒有/(玉々)=/(玉)+/(々)，且对任

意x>l,f(x)<0.

(1)求/(-I)及〃1)的值；

(2)判断函数/'(x)的奇偶性；

(3)求不等式/(》)+小-日卜0的解集。

第三章综合测试

答案解析

、

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】C

9.【答案】C

【解析】因为函数/'(x)满足对任意的“”(桃〃为正整数)都有/(根+“)=/(附"(〃)且/⑴=2,所以

/(；7?+l)=/(m)-/(l),变形可得『("'+1)=/XD=2,所以++/(2020)=20[9〃1)=4038.

/(m)/(I)/(2)/(2019)

10.【答案】B

【解析】当时，S=5-二，所以图像是开口向下的抛物线的一部分，抛物线顶点坐标是0一]；

当r<0时，S^-+-,图像是开口向上的抛物线的一部分，抛物线的顶点坐标是fo-].所以选项B中的

2212)

图像满足要求.

n.【答案】B

[解析〃⑴Hr)<0可变成尸TS)〉°'①或H⑴一〃一期<°'②

x[x<0,[x>0,

Q/Q)是奇函数，在(0,+8)上是增函数，

.,.在(-8,0)也是增函数.

又/"(2)=0,2)=-/(2)=0.

不等式组①变成="一2)，解得-2<%<0；

Ix<0,

/(x)<0=/(2),

不等式组②变成解得0V%V2,

x>0,

・•・原不等式的解集是(-2,0)u(0,2).

12.【答案】A

【解析】Q函数y=/(x+1)为偶函数，，f(x)的图象关于直线尤=1对称.Q对任意石广2€口,北0)(国力々)都

有〃%)-1(%)>0，函数/⑴在口,+8)上单调递增，在(_双1)上单调递减.Q/(a—1)河(2a),

:Ja-1-1闫2a-1],..

13.【答案】4

14.【答案】1

15.【答案】［0,4］

16.【答案】(1,3)

【解析】当尤<3时，/(x)=-x2+6x=-(x-3)2+9<9,“X)在(—8,3)上递增,

1<%<4-l<x<3,

f——4,一匚葭解得.

由了卜2一2,</(3元一4),可得.

或〈一或«7BPKx^—或

3x—4W3,x>—,3

33

7

-<x<3,BPl<x<3,即有解集为(1,3),故答案为(1,3).

3

三、

17.【答案】解：(1)当。=工时，/(x)=x+—+2,xe[l,+oo),设VX],%且为<%，则

22x

]、

/(芭)—/(々)=%一々+^^=(%一%)1一V0,(再)<丁(巧)，,/(x)在［l,+oo)上单调递增,

4人।4212玉％2>

7

.--/Wmin=/(1)=--

2.r\.

(2)解：/(x)=--------^>0对无£口,+00)恒成立，即Q〉一一2%恒成立.

Qy=—炉—2尤在［l,+oo)上最大值为一3,/.a>-3.

(3)解：当aWO时，/(x)=x+-+2,为增函数；当OVaWl时，/(%)在工+⑹上为增函数；当。>1时，

x

/(%)在口,而)上为减函数，在［后,+0。)上为增函数.

18.【答案】(1)解：同意小鹏同学的看法.理由如下：

2

/(a)=/+3,/(-fl)=fl-4|a|+3,若/(x)为奇函数，则有/(a)+f(-a)=O,二储―2同+3=0,显然

2同+3=0无解，.,./(X)不可能是奇函数.

(2)解：若/(x)为偶函数，则有了⑷二4一。)，则由(1)得同=0,从而a=0,此时/(%)=X2-2闪+3

是偶函数.

(3)解：由(2)知/0)=炉—2|x|+3,其图像如图所示，其单调递增区间是［一1,0］和口,口).

19.【答案】(1)当0(xW10时，/(%)=-0.lx2+2.6x+43=-0.l(x-13)2+59.9,故/'(x)在OVxWlO时最

大值为/(10)=-0.1x(10—13予+59.y51当：10V尤<16时，f(x)=59.当16〈尤W30时，f(x)为减函数,

且〃x)<59.因此，开讲10分钟后，学生接受能力最强(为59),能维持6分钟的时间.

(2)/(5)=-0.1x(5-13)2+59.9=53.5,〃20)=—3><20+107=47<53.5.故开讲5分钟时学生的接受能

力比开讲20分钟时要强一些.

7

20.【答案】(1)解：由已知，得/(2)=--------=2.①

2m+n

由f(x)=2x有一个根为;，得=

即----=2x—=1.(2)

1,2

—m+n

2

由①②，可得加=〃=」.

3

3x

(2)解：Q由(1)可得/(%)=旦，

x+1

3.-

3x3%3x3

「•/(%)+f——+----1----=3.

X+11+1x+1x+1

X

/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+=/(2)+/Q^+/(3)+/Q^|

+/(4)+/+〃5)+/=3x4=12

5

b

=0,

/(0)=0,l+O2

a7♦I’所以

21.【答案】（1）解：依题意得I2即＜-+b2解得

2

5

55

1+-

4

国x（再一了2乂1一%々）

（2）证明：任取—1＜%＜马＜1，贝1/（%!）—/（々）=2

因为一1＜玉＜々＜1，所以不一々＜0，l+d＞0，1+4＞。.

又-1＜再了2＜1，所以1-石%＞0.

所/（%）—/（9）＜0.所以/⑺在上是增函数.

（