中科大《线性代数与解析几何》讲义

第零章预备知识

?0.1向量的线性运算

70.1.1向・及H表示

向0:速度.加速度.力等省.用一个有向线冷束表不它以人为a点4为

终点的有向炊仪所收小的向摄记为1信图1"还常用小号I。靶体字卅・/，...

夫记食H

果也■向取的人小相等.方向相同.就你这两个向十足相等的图T.5

中.京和W是机招■的向BL记作

■A%',

自由向量：能平移至任意起点的向步.

相反向H：两个向飞的大小相券而方向相反.

京向修

向盘粮及共向盘模的去小.

5.1.2向■的线隹运H

如黑两个向扳是相反向1ft.则其加显谓为零向只，就是

a♦>—■)=)-»)♦!=<>>

显然,还仃

■>QSO*B3U.

从饰形法则容幅壮明向盘的加法沙足交换旅.即

从图7.8不愿后出.向反的加法满足结台律

a+)b+c)=)・*b)+<,

因而可以略去括号而记

a•b♦<:=>»♦b)♦c=a♦H>♦c).

向IB的双法。数或的谶法一样.定义为加法的逆匕口

向量与数的乘枳.

电行向Ha和数A.则箕乘机区不道样一个向小.它的机等f向做好的模

之内信.当A大于事时它与a同向,与A小于零时。a反向(图7.9〉.

84*森&<£>识

由定义可知

0«=A

显然又日

i”r.

向迎的也懂切合.

利用向盘与软的兼视.向贵a可以表示为

・W1，

K中小我示9uM向的单位向现.由此用利

*.

即一个不为零的向♦除以它的虚启是小它同向的就他向■.

向H与数的乘税具有以卜性质

a>5b是给定的两个向it.irtAALp是任由常皎,则仃

从+川・=Aa+PH.

A)P«)=M)Aa)=)Ap)a.

A)a-»b)»Aa♦Ab.

7«.13向■的共殴与共面

同最共线.向小共面,(写何咏利任一个向V共找」

向用a.b共戊的充分必侥条件是.有次数A.使a=AbKb=Aa

向曜5-「共画的裔分心要条件是:其中-•个向上可以或成其余二个向H

的生性级令.

?0.2坐标系

在审间中」「取自。从八。和4，］.相而近的4线.依次记为OX.OY.OZ.

这样收得到一个直向坐林氏如果在坐标输6,。匚。上以。为4点分别取三

1、单位向以订」.其方向％轴的1E方向HI同.这些单■位向北林为坐标条。》;

的垢本单位向赋.

给定向a.过向母•的终点A件HY面分别与电标平面平行.且与各坐

标轴交干点X.XZ与知

破Ua\i.D7salj.6=att.

由向IB加法的二角形规则可饵

丽=5♦方=研♦工/；♦p,A=<5y♦。不♦灰,

?0.2钱标第3

an

a«Ui.w<ru♦©+uU.

它就是n技审木总位向"的分航式.应阳这个分解式.向H的加法,M法及

向慎。故的诉枳就可归站为标的相@JSO.F安匕设

)fri.^.W,ifaA足幡也明在

•■111/♦ail♦小匕b・比，♦6。♦fr.vt.

从而符51

a2b=)m1/(■)i+)aJtb：V♦)i

=)<iiifri,u，土E,;

A*=Anu♦A«?/♦AaM=)Kui,hu：,从，)

例021.已知两点A)am叱町£.也).求向电7?的坐标•

超如图7.13.作向量布与&.则

OA-Xn.a2.u»),OB=^1.hj.bi).

所以

AB=OU-<M=-G，A—a».

前电说向量正的电标等寸考点8的士机做去化也A的除尿□

例0.2.2.设点,P岳石向建&L价成定比A.因不弗=A.若12旬靠点AqH

的Q2标为Injiui)和XnM.n).求分点"的光标)i.y,r).

解m周改可包

gA丽.

芳林APH各点。原点。连成向fit.则有

op-a^MOB—on.

由此得到

OP=^-r)a\♦ACM)

因为

<M=.vi/*yU4zit，阳=x2,♦如♦2,OP■乂♦W♦人

代人后给出

……钞♦钟♦针

比较ij,A的时质系数即用

11+人12XLArt31♦

4WfeiR

Hit是空间极懂的定比分点公式.梢捌地.找改中点的黑林为

11+0钟+V，：1+:：

1-,•*-，•门-0

•・■

ttlfifta=M.s.*n)的起点在原点.这时热点A的半M就是

由空间网点的曲围公式行

|M|■OA■

?0J向■的内积

?0.3.1内积的定义

定义”.3.1.例个向H的内粗是个故世.它的大小是送蚂外向HL的模。或天用

的余住的喉枳.通常川口*1.b表小向M.•«b的内枳.

如果3.b=。怦a'ibiFN.

过它n的先用为自.K-^rn

•-b=|«M>s台.

?0.3.2内积的住所

l.»'jbi「交的充分必要条件Ua.b之为等同R或它KJ是互相垂白的

非零向址.

2.向BU向内积满足交换律

a.b=ba口

3.向I#的内祝满足分配律

)■*l>).csa.c*b.c.

4.向员的内枳。敝的乘积满足结介律

)Xa)b=X)a.b).

")33iS角坐标系下内积的计算

设结定两个向R

a=aw+«y+"«.b=/»ii+g+b凡

则有

aha加，+ay♦aU).珈，+fry+but)

«aibiX,i)+a用X.A+aW>X.*)

?0.3闾1的内加

♦oAX.»)•a囱M.力♦a如M-A)-

因为/JJ是八相垂定的单位向竣.所以

l.i^I,//=I.***I,

i.7«0,i,X«0,k,j■0.

从而得州

a-ba“曲♦ay>2♦a也.

这俄足说,两个向量的内枳珞于它打对极坐标束枳之和.

特-当a*b时,有

122

■.a=ni+a：♦由

•.■=|Bf.RrUf

hi■a

这与?.2.3中导出的同■楼的计算公式完全S.

设与b=>i,6j,E)之间的夹角有台.一由内取的定义可存

3.b“肉♦”如♦“的

3自=I....■,,-

1a阳彳；♦石.其

由于

X+b);=r+b;♦2>.b-UP+lbp*2|a|b|oo»台S曲|♦卬

所以有匚珀形不等式

1>1“bU…L

例。.3.1.证明Cauchy不'；K

)ui/>i*<nfe♦<nfri)35X]♦冠♦向闷♦网.曲

证ttas)ai.*ij.a))b8>i,/n.b,)Wff

a-•>=w-bi*azl>2+<i«b<.

[ap=<4+.♦，.M2=M♦..frj

由内快的定义“.h斗II中'台及"台ISI僧如

化它T成里卜•的形式.即因欲证的4；等式.

84*森&<£>识

?0.4向量的外积

?0.4.1外积的定义

定义(u.i.两个向JRU。h的外机是向瓜e它满年：

⑴若3与b的文用为台，则

卜|■|a阳丽台.

这就是说.向W。的帙在数值」.笄于以向比a*1h为邻边的中行四口戏的曲

枳(M7.19).

(2>向量c旗H于向什a与b所决定的平面.并ILa.Sc构成G子系机

•和b的外粉记成axkHl

€suXh.

70.4.2外积的性质

外枳Rff以下性明.

I.如果崎个向总共线.则它惘的外枳Q是瘁向H.反之.加枭两个“毓的

外方为手向量.则达眄个向心共畿.

2.号因子的次序。换时,外朋要改变管弓,就是

bxa=—8xb).

所以两个向*的外粮不清足交搂悻，□

3.向此的外枳与皎的乘枳满足钻合律

)Xa)xb"入)itxb).

从性质3乂可推配外枳与数的乘剧另外•&形式的拈合神

a")Ak)•X)a*b).

)Xa)»)yb)=X|l|flxh)

4向次的外枳滴是分配律

>♦b)xc=»xc*te«c.

由此又可推山外班的分配他的另一形式

Cx)1-hb)=CX«♦<Mb.

?0.4间4的外粗7

?0.43直角坐标系下外积的计算

利用外包的这“运亚仲成，就可以导出外根的电馀*示式设蚣支rti*向

fl

a=mt.g+“；£.h=价，♦勿♦toiJ,

WJ-K

a«b«)uu*ui+“&)*)t>ii♦fry•»&)

■0阚Nx»♦atbjV'j)♦aM¥**)

♦<et>ibx。+aJ>i»»)1♦arthVK«)

♦“SiMx。+Q曲Mx/>♦08iMxA).

因为，J.t是瓦相重N的灰拿手位向W.所以

/*i=0.7M/=O.*«Jt=o；

>■£■—AX/B4

Xxi=­1xk*/.

f是得我

axb=)aM-“5。+)u»bi-+)«&-“办)k

它可以利用三阶行列式"Ui

MUI.已知：他形的顶口A)1.2.3).B)3.4,5).0-I.-2.7).求“《?的面&.

建设所求二用形的面枳为工则由外枳的定义可怎

I——

S=；|ABxAC|.

*

但

7Gm4C=h-X-4.4),

_______»i*

AH»7Ci!I2

TT,

2222I1

'I-44I'-I-24l/*1-1-i

依&<0识

-16/—1^—41.

所以，____________________

S=[162+)—12尸+1)：=2"灵口

?»5向量的混合枳

?3双合枳的定义

定义•.£1,：2外,1个网■a.b.c.)•xb)ffj>)a.午故

S.

以・,Ec为峻的平行六面体的体枳V等『以・.b为我的平fjNii形的百

松S乘以1ftAW

V=Sh.

但由外积的定义可知

S=|aXb|.

坍方面,若设u,h。c的夹用为▼，携行

C|c|oa»V，

其中<p为锐珀时£=I,否则取£=-I.因而犯得

V=t|a*b||c|CCK.

SC>aMb).c.

其中CWI或C=-1使所得的体枳为止收.所以当%b.Cm或右手乐钱时JU

£=I.而m或左手系坎就取£=一1

混合枳为零的几何。义：三个向值共面.

?。52直角坐标示下混合税的计JI

泯介积计。公式:设a=M,<c*",b=如.也出)，c=}r.c.⑷,因为

ij1

伫6,501.1602,.

…；IIitc*I*.D*ll

...旬k&AjI*，修

a长'

所以

或用三箭行列式去示为

?0.6：UU9

例03.1.已知四面体的四个期点为川I.I.1)£»,4,4).。3.$.§),〃吐4.7),试求

注四面体的体粗.

解容劫君山，所求四面体的体枳V足以丸而前为知边的尸打六面

体的体供的六分之一.故

V=1Q.4B•A0.A7)\.

而

4B=)2.3,3),AC=)2,4,4),AD=)I,3,6),

所鼠

233

竦，而标244=

I36

于是得到V=I.Q

?0.6复数

?0.6.1量数的四剜运算

止敷单位上?=-1.

电教：0+电LAWH)称为乂数.“称为实今.白林为布加.

亚数的加法：)“*■诂)♦)＜••M=)a♦。m,由

曳敬的我法:Jtf♦叫一卜♦，力£卜一«)♦M一力

加+南))。+访=)农一+

na的除法：匕M=手与♦，「已

更费的共斑：；=。一加林为：=。♦命的共轨.杷为：

?0.6.2复数的同■表示

设平面中甘立/H用坐标系oxr.Vtt；=。+8唯对应/一个有序女

数内巴＞),而行序寞数对脑6)对应了千面中的•个点z.点z叉抉定了个

向情应因it复数与向M是一一对应的.

反欧的加法与对应向■的m法艮•致的.

?0.0.3月数的三角表示

改我较2=“+必对尬的向61为7)2.Aft应的K度，称为复数的黑囚

此r=a2*-bf._

以OX轴正向为始边」，饰OZ为馋边的角台称为支教二的幅肛个M

以的幅角行无限多个.梆七2n的整数倍K中满足0$台＜2n的衡布台原为

帼角主班，记作一

10«««依备即识

山定义知■若算数：♦小的模为r、g柏为台，则

a»b■rsiiifj

因虬复数nJ以表示为

；=，X«0台-♦，Mllft)

称为复故的三角形式.

乘法公式：

小人自♦ix*fj').rXxKfct?♦/sinfj：)

■C«JOM启》+台：)♦，*台1+台山

由此可律

[r)ax台♦i3'ft)T=/X**,台♦八inufj)

Euler公式：/*=cos台♦i“n台

第•幸空间解析几何

§1-1立线与平面51.1.1「0的方程

在向崎咆河中.过（IJE不同两点AH叫作条口鼓1.对IH«IHE*点PJlHAW.4/W4W.

故有实数I使得A-LA低，于是件利等式

OP«QAH-AB（1.1）

等式（1」）的出门税I上的所打点,等式U.1）称为农久1的数方■♦不向

»A-称为在线I的方南育鱼，时I称为敷设点A的坐标为3M）,A—的*”为:**.、.点P

的强机为ffeFlttI的罗跤力双4与成坐标形式

x=ai,tn

yw・SI;wU”从方程（）.2>中<1.2）

i.I!l可fifirtrtl的点向式方修

X-ajr-Xl—UJ

1（1.M

UiUIU$

”.1.2点值的距离

/

X

N

u

e

ttfwt।过点人方向H*u.p为中间中仔意…a・过&p作近度i的。绥

#心为B.「热•由P『近找I的距离

.------..#uAP.InxXFI/«

HPMBHl»0---------=Rf>_・。*._(l.M)

M.IJW1的他•关*

向量身间中的任理声第良tfiI：和”,它的可■儿面,产行,一交、里合)或

HA).

暧I，过点16・.3.方向向量UOJi.Ui.U)y.B(b.K8”，方

向向鼠V二《小V，、》.两箫自级的点向式方程分别为

"X•tpy-ui;-a.?_&，

U.U3UJV.VIVj

IJ,1?共用89无力。跳条件艮I.真武.BJ

u»T-AB=Q(1.5)

h和1:的方向向1URV所失的胡向成江角移为国六能II和I：的”角

i.wi：h.并firr殴m与h.i：居垄H.nsirD豚为所

，，,I，力善善心■.公里堪段CD的长度IE戟为两出SU，和“的IB窝

=*1iifftjTIfH.「利I：的JBlUt等卜，n>h的小点叵叫“"；hfo1：小早

行时,因为8专口十掰以CD.VXV.CD入Y・xV方向L的

段.-u.»

%.in.r-A—Ig

e・lux*1"句

il.MIB的方&

在内・空间中.tttti-jfiM育唯一的串面。。给定的窜军育・B垂出.

有干干蔺・上任茗点P,推“M-1».即

Mf-n0<1.7)

反之.•是等K（L7）的戌P•定在平面•上.等式（L7）称为平面n的底也D

程.I次向!d・林力Tiiin的法Wm,M的坐标力配.皿mA•的坐标为

（丁*）,由？的11比为CNJO.千显》旧《1:）可与改斗杯超大

iu(r-nt~rGmd*■*JIInu)-0<1.81

tt”代5B)展开Q4.X."稣，『面-itittn

As-C：，D-0(1.9)

月中A-h.B=-XC=7D=-(mn.*-ms-2*W*?).

U.L5点餐■的IE合

设干Itfe的-By-CLl>-0L法向ii・-<A.B.C）.

“WOiaf近e上/您?•,尸£）•.：/为中闰中任京一以。过由P件干11«

的系我.由定为Q.dPMf⑶n的即IS

iQifM-R触1-7，、&•机"："3Ml1-W

因为“Qdf«1nh.所以Ax.-R卜"C、，D=0»由此将

(1.10)

JUi

曰I行间中的“@两个Tfllz和的.它们叫・平打.,交或就介.

谀的M的Tt方程分

4ur*Ay•0.nAx*BA♦CZ*D0

・灼法向I*■，=5.R,Cli内的法向18期二以、笈。)所关的锐角或订用bft：为

两Tifi/和■的夹角.

专nfi】a共HJE九色/直fir或正介tt.47SCI=DI网内干面

1'h,若AWlCl。则两十面整合.此时.甲后下面或和的的电离道等于

a上任痉一点我平面|»的独出.

与■和n：不共筑时.两千面相之于一条五蝶I.方程熨

JAitIRytC"♦fXO

(2K・fi-y♦OZ+0<L11)

也杯为育风】的■方程

对过一*过线可以作无取多个千!ft,因此口是可以之小岐为两个平面的安

然：由己如直找的点向大方也(1.3)("立“。),可以祖旨M也写出宜烧

UiX—»T»6w?-C<3)l=0

的Tft力N

5X—Q：“*=0

thAttm量力已a.ID求直线的点向式方电.小座当田先求山方已«

C1.III的•个解即。践上的个点《3m修)第。陵的方曰向曜•>=et8.塔丽代

入我点向忒方嶷(1.3)+.

§t.23中介蝌了求构*惇南H线h«H:的rt>圉侑方法,现。给出来1，初匕

的公&妞Ifftf/it.收1攵线瓦同心的方向分窗为H和，贝lj・Xv为I的方向为

量.b刊1任成的平直•共有"向&QX・)Xu.I:«I条成的平而力，具fjit

向奴3NgXV.于也可以先求出afUE的方代，I正是11fli力，的交珪.W热.

也可以先求出Ift儿”5左足.解后求di।的方程.

5M.TIa**前位r"

向岫空口中的保。•条立线I和个平曲c它力可■平h.楙交皿魄汴

出它。力力>?分别为

r•dr+Ay+Ct+I)

I?,U2u.«

诬1的方向向0L=(u.S.5)“力的法向61n=6UT.G场夹的KJ用或也附为

U杯=2©="c*r.与衲体为自投I和千面•的夹・

'।•K.n^«SW.I-n行中的交点.可通过就理性方祝加

妁坐标《件u和n住£1时.为心,&I，•C»,J•。“剜I削■有公共点，

■2,1.«).I任nht若Aii•Mu♦Cat*/)4HfI&】nTlr.

§1.2空间曲线与曲面

§12.”总和；M的方*

Fft；(xQf.j«)sCt))(l.12)

ii.乐空同时战.U⑵称为诜曲线的驯・方■:

P6j>-(1.13)

表示…个*m.<ir3｝坏力近住山的二盘方，।

，—o(1.11)

的CJ,，/的便合用爆个曲J(I.”)杯为濡巾面的皎方■，涓足

(115)

的怠ky./ftl梨含富足两个包。0的如.(1.15)

«•为退』第的最方*

5IJJ忖・

由£子行汽修正健力传曲叫许■.母"咫蝮叫便制II的母・.楼窗上。

每条・ttHM文的篇曲拨叫BU上面的*1.过程提上的扑京作T行T博

雄力向酹「钮.Anvt茶”.・弋trr忏林动.乂盛力将条不鹿滔c

・注作平打穆语,如可EL褥fmis.，母.iwrftv-.si,准线的

8欢方程.(@(向①史⑷龄但八期^的兵行参数方程

Pb,t)=«u♦p(t)(I-16)

S1X5«®

由俵及过给定点的直理用tft的曲面叫・・•这些n线叫M篌雷的・*

“个定点国愀像面的U.馈面上与二条・线刘相交为包不经过旗点的一条曲

线叫/悔面的一条冷■W准段k的善」明育履熊玷起求.故可以傅到

诳面.殿恰,设项点匕"1*1).冷拄的与牧，，斤p(D=30>加(。6«”.喇惟

而R有参数方程

P(Sil•(I—R)A»廿)(I.17)

佥/(«.V.Z)R个齐次等项式.ci>f(»,>.tj«anjmffi*tt।«a

ficrjjMl-6因此.f(K>.ri。il•»»»(!，衣卜一个两方在反点的惟nr.V

fixate次的平曲的文戊打出让的一条准线.

由竹中卜俏♦一纯Y筑若-刖?1旬|&特*产生的曲面n付加•雨・Y叫

总能珏明的于午■.I叫,翼塔内的,

次曲面南介

.次多跋式•收有形式

0广.cjiiri*AOZ♦喳寸♦a：>«•a♦tr>x#a：f■*at~u0

茨由旬。为二次的・常虹的二次曲面华

W

I.HG,，♦%=।(a>0j>>0x>0)

.

工

2.单叫双ife面%••Ci-1««>0>>0^>0)

3•双叶双曲面，」詈一J=I3Q2QQU〉/〉J

4..二次除前一2♦a10<3A0ll>叱>0>

5.懈38遂论］：，=%

6.相由X」••«(»>奶>

〃用热不宜你除与・*.可岂此看作是6：平面上的烟物娠，・%汨

tte：丫二」俯M拘坨”打行前动时我.

ii

7.-2-ti(4>(i.b>o>

3.。曲校面2I（—＞。卜＞。）

9,柚物杵而｛p>Q

第二章线性方程组(SystemsofLinearEquations)

n个变J8xi.•••,xn,m个方程的殛性方程组：

I1X1♦a)2Xj+—+arnxn«bi

'(ajjXi♦a22x2♦•”+a&iKd=3

!::

arflix14amgX2++AmnXn=bm

若将Xi=Ci.■■­,xn=5代入上述方程等式都成立，则称＜C1-6)为该方程蛆的

一组蝌(solution)

几个基本问鹿

・方程组是否存在解？如果有解，有几个解？

・如何求方程组的解？

«解的公式表示

•解的几何结构(如一个二元一次方程表示一条平面直线)

§2.1Gauss消元法

基本思想：将方程组三角化，再回代求解

t3xi42x3-x3»6①fXi♦3x2«2x3•9④fXi♦3X2♦2x),⑦

!,(9

③

.Xit3x；t2XJ~9②—,2xt-Xj+3xs=3Y

,-7K-X?«-15

12xi-W+3X3=3①“3xi+2X2-xa-6⑤一2($>

«-7X2-7X3>-21

fXt♦3x；♦2X3・9fXi+3X2・7

一―-'-7x2*Xa•-15—&—代'.-7Xa-14

一.乂2=2

6X3=6X3»1*x.-1

例2.2

♦3xa44x4=-3

-3x3-9x4-4

fXi=1-21,512

三个基本变换

(1)交换两个方程；OiiQ

(2)某个方程乘一个非零京敛CMo.

(3)某方程乘一非零维数加到另一个方程CMOi+OI

定理21三个基本变授将方程组变为同解方程组因此不会产生增根

§22Gauss消元的矩阵表示

解方程组的时候,变元不参与运算因此可以省去变元

由新考虑例2.1

XiX2X)1

9)\

\'1329

T5)一-7-1-15

2-13。Q2-1后A-7-7-21nnAR

于是例2.1种的线性方程组等价于

(3xi♦2^2*X3=6

।

<-7X2-72X3=-21

(6x3■6

两个进一步的例子

2

亶新考虑例2.2

密经4.2x2♦3々+4x«»-3

・1+2r；l—hja1

k，r.IQr.ati

迂（3X1+6X2-3X3-24X4-7

例2.3:无解实例

4|pX|~2七+5Xa+4x4a2

修6xi-7Ki♦4xj♦3x4-3

9町-9xj♦9X3♦7x4=-1

§2.3一般战性方程组的消元解法

1.算法描述

2.最终形式

定理2.2线性方程组的解如下

情形1di^O.ielr+1——.ml.方程也无解

情形2d・0,l-r+1.—・.m且r・n,方程有唯一弟

情形35=0.1=~1,….m,rvn.方程有无穷多解凶为非独立

未知数，其余为独立未知数（共有n-r个），记为％-小，.则方程的通解可以写浅

h.一・的线性组合

对于齐次方程,只有情形23发生

推论2.1齐次线性方程组有非零解充要条件为rvn,只有零解条样为。，=a

推论2.2若mvn,则齐次线性方程组一定有非零解

回头看本章开头卷出的几个基本问题：11）篝的存在性与唯一性间题巳解决"2）

求解问鹿已解决;我们还需继续研究方程的公式解及解的几何结构

对于n=3的情形,由于每个方程表示三雄空间中的一个平面，因此万程蛆的第

将是一些平面的交集，因此解集可以是一个平面,一条直线一个点或空集这里，

r是决定解集的一个非甫变更的员！

几个新的问题

1.如何从原方程组判别解的存在性唯一性及多解？

2.如何从原方程组直接的定e

3.r是否唯一？

4.解集的大小与r有何关系？

5.直接从原方程获得解析《公式）解

为阴究方程矩的蟀折（公式）解，我们将引入行列式的概念为斫究方程组的解得

璃性（存在性,唯一性等）.我们引入距阵的运口I特别是乘法运好I为研究统性方程出

的解集的结构，我们将引入找性空间的慨念

境性方程组

行列式矩阵线性空间

课堂作业

1.求下列线性方程组的通耨：

I

■

、《印匕+12|匕-加b+&11?=3

[4北i+6如+3如-#=3

2北…3北2♦印卜・”匕・3

2A为何值时，下列线性方程组有解？并求解：

f2x,-X2+x3♦K,.1

(

,Xi♦2x2-X3*4M«2

¥

Xi+7X2-4X3♦11x«=A

3•,是否存在数域F使RUFCC?

第三章矩阵与行列式

?3.1矩阵的概念

对任意正整数rnftln）ffimn个数或不定元撑成的而n列的去

/、

a”®<2•・・3i

电1822•••®Zw

®（ni&n2«••斯»，

称为一个E・n蛆阵.表中的每个数或不定元称为矩阵的元素.挣在第1行第j

列的元素即称为理芹的第化j>元素:当i・i时）a,也称为两阵的对角元.迂降

（31）通常记为阿心两个电阵相答）当且但当它们的行数和列数都相等）且每

个位置上的元素都相等.下面介培几种常见的电阵名称.

•n•n矩国标为n加方阵.

•元素都是0的矩阵称为本速降）通期记为0.

•对角元是1其它元索都是。的方阵称为单位阵）通京记为L

•对角元是a其它元寓都是。的方（5梆为数量阵）通京记为al.

•若方阵A=（abh•.渤足劭=0对所有i■成立）A称为对角库）通常汜为

A=dlag（an.....am）.

・若矩阵A•（即）强.满足南•0对所有r成立）。她称为上三角阵.

•若矩阵A-（a,）m,「满足a,-0对所有IVj成立）则十为下三角阵.

•若方阵A=I即隔履足a,=4对所有I.j成立）》!）A称为对称这.

•若方陈A=（\）m“满足的=a对所有i।成立）则小为反对称陈.

•若方阵A・（ajn.曲每行.每列都怡有一个元素等于1且其他元素都等于

。）则AFR为置换芹.

•若矩阵砥元素都取自反个敷域F）则函为数域F上的矩随.特别）若A的元

素都是复数.买数.有理数.整数.多项式、...）IWA分别将:为袋萍屿.实矩

阵、曲S矩阵、整雌旺、多顼式走灯、….

?3.2矩阵的运算

?3.2.1加法和故我

设拓库A-(叫)-阑8・(6)F.,)A；8一个数或不良元)则

/.

a，，+5，aiz+0«««Mai.4b”：

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