2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）双曲线=1的一条渐近线方程为()A．3x﹣4y＝0B．4x﹣3y＝0C．3x+2y=025分）已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（tln（2t+1则该质点在t＝2s时的瞬时速度为()A．1B2C235分）等比数列{an}中，a7＝2，a11＝8，则a9=()45分）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P（B|A）=()E(e)=E(e)=0，D(e)=σ2=x+，对应的残差如图所示，模型误差()A．满足一元线性回归模型的所有假设B．满足回归模型E（e）＝0的假设C．满足回归模型D（e）=σ2的假设D．不满足回归模型E（e）＝0和D（e）=σ2的假设65分）设n∊N+，则5c+52c+53c+⋯+5nc除以7的余数为()75分）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（2，+∞)时，f′（x）＜0，当x∈（0，2）时，f′（x0，且f（30，则关于x的不等式（x﹣1）f（85分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若{an+1﹣an}是公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，⋯,则第40层放小球的个数为()A．1640B．1560C．820D．780二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）已知随机变量X服从正态分布N（1，32则下列结论正确的是()A．E（X）＝1，D（X）＝9B．随机变量Y满足2X+Y＝4，则E（Y）＝4C．P（X＞1）=D．若P（X＞2）＝p，则P（0＜X≤1）=p（多选）105分）已知y与x线性相关，且求得回归方程为=x+3.5，变量x，y的部分取值如表所示，则()x30405060y25304045A．y与x负相关̂B．b=0.7D40，30）处的残差为1.5（多选）115分）已知集合M＝{0，1，2，3，4，5}．下列说法正确的是()A．从集合M中任取4个元素能够组成300个没有重复数字的四位数B．从集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数C．从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码D．从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种（多选）125分）抛物线：Γ：x2＝4y，P是Γ上的点，直线l：y＝kx+4（k≠0）与Γ交于A，B两点，过Γ的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则A．|PF|的最小值为1B．|PQ|的最小值为1D．若∠PFA＝∠PFB，直线PF与l的斜率之积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.135分）有朋自远方来，乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，则他迟到的概率为．145分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种用数字填写答案）155分）已知数列{an}满足2a1+22a2+⋯+2nan=n(n∈N∗)，bn=l092an⋅92an+1，Sn为数列{bn}的前n项和．若对任意实数λ，都有Sn＜λ成立，则实数λ的取值范围为．165分）已知函数f（xex﹣2lnx，g（xa2x2+x﹣2lna（a＞1若f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）在(x)8的展开式中．1812分）数列{an}满足a1＝1，an+1n2+n﹣λ）an（n＝1，2，…λ是常数．（1）当a21时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．1912分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了以下统计数据：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下6540岁以上（包含4060合计200（1）完成2×2列联表，并判断依据α=0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）.附：X2=(a+b)(b+d)，n=a+b+c+d.α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.8282012分）设函数f（xex﹣ax，x≥0且a∈R.（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围.2112分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，⋯,①直接写出p1，p2，p3的值；②求pn+1与pn的关系式（n∈N*并求pn（n∈N*）.2212分）已知椭圆c：+=1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，直线x＝m与椭圆C交于A，B两点，且△ABF1的周长最大值为8.（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为（O为坐标原点D为射线OP上一点，且|OP|＝|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|=|ED|，求四边形OPEQ的面积.2022-2023学年湖北省武汉市5G联合体高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）双曲线=1的一条渐近线方程为()【解答】解：由=0，得=，得y=±x=±x，故选：D.25分）已知某质点运动的位移y（单位；cm）与时间t（单位；s）之间的关系为y（tln（2t+1则该质点在t＝2s时的瞬时速度为()【解答】解：因为y（tln（2t+1所以y'(t)=，所以该质点在t＝2s时的瞬时速度为y'(2)==.故选：B.35分）等比数列{an}中，a7＝2，a11＝8，则a9=()【解答】解：因为等比数列{an}中，a7＝2，a11＝8，所以a92＝a7•a11＝2×8＝16，又因为a9与a7符号相同为正，所以a9＝4.故选：C.45分）甲乙两位游客慕名来到赣州旅游，准备分别从大余丫山、崇义齐云山、全南天龙山、龙南九连山和安远三百山5个景点中随机选择其中一个，记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好一人选择崇义齐云山，则条件概率P（B|A）=()【解答】解：由题知，P(A)==，P(AB)== 所以P(B|A)===.故选：B.E(e)=E(e)=0，D(e)=σ2y=bxy=bx+a，对应的残差如图所示，模型误差()A．满足一元线性回归模型的所有假设B．满足回归模型E（e）＝0的假设C．满足回归模型D（e）=σ2的假设D．不满足回归模型E（e）＝0和D（e）=σ2的假设【解答】解：由散点图可以看出，图中的散点不能拟合成一条直线，且不满足D（e）=σ2.故选：D.65分）设n∊N+，则5c+52c+53c+⋯+5nc除以7的余数为()【解答】解：1+5∁n1+52∁n2+53∁n3+…+5n∁nn﹣11+5）n﹣17﹣1）n﹣1=c•7n−c•7n﹣1+c•7n+⋯+c−1•7(﹣1）n﹣1+c•(﹣1）n﹣1，故除了最后2项外，其余的各项均能被7整除，故它除以7的余数即为﹣1+(﹣1）n除以7的余数，即为0或5，故选：A.75分）已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（2，+∞)时，f′（x）【解答】解：由题可知，f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞)上单调递减，又∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0，且f（x）在(﹣∞,﹣2）上单调递减，在(﹣2，0）上单调递增.f(x)＞0f(x)＜0不等式（x﹣1）f（x0等价于x−1＞0或x−f(x)＞0f(x)＜0）＝∴x∈3，0）∪（1，3故选：C．85分）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若{an+1﹣an}是公差不为零的等差数列，则称数列{an}为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，⋯，则第40层放小球的个数为A．1640B．1560C．820D．780【解答】解：设第n层放小球的个数为an，由题意a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，……，数列{an+1﹣an}是首项为2，公差为1的等差数列，所以an−an−1=2+(n−2)=n(n≥2，n∈N∗)．故an=a1+(a2−a1)+⋯+(an−an−1)=1+2+⋯+n=n(n+1)，故a40=×40×41=820．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）已知随机变量X服从正态分布N（1，32则下列结论正确的是A．E（X）＝1，D（X）＝9B．随机变量Y满足2X+Y＝4，则E（Y）＝4C．P（X＞1）=D．若P（X＞2）＝p，则P（0＜X≤1）=p【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（1，32∴E（X）＝1，D（X）＝9，P（X＞1）=，故AC正确，∵2X+Y＝4，∴E（YE（4﹣2X2E（X）+42+4＝2，故B错误，∵P（X＞2p，∴P（0＜X≤1P（1＜X≤2P（X≥1P（X＞2）=p，故D正确.故选：ACD.（多选）105分）已知y与x线性相关，且求得回归方程为=x+3.5，变量x，y的部分取值如表所示，则()x30405060y25304045A．y与x负相关̂B．b=0.7D40，30）处的残差为1.5【解答】解：x==45，y==35，∴样本点的中心为（45，35代入=x+3.5，̂̂得35=45b+3.5，解得b=0.7，∴y与x负相关，故A错误，B正确；̂取x＝40，得y=0.7×40+3.5=31.5，则（40，30）处的残差为1.5，故D正确.故选：BCD.（多选）115分）已知集合M＝{0，1，2，3，4，5}．下列说法正确的是()A．从集合M中任取4个元素能够组成300个没有重复数字的四位数B．从集合M中任取3个元素能够组成52个没有重复数字的三位偶数C．从集合M任取3个元素能够组成90个三位密码D．从集合M中任取3个元素，其和是3的倍数的取法共有7种【解答】解：对于A，取4个元素组成无重复数字的四位数，若取0，有CCA=180，若不取0，有CA=120，共有180+120＝300，故A正确，对于B，M中有3个偶数，若末位为0，有A=20，若末位为2或4，有CCC=32个，共有20+32=52，故B正确，对于C，集合M中任取3个元素能够组成A=120个3位密码，故C错误，对于D，三个数和为3的有（0，1，2）有1种，3个数的和为6的有（0，1，51，2，30，2，4）有3种，3个数的和为9的有（0，4，51，3，52，3，4）有3种，3个数的和为12的有（3，4，5有1种，故共有1+3+3+1＝8种，故D错误.故选：AB.（多选）125分）抛物线：Γ：x2＝4y，P是Γ上的点，直线l：y＝kx+4（k≠0）与Γ交于A，B两点，过Γ的焦点F作l的垂线，垂足为Q，则()A．|PF|的最小值为1B．|PQ|的最小值为1D．若∠PFA=∠PFB，直线PF与l的斜率之积为【解答】解：A．设P（x0，y0则|PF|＝y0+1，∵y0≥0，∴|PF|min＝1，故A正确，B．设E（0，1⋅=0，则Q点的轨迹为x2+(Y)2=(x≠0)，设R（0P（x0则|PQ|min＝|PR|min，∵|PR|=x+()2=(x0−2)2+6≥6，则|PQ|min＝|PR|min=6，故B错误，C．设A（x1，y1B（x2，y2将y＝kx+4，代入x2＝4y得x2﹣4kx﹣16＝0，则判别式Δ=16k2+64＞0.则x1+x2＝4k，x1x2=﹣16.则y1y2=×==(−)2=16，由F（0，1）得FA⋅FB=x1x2+（y1﹣1y2+1x1x2+y1y2y1+y2）+1=﹣7﹣4k2＜0，则∠AFB钝角，故C正确，所以x0x1（y2+1）+（y1﹣1y2+1y0﹣1x0x2（y1+1）+（y2﹣1y1+1y0﹣1∴x0x1y2+x0x1+（y0﹣1y1y2﹣y2+y1+1x0x2y1+x0x2+（y0﹣1y1y2+y2﹣y1+1则•x1x2（x2﹣x1）+x0（x1﹣x2）+（y0﹣1x−x0，∴5x0+（y0﹣1）＝0，即5x0+2k（y0﹣1）＝0，即k•k1=，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.135分）有朋自远方来，乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，则他迟到的概率为0.22.【解答】解：因为乘火车、飞机来的概率分别为0.6，0.4，迟到的概率分别为0.3，0.1，因此他会迟到的概率为0.6×0.3+0.4×0.1＝0.22.故答案为：0.22.145分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有16种用数字填写答案）【解答】解：没有女生入选有C=4种选法，从6名学生中任意选3人有C=20种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20﹣4＝16种.故答案为：16.155分）已知数列{an}满足2a1+22a2+⋯+2nan=n(n∈N∗)，bn=log2an⋅g2an+1，Sn为数列{bn}的前n项和．若对任意实数λ,都有Sn<λ成立，则实数λ的取值范围为[1，+∞).【解答】解：∵2a1+22a2+⋯+2nan=n①,∴2a1+22a2+⋯+2n+1an+1=n+1②,②﹣①得2n+1an+1＝1，∴an+1=，当n≥2时，an=，当n＝1时，2a1=1⇒a1=，满足上式， 故an= 故an=log22−nlog22−(n+1)1111n(n+1)====故λ≥1，即实数λ的取值范围为[1，+∞).故答案为：[1，+∞).165分）已知函数f（x）=﹣ex﹣2lnx，g（xa2x2+x﹣2lna（a＞1若f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞)上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(，e].【解答】解：f（x）=﹣ex﹣2lnx关于x轴对称的函数为y＝ex+2lnx，因为f（x）的图象与g（x）的图象在[1，+∞)上恰有两对关于x轴对称的点，所以方程ex+2lnx＝a2x2+x﹣2lna在[1，+∞)上恰有两个不相等的实根，即a2x2+x﹣2lna﹣ex﹣2lnx＝0，即a2x2﹣ln（a2x2）+x﹣ex＝0，即eln(a2x2)−ln(a2x2)+x−ex=0，即eln(a2x2)−ln(a2x2)=ex−x在[1，+∞)上恰有两个不相等的实根，所以函数t（x）＝ex﹣x在[1，+∞)上单调递增，所以ln（a2x2x，即a2x2＝ex，a2=，故原问题等价于y＝a2与y=在[1，+∞)上恰有两个不同的交点，令ℎ(x)=，x∈[1，+∞)，则ℎ'(x)=ex(2)，x∈[1，+∞)，当1≤x＜2时，h′（x0，当x＞2时，h′（x0，所以函数h（x）在[1，2）上单调递减，在（2，+∞)上单调递增，又ℎ(1)=e，ℎ(2)=，当x→+∞时，h（x）→+∞,如图，作出函数h（x）在[1，+∞)上的大致图象，要使函数y＝a2与y=在[1，+∞)上恰有两个不同的交点，因为a＞1，所以＜a≤e，所以实数a的取值范围是(，e].故答案为：(，e].四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）在(x)8的展开式中．【解答】（Ⅰ）(x)8展开式的通项Tr+1=cx8﹣rr2）rcx8﹣3r得：则T32）2cx8﹣6＝112x2．（Ⅱ）由（1）得：令8﹣3r1，解得r＝3，所以T4=(−1)323cx−1=，1故含项的系数为﹣448．x1812分）数列{an}满足a1＝1，an+1n2+n﹣λ）an（n＝1，2，…λ是常数．（1）当a21时，求λ及a3的值；（2）数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式，若不可能，说明理由．【解答】解1）由于an+1n2+n﹣λ）an（n＝1，2，…且a1＝1，所以当a21时，得﹣1＝2﹣λ，故λ＝3．从而a322+2﹣3）×13．（2）数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，an+1＝（n2+n﹣λ）an，得a2＝2﹣λ，a36﹣λ2﹣λa412﹣λ6﹣λ2﹣λ若存在λ，使{an}为等差数列，则a3﹣a2＝a2﹣a1，即（5﹣λ2﹣λ1﹣λ，解得λ＝3．于是a2﹣a1＝1﹣λ2，a4﹣a312﹣λ6﹣λ2﹣λ24．这与{an}为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{an}都不可能是等差数列．1912分）随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇．为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统所以X所以X2=20)2≈12.531＞10.828，选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下6540岁以上（包含4060合计200（1）完成2×2列联表，并判断依据α=0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车”的人数，求X的分布列及数学期望E（X）.附：X2=(a+b)(b+d)，n=a+b+c+d.α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828【解答】解1）由题可知：选择新能源汽车选择传统汽车合计40岁以下653540岁以上（包含404060合计95200所以至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.（2）由题可知，从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽取，抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为0.4，所以X～B（3，0.4所以X的可能取值为：0，1，2，3，且P(X=0)=C×0.40×0.63=0.216；P(X=1)=C×0.41×0.62=0.432；P(X=2)=C×0.42×0.61=0.288；P(X=3)=C×0.43×0.60=0.064；所以X的分布列为：X0123P0.2160.4320.2880.064数学期望E（X）＝1×0.432+2×0.288+3×0.064＝1.2.2012分）设函数f（xex﹣ax，x≥0且a∈R.（1）求函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≥x2+1恒成立，求实数a的取值范围.【解答】解1）f′（xex﹣a，x≥0，当a≤1时，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在[0，+∞)上单调递增；当a＞1时，x∈[0，lna）时，f′（x）≤0，则f（x）在[0，lna）上单调递减；x∈（lna，+∞)时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，lna）上单调递增.综上，当a≤1时，f（x）在[0，+∞)上单调递增；当a＞1时，f（x）在[0，lna）上单调递减，在[0，lna）上单调递增.（2）方法一：ex﹣ax≥x2+1在x≥0恒成立，则当x＝0时，1≥1，显然成立，符合题意；当x＞0时，得a≤ex−2−1恒成立，即a≤(ex−2−1)min记g(x)=ex−2−1，x＞0，g'(x)=(ex−x)(x−1)，构造函数y＝ex﹣x﹣1，x＞0，则y′＝ex﹣1＞0，故y＝ex﹣x﹣1为增函数，则ex﹣x﹣1＞e0﹣0﹣1＝0.故ex﹣x﹣1＞0对任意x＞0恒成立，则g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞)递增，所以g（x）min=g（1）＝e﹣2∴a≤e﹣2，即实数a的取值范围是(﹣∞,e﹣2].方法二：≤1在[0，+∞)上恒成立，即(x2+ax+1)≤1当a≥1时，h（x）在（0，1）单增，在（1，+∞)单减，则ℎ(x)max=ℎ(1)=≤1，得a≤e﹣2，舍：得0＜a＜e﹣2；当a＝0时，h（x）在（0，+∞)单减，成立；而e1﹣a≥1﹣a+1，显然成立.综上所述，a≤e﹣2，即实数a的取值范围是(﹣∞,e﹣2].，2112分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，ⅆ,①直接写出p1，p2，p3的值；②求pn+1与pn的关系式（n∈N*并求pn（n∈N*）.【解答】解1）X可能取值为1，2，3，p(X=1)==；p(X=2)==；p(X=3)==，所以随机变量X的分布列为X123P 3 3 5 1 （2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且n次传球后球在甲手中的概率为pn，n＝1，2，3，则有p1＝0，p2==，p3==，记An表示事件“经过n次传球后，球在甲手中”，An+1=An⋅An+1+An⋅An+1所以pn+1=P(An⋅An+1+An⋅An+1)=P(An⋅An+1)+P(An⋅An+1)=P(An)⋅P(An+1|An)+P(An)⋅P(An+1|An)=(1−pn)+pn⋅0=(1−pn)，所以pn+1=(pn)，且p1=，所以数列{pn}表