2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则()A．N⊆MB．M⊆∁UNC.∁UM=∁UND．M⊆N25分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件35分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()45分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题y，z（单位：本现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有()5知定义在（0，函数f（x）从x的平均变化Δ−f(x)=x++x−x2+⋅Δx，则f（x）的单调增区间是()A0，+∞)B0，1）C1，+∞)D2，+∞)65分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e=2.71828⋯)拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym2036.654.6zn2.433.64̂已知回归方程z=0.52x+1.44，则m的值约为()̂A．1.96B．2C．6.985分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）95分）已知随机变量X服从二项分布B(8，)，则()A．E（X）＝4B．D（X）＝3C．P(X=2)=D．P（X＝3）＝P（X＝5）（多选）105分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有()A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f(﹣x）为偶函数B．若f（x）+2f(﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数（多选）115分）已知函数f（xax﹣sinx，x∈[0，]，则下列结论正确的有()A．当a=时，f（x）在x=处取得极小值B．当a=时，f（x）有且只有一个零点C．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1（多选）125分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则()A．2张有奖券分给同一个人的概率是B．2张有奖券分给不同的人的概率是C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。值：.145分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第个项目中的成绩排名最靠后，在第个项目中的成绩排名最靠前填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百μ7175σ4.92.13.64.3155分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则的最小值为.165分）已知不等式x2≤ax+b≤ex对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1710分）已知函数f（xx3﹣3x2+6.（1）求f（x）的极小值；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值.1812分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*.（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值.1912分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表.选择课程A选择课程B总计男生女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：X2=(a+b)(b+d)，n＝a+b+c+d.P(χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.8282012分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x4．当x∈[0，2]时，f（xx2﹣ax+2a﹣2（a＞0）.（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围.2112分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，且各局比赛胜负相互独立.（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛．研究表明：n越大，某一方赢得比赛的概率越大．请从数学角度证明上述观点.2212分）已知函数f(x)=ax2−lnx−1与函数g（xex﹣ax有相同的最小值.（1）求实数a的值；（2）求不等式ex−1x＜0的解集.2022-2023学年江苏省苏州市高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。15分）已知M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，则()A．N⊆MB．M⊆∁UNC.∁UM=∁UND．M⊆N【解答】解：∵M，N是全集U的非空子集，且N⊆∁UM，∴M∩N=∅,∴M⊆∁UN.故选：B.25分）已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“a＞b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若log2a＞log2b，则a＞b＞0，此时充分性成立，若0＞a＞b，则log2a＞log2b无意义，则必要性不成立，故“log2a＞log2b”是“a＞b”成立的充分不必要条件，故选：A.35分）曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()【解答】解：由y＝e﹣x+1，得y′=﹣e﹣x，﹣1，可得曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线方程为y=﹣x+2.如图：A（2，0联立x+2，解得B（1，1∴曲线y＝e﹣x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为×2×1=1.故选：C.45分）为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题y，z（单位：本现了解到：①x＞y＞z＞0；②4z＞x+y，则这些数学专著至少有()A．9本B．10本C．1【解答】解：因为x，y，z∈N*，x＞y＞z＞0，不妨先令z＝1，则4z＝4＞x+y，此时由于ymin＝2，xmin＝3x+y）min＝5＞4，不合要求，舍去；令z＝2，则4z＝8＞x+y，此时ymin＝3，xmin＝4x+y）min＝7＜8，满足要求，故这些数学专著至少有2+3+4＝9本.5知定义在（0，+∞)上的函数f（x）从x到x+Δx的平均变化率为f(x+Δ−f(x)=x2+⋅Δx，则f（x）的单调增区间是()A0，+∞)B0，1）C1，+∞)D2，+∞)【解答】解：根据导数的定义得：f′（x）=Δxli0f(x+Δ−f(x)=Δxli0（x2+⋅Δx）==x1，令f′（x0，解得x＞1，故f（x）的递增区间是（1，+∞).故选：C.65分）云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型y＝aebx（其中e=2.71828⋯)拟合，设z＝lny，得到数据统计如下表：年份2018年2019年2020年2021年2022年x12345ym2036.654.6zn2.433.64̂已知回归方程z=0.52x+1.44，则m的值约为()̂A．1.96B．2C．6.9【解答】解：由题意可得，x=(1+2+3+4+5)=3，将x=3将x=3代入z=0.52x+1.44可得z=0.52×又因为z＝lny，即2＝lnm，所以m＝e2≈7.4.故选：D.【解答】解：由概率性质可知，P（AB）+P（ABP（B即+P(AB)=可得P（A）=11 所以P（B|A）==÷=.故选：A.85分）已知实数a，b，c满足a＝1.110，5b＝3a+4a，c＝ea﹣a，则()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【解答】解：设f（xex﹣ex，f'（xex﹣e，当x＞1时，f'（x0，此时f（x）单调递增，当x＜1时，f'（x0，此时，f（x）单调递减，f（x）min＝f（10，则f（x）≥0，即ex≥ex，因为c﹣a＝ea﹣2a≥ea﹣2a＝（e﹣2）a＞0，所以c＞a，由5b=3a+4a⇒=+=()a+()a，因为f(x)=()x+()x在R上递减，而a＝1.1101+0.1）10＞C0（0.1）0+C0（0.12，所以f（af（22+2＝1，综上可得：b＜a＜c.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。（多选）95分）已知随机变量X服从二项分布B(8，)，则()A．E（X）＝4 B．D（X）＝3D．P（X＝3）＝P（X＝5）【解答】解：因为随机变量X服从二项分布B(8，)，所以E（X）=8×=4，D（X）=8××=2，所以A对，B错误；P（X＝2）=C()8=，C错；P（X＝3）=C8=C()8=P（X＝5D对.故选：AD.（多选）105分）已知函数f（x）及其导数f'（x）的定义域均为R，则下列结论正确的有()A．若f（x）为奇函数，则f（x）+2f(﹣x）为偶函数B．若f（x）+2f(﹣x）为奇函数，则f（x）为奇函数C．若f（x）为奇函数，则f'（x）为偶函数D．若f（x）为偶函数，则f'（x）为偶函数【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，设g（xf（x）+2f(﹣x若f（x）为奇函数，则g（xf（x）+2f(﹣x）=﹣f（xg（x）是奇函数不是偶函数，A错误；对于B，设g（xf（x）+2f(﹣x若g（x）为奇函数，即f(﹣x）+2f（x）+f（x）+2f(﹣x3[f（x）+f(﹣x）]＝0，则有f(﹣x）=﹣f（x则函数f（x）为奇函数，B正确；对于C，若f（x）为奇函数，即f(﹣x）=﹣f（x两边同时求导可得﹣f′(﹣x）=﹣f′（x即f′(﹣xf（x则函数f′（x）为偶函数，C正确；对于D，若f（x）为偶函数，即f(﹣xf（x两边同时求导可得﹣f′(﹣xf′（x即f′(﹣x）=﹣f（x则函数f′（x）为奇函数，D错误.故选：BC.（多选）115分）已知函数f（xax﹣sinx，x∈[0，]，则下列结论正确的有()A．当a=时，f（x）在x=处取得极小值B．当a=时，f（x）有且只有一个零点C．若f（x）≤0恒成立，则0＜a≤D．若f（x）≥0恒成立，则a≥1【解答】解：则f′（x）=a=时，f（x）=x﹣sinx，x∈[0，]，cosx，令f′（x0，解得x≤，令f′（x0，解得：0≤x<，故f（x）在[0递减，在(，]递增，故f（x）在x=处取得极小值，故A正确；f（x）min＝f(）=(π﹣330，而f（0）＝0，f(）=π﹣1＞0，故f（x）有且只有2个零点，故B错误；若f（x）≤0恒成立，则ax≤sinx，x＝0时，成立，x∈（0，]时，问题转化为a≤恒成立，则g′（x）=xcossinx，令h（xxcosx﹣sinx，x∈（0，]，则h′（x）=﹣xsinx＜0，故h（x）在（0，]递减，故h（xh（00，故g′（x0，g（x）递减，x=时，g(）=，∴≤g（x1，故a≤，故C错误；若f（x）≥0恒成立，则a≥[g（x）]max，而g（x1，故a≥1，故D正确.故选：AD.（多选）125分）现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，则()A．2张有奖券分给同一个人的概率是B．2张有奖券分给不同的人的概率是C．2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为D．2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为【解答】解：选项A，2张有奖券分给同一个人的概率P==，选项A错误；选项B，2张有奖券分给不同的人与2张有奖券分给同一人是互斥事件，因此概率P＝1=，选项B正确；选项C，分两种情况讨论：（1）2张都分给丙或丁：概率P==，（2）丙丁各一张：概率P==，因此，2张都没有分给甲和乙的概率为+=，选项C错误；选项D，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率P==，选项D正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。135分）已知(x)n(n∈N∗)的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的n的值：6（答案不唯一）.【解答】解：由于已(x)n(n∈N∗)的展开式中存在常数项，通项公式为Tr+1=C•(﹣2）r•xn3T，故答案为：6（答案不唯一）.145分）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前填序号）序号一二三四项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百μ7175σ4.92.13.64.3【解答】解：因为只有第四个项目的成绩小于均值，所以第四个项目的成绩排名最靠后；第一、二两个项目的成绩大于均值，第三个项目成绩等于均值，所以排名靠前的为第一或第二个项目，因为第二个项目的标准差小于项目一的标准差，所以项目二的数据更集中，小星在项目二的排名更靠前.故答案为：四；二.155分）已知x＞0，y＞0，2x+y＝1，则的最小值为23+1.【解答】解：因为x＞0，y＞0，2x+y＝1，当且仅当=且2x+y＝1，即x＝2−3，y＝23−3时取等号.故答案为：23+1.165分）已知不等式x2≤ax+b≤ex对任意x∈R恒成立，则a+b的最大值为2.【解答】解：要求a+b的最大值，即求当x＝1时，函数y＝ax+b的最大值，已知不等式x2≤ax+b≤ex对任意x∈R恒成立，可得当直线y＝ax+b为函数f（x）=x2和g（x）＝ex公切线时，取得最大值，所以ax+b+x2＝0有唯一解，此时Δ=a2﹣b＝0，此时直线y＝ax+a2与函数g（xex相切，不妨设切点为（x0，ex0所以g′（x0）=ex0，又g（x0）=ex0，所以函数g（x）在点（x0，ex0）处的切线方程为y−ex0=ex0（x﹣x0即y=ex0x﹣x0ex0+ex0，此时+ex0=a2，解得解得所以公切线方程为y＝x+1，则a+b的最大值为2.故答案为：2.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1710分）已知函数f（xx3﹣3x2+6.（1）求f（x）的极小值；（2）求f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值和最小值.【解答】解1）∵f（xx3﹣3x2+6，∴f′（x3x2﹣6x＝3x（x﹣2令f′（x0，解得x＞2或x＜0，令f′（x0，解得0＜x＜2，故f（x）在(﹣∞,0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞)递增，故f（x）极小值＝f（2）＝8﹣12+6＝2；（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0）递增，在（0，1]递减，故f（x）最大值＝f（x）极大值＝f（0）＝6，而f(﹣1）＝2，f（1）＝2，故f（x）最小值＝2.1812分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*.（1）当n＝9时，求a1+a2+…+a9的值；（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，求n的值.【解答】解1）∵（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+anxn，其中n≥2，n∈N*.再令x＝1，可得1+a1+a2+…+a9＝29＝512，∴a1+a2+…+a9＝29＝511.（2）在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3：4：5，不妨假设C−1：C：C+1=3：4：5，且1≤r≤n﹣1，则有C1=T!(T)!×(T−1)!−T+1)!=n−+1=，整理得3n﹣7r+3＝0……①,1T)!==，整理得4n﹣9r﹣5＝0……②,即当n＝62时，存在连续三项的系数之比为C：C：C=3：4：5.1912分）已知某校高一有450名学生（其中男生250名，女生200名为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，学校增设了两门全新的校本课程A，B，学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习．学校统计了学生的选课情况，得到如下的2×2列联表.选择课程A选择课程B总计男生女生50总计（1）请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；（2）从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：X2=(a+b)(b+d)，n＝a+b+c+d.P(χ2≥x0）0.010.0050.001x06.6357.87910.828【解答】解1）由题意，2×2列联表为：选择课程A选择课程B总计男生250女生50200总计300450即有99.9%的把握认为选择课程与性别有关.（2）从250名男生中用分层抽样抽10名男生，抽取比例为，根据表中数据，这10人中有4人选择课程A，有6人选择课程B，从这10人中再抽取3人，则抽到选择课程A的人数X可能为0，1，2，3，设事件X发生的概率为P（X则P（X＝0）==，P（X＝1）==，P（X＝2）==，P（X＝3）==，所以X的分布列为：X0123P 1 6 1 2 3 1 2012分）已知函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x4．当x∈[0，2]时，f（xx2﹣ax+2a﹣2（a＞0）.（1）若f（2）+f（3）＝6，求a的值；（2）当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围.【解答】解1）已知当x∈[0，2]时，f（xx2﹣ax+2a﹣2（a＞0所以f（1）＝1﹣a+2a﹣2＝a﹣1，f（2）＝4﹣2a+2a﹣2＝2，又函数f（x）满足f（2+x）•f（2﹣x）＝4，即f（3）•f（1）＝（a﹣1）f（3）＝4，所以f(3)=a1，若f(2)+f(3)=2+a1=6，（2）由f（2+x）•f（2﹣x）＝4，可得f（x）•f（4﹣x）＝4，当x∈[0，2]时，4﹣x∈[2，4]，此时f(4−x)=，因为当x∈[0，4]时，都有1≤f（x）≤3，所以当x∈[2，4]时，f(4−x)=∈[1，3]，4解得≤f(x)≤4，3所以≤f(x)≤4在[0，2]上恒成立，当0＜a≤2时，f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，对称轴x=∈（0，1]，所以当x=时，f（x）取得最小值，最小值f=−(a4)2+2，35当35当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，解得4≤a≤又0＜a≤2，4，3所以不存在满足条件的a的值；当2＜a≤4时，函数f（x）＝x2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，对称轴x=∈（1，2]，所以当x＝2时，f（x）取得最小值，最小值f（2）＝2，当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，3535；解得4≤a≤又2＜a≤4，所以4≤a≤4，3当a＞4时，函数f（xx2﹣ax+2a﹣2为开口向上的二次函数，对称轴x=＞2，所以当x=时，f（x）取得最小值，最小值f=−(a4)2+2，当x＝0时，f（x）取得最大值，最大值f（0）＝2a﹣2，解得a≤，又a＞4，所以不存在满足条件的a的值，综上，a的取值范围为[4，].2112分）十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式．对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜．这种形式的比赛因对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过．在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星友的“血泪十局”以及范西屏和施襄夏的“当湖十局”．已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率和乙获胜的概率均为，且各局比赛胜负相互独立.（1）若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；（2）甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2n（n∈N*）局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得