江苏省南京市九中2025届高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

江苏省南京市九中2025届高一数学第二学期期末联考模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知一组正数的平均数为，方差为，则的平均数与方差分别为（）A． B． C． D．2．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：指数值0～5051～100101～150151～200201～300空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日-20日指数变化趋势：下列叙述错误的是（）A．这20天中指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好3．已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程为()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝04．过点的直线的斜率为，则等于（）A． B．10 C．2 D．45．已知数列的前项为和，且，则（）A．5 B． C． D．96．一只小狗在图所示的方砖上走来走去，最终停在涂色方砖的概率为（）A． B． C． D．7．若函数在处取最小值，则等于（）A．3 B． C． D．48．若正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．9．集合，，则=()A． B． C． D．10．如图，B是AC上一点，分别以AB,BC,AC为直径作半圆，从B作BD⊥AC，与半圆相交于D，AC=6，BD=22A．29 B．13 C．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的定义域为_____________．12．函数，的值域是_____．13．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是_________．14．对于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，则x的取值范围是________________．15．若首项为，公比为（）的等比数列满足，则的取值范围是________.16．一个扇形的圆心角是2弧度，半径是4，则此扇形的面积是______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数.（1）判断函数奇偶性；（2）讨论函数的单调性；（3）比较与的大小.18．如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面．19．如图，在四边形中，.（1）若为等边三角形，且是的中点，求.（2）若，，求.20．如图，在三棱锥中，底面ABC，D是PC的中点，已知，，，，求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线BC与AD所成的角的余弦值大小.21．已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点.（1）若点到直线的距离为4，求直线的方程；（2）求面积的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

根据平均数的性质和方差的性质即可得到结果.【详解】根据平均数的线性性质，以及方差的性质：将一组数据每个数扩大2倍，且加1，则平均数也是同样的变化，方差变为原来的4倍，故变换后数据的平均数为：；方差为4.故选：C.【点睛】本题考查平均数和方差的性质，属基础题.2、C【解析】

根据所给图象，结合中位数的定义、指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对，因为第10天与第11天指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正确；对，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对，由图知，10月上旬大部分指数在100以下，10月中旬大部分指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.3、C【解析】试题分析：两点关于直线对称，则,点与的中点在直线上，,那么直线的斜率等于，中点坐标为，即中点坐标为，,整理得：,故选C.考点：求直线方程4、B【解析】

直接应用斜率公式，解方程即可求出的值.【详解】因为过点的直线的斜率为，所以有，故本题选B.【点睛】本题考查了直线斜率公式，考查了数学运算能力.5、D【解析】

先根据已知求出数列的通项，再求解.【详解】当时，，可得；当且时，，得，故数列为等比数列，首项为4，公比为2.所以所以.故选D【点睛】本题主要考查项和公式求数列通项，考查等比数列的通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6、C【解析】

方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块，由几何概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由图形可知，方砖上共分为九个全等的正方形，涂色方砖为其中的两块，由几何概型的概率公式可知，小狗最终停在涂色方砖的概率为，故选：C.【点睛】本题考查利用几何概型概率公式计算事件的概率，解题时要理解事件的基本类型，正确选择古典概型和几何概型概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.7、A【解析】

将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.【详解】当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.8、B【解析】

根据，结合基本不等式可求得，从而得到关于的不等式，解不等式求得结果.【详解】由题意知：，，（当且仅当，即时取等号），解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.9、C【解析】

根据交集定义直接求解可得结果.【详解】根据交集定义知：故选：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.10、C【解析】

求得阴影部分的面积和最大的半圆的面积，再根据面积型几何概型的概率计算公式求解.【详解】连接AD,CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BDAB=x(0<x<6)，则有8=x(6-x)，得x=2，所以AB=2, BC=4，由此可得图中阴影部分的面积等于π×3【点睛】本题考查了与面积有关的几何概型的概率的求法，当试验结果所构成的区域可用面积表示，用面积比计算概率.涉及了初中学习的射影定理，也可通过证明相似，求解各线段的长.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】函数的定义域为故答案为12、【解析】

首先根据的范围求出的范围，从而求出值域。【详解】当时，，由于反余弦函数是定义域上的减函数，且所以值域为故答案为：．【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。属于基础题。13、相交【解析】

根据直线与圆相交的弦长公式，求出的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【详解】解：圆的标准方程为，则圆心为，半径，圆心到直线的距离，圆截直线所得线段的长度是，即，，则圆心为，半径，圆的圆心为，半径，则，，，，即两个圆相交．故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出的值是解决本题的关键．14、(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化为m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4时恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.则⇒⇒即x<－1或x>3.故答案为(－∞，－1)∪(3，＋∞)15、【解析】

由题意可得且，即且，，化简可得由不等式的性质可得的取值范围.【详解】解：，故有且，化简可得且即故答案为：【点睛】本题考查数列极限以及不等式的性质，属于中档题.16、16【解析】

利用公式直接计算即可.【详解】扇形的面积.故答案为：.【点睛】本题考查扇形的面积，注意扇形的面积公式有两个：，其中为扇形的半径，为圆心角的弧度数，为扇形的弧长，可根据题设条件合理选择一个，本题属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）是偶函数（2）见解析（3）【解析】

（1）由奇偶函数的定义判断；（2）由单调性的定义证明；（3）由于函数为偶函数，因此只要比较与的大小，因此先确定与的大小，这就得到分类标准．【详解】（1）是偶函数（2）当时，是增函数；当时，是减函数；先证明当时，是增函数证明：任取，且，则，且，，即：当时，是增函数∵是偶函数，∴当时，是减函数.（3）要比较与的大小，∵是偶函数，∴只要比较与大小即可.当时，即时，∵当时，是增函数，∴当时，即当时，∵当时，是增函数，∴【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．18、（1）见证明；（2）见证明【解析】

（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；（2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，∵四边形为平行四边形，∴为中点，又是的中点，∴是三角形的中位线，则，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵为线段的中点，点是的中点，∴且，则四边形为平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴平面．又平面，，且平面，平面，∴平面平面．【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．19、（1）（2）【解析】

（1）先由题意，结合平面向量基本定理，用表示出，再由向量的数量积运算，即可得出结果；（2）先由向量数量积的运算，求出，再由，结合题中条件，即可得出结果.【详解】解：（1）为等边三角形，且，又是中点，又（2）由题意：，，，又【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.20、（1），（2）【解析】

（1）先求出，然后由底面ABC得，即可算出答案（2）取的中点，可得是异面直线BC与AD所成的角（或其补角），然后在中，用余弦定理即可算出【详解】（1）因为，，所以因为底面ABC，所以（2）如图，取的中点,连接，则所以是异面直线BC与AD所成的角（或其补角）在中，所以由余弦定理得所以异面直线BC与AD所成的角的余弦值大小为【点睛】求异面直线所成的角是将直线平移转化为相交直线所成的角，要注意