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第7页培优课07利用导数证明不等式培优点一单变量的不等式证明典例1[2023·新高考Ⅱ卷节选]证明：当0<x<1解题观摩[解析]构造F则F'x=则F所以x>sinx构造G则G'x=2x−1+cosx,x∈0,1，令gx=G'则Gx在0,1上单调递增，可得利用导数证明不等式fx1.若fx与gx的最值易求出，则可以直接转化为证明fxmin>gxmax，但有的时候为了证明（1）隔水相望型：fx（2）一线之隔型：fxmin=（3）无间型：fxmin=2.若在a,b上，fx与gx的最值不易求出，则可构造函数ℎx=fx−gx.若ℎ'x>0，则ℎx在构造双函数证明不等式（凹凸反转）1.已知函数fx=e[解析]要证fx>e2ln设gx=e由g'x>0，得0<则gx≤g设ℎx=e由题意可得f'由f'x>0，得x>故fxmin=f0由ℎ'x>0，得x>则ℎx≥ℎ因为e2ln所以ex−x放缩后构建函数证明不等式2.已知函数fx=sinx[解析]当x>0时，要证明3fx而ex−1先证x3<e∵F当x∈0,+∞时，F'x∴Fx=ex再证fx<x则Gx=sin故对于∀x>0，都有G'x对于∀x>0，都有Gx<G0=0培优点二双变量的不等式证明典例2已知函数fx=x1−lnx（审题①先求导分析函数的单调性）.若x1≠x2,且fx1=fx2，求证：2解题观摩[解析]由题意知x∈0,+∞所以当x∈当x因为x1≠x2,且fx1=fx2，当x→所以不妨令x先证x1+x2>设ℎ则ℎ'x=f'x+f'2−x=−lnx−ln2−x由x11−ln化简可得ln而x1+x2<e等价于1+t令φ再令pt=1−1t−ln故pt<p1=0，则φ'即ln1+t故2<双变量不等式证明的五种思路1.减元法：当x1,x2是函数fx的两个不等的极值点时，x1,x2是方程f2.构造法：先利用条件消去参数，把所证明的不等式化为仅含x1,x2的式子，通过运算，构造t=x13.对称化构造法：对结论x1+x2><2x0型，构造函数F4.比值代换法：通过代数变形将所证双变量不等式通过代换t=5.对数与指数均值不等式法（需证明）：对任意的a,b>0a≠b，有ab<a【注意】其中3，4，5通常被称为极值点偏移问题.减元法证明不等式1.已知fx=12x2−[解析]由题意，得f'因为函数fx有两个极值点x1,x2，所以方程x2−所以x1+x2=由题意得fx令ℎa=2a所以ℎa在0,1故fx构造法证明不等式（证明对数均值不等式）2.对任意的x1,x2>[解析]不妨设x1>x2>0，先证令t=x1x2令ft=2t令gt=f所以gt在1,+∞上单调递减，即f'所以f't<f'则ft<f1=再证x1−x2ln令u=x1x2令ℎu=u+1ln所以u+1ln综上，x1对数均值不等式法证明不等式3.[2022·新高考Ⅱ卷节选]设n∈N∗[解析]不等式左侧可

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