内蒙古呼和浩特市英华学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（文）试题

内蒙古呼和浩特市赛罕区英华学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学（文）试题一、选择题，本题共12小题，每题5分，总计60分，每题有且只有一个最符合题意的选项，请在答题纸上，按要求作答。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（0，1） D．（0，2）2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃x0∈R，lgx0＝0 B．∃x0∈R，tanx0＝1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞03．（5分）已知集合A＝{3，4，2a﹣4}，B＝{a}，若A∩B≠∅，则a＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．5．（5分）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2 C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝6．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣，则f'（2）＝（）A． B． C． D．7．（5分）在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝1经过伸缩变换后所得曲线方程为（）A．x2+4y2＝1 B．4x2+y2＝4 C．2x2+y2＝2 D．x2+2y2＝18．（5分）极坐标方程4ρ•cos2＝5表示的曲线是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线（多选）9．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则f（﹣3）的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．311．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则函数y＝f（x）的图像可能是（）A． B． C． D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）二、填空题，本题共4小题，每题5分，总计20分，请将正确答案写在答题纸上，按要求作答。13．（5分）命题“∀x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定为．14．（5分）若函数没有极值，则实数a的取值范围是．15．（5分）在复平面内，复数z对应的点为，则＝．16．（5分）若定义域为[a﹣2，a+4]的函数f（x）＝﹣（a+2）x2+（k﹣1）x﹣a是偶函数，则y＝|f（x）|的递减区间是．三、解答题，本题共6小题，第17小题10分，18-22小题每题12分，请在答题纸相应位置作答。17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若A∩∁RB＝A，求实数a的取值范围；（2）若“∀x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．19．（12分）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：超过M不超过M上班时间下班时间（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．附：，P（χ2≥3.841）≈0.0520．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1时取得极值．（1）求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值与最小值．21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；（2）曲线分别交直线l和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应α的值．22．（12分）函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣ax2+2ax，a∈R．（1）当a＝0时，证明：f（x）+e≥0；（2）若x＝1是f（x）的一个极大值点，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题，本题共12小题，每题5分，总计60分，每题有且只有一个最符合题意的选项，请在答题纸上，按要求作答。1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝（）A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（0，1） D．（0，2）【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{y|y＞0}；∴A∩B＝（0，2）．故选：D．2．（5分）下列命题中是假命题的是（）A．∃x0∈R，lgx0＝0 B．∃x0∈R，tanx0＝1 C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0【解答】解：当x0＝1时，lgx0＝0，所以∃x0∈R，lgx0＝0，正确；当x0＝时，tanx0＝1，所以∃x0∈R，tanx0＝1，正确；当x＝0时，x2＝0，所以∀x∈R，x2＞0不正确；由指数函数y＝2x＞0，可知∀x∈R，2x＞0，正确；故选：C．3．（5分）已知集合A＝{3，4，2a﹣4}，B＝{a}，若A∩B≠∅，则a＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因为A∩B≠∅，所以a＝3，a＝4或a＝2a﹣4，当a＝3时，2a﹣4＝2，符合题意，当a＝2a﹣4时，a＝4，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a＝4时，2a﹣4＝4，与集合元素的互异性矛盾，舍去．故选：A．4．（5分）已知复数z＝为虚数单位），则的虚部为（）A． B． C． D．【解答】解：复数z＝﹣2i＝﹣2i＝﹣2i＝﹣i，所以＝+i，所以的虚部为．故选：B．5．（5分）下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ln2 C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝【解答】解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确对于选项B，成立，故B正确对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确对于选项D，成立，故D正确故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣，则f'（2）＝（）A． B． C． D．【解答】解：已知f（x）＝lnx﹣，函数定义域为（0，+∞），可得f′（x）＝﹣x＝，则f′（2）＝＝﹣．故选：B．7．（5分）在同一平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝1经过伸缩变换后所得曲线方程为（）A．x2+4y2＝1 B．4x2+y2＝4 C．2x2+y2＝2 D．x2+2y2＝1【解答】解：伸缩变换转换为代入曲线C：x2+y2＝1得到，整理得4x2+y2＝4．故选：B．8．（5分）极坐标方程4ρ•cos2＝5表示的曲线是（）A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【解答】解：极坐标方程4ρ•cos2＝5，化为2ρ（cosθ+1）＝5，即，化为，两边平方可得：4（x2+y2）＝25﹣20x+4x2，化为，此方程表示抛物线．故选：D．（多选）9．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为，，，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则f（﹣3）的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3【解答】解：因为函数f（x）为奇函数，且满足f（1﹣x）＝f（1+x），所以f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣f（1+2）＝﹣f（1﹣2）＝f（1），又因为x∈[0，1]时，f（x）＝x2，所以f（﹣3）＝f（1）＝1．故选：C．11．（5分）函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图像如图所示，则函数y＝f（x）的图像可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由导函数图像可知原函数在（﹣∞，a）单调递减，（a，b）单调递增，（b，c）单调递减，（c，+∞）单调递增，其中a＜0＜b＜c，由图可知A，C选项f（x）先递增，故不满足题意，其中B选项，f（x）的增区间为（a，b），（c，+∞），且a＜b＜0＜c，故不满足题意，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f′（x）为f（x）的导函数，且xf′（x）+f（x）＞0，则不等式（x+2）f（x+2）＞x2f（x2）的解集是（）A．（﹣2，1） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．（﹣1，2）【解答】解：根据题意，构造函数g（x）＝xf（x），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）＞0，所以函数g（x）在R上单调递增，又（x+2）f（x+2）＞x2f（x2），即g（x+2）＞g（x2），所以x+2＞x2，即x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2．故选：D．二、填空题，本题共4小题，每题5分，总计20分，请将正确答案写在答题纸上，按要求作答。13．（5分）命题“∀x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定为∃x＞0，x2+x﹣1≤0．【解答】解：命题“∀x＞0，x2+x﹣1＞0”的否定为∃x＞0，x2+x﹣1≤0，故答案为：∃x＞0，x2+x﹣1≤0．14．（5分）若函数没有极值，则实数a的取值范围是[0，2]．【解答】解：f′（x）＝x2+2（a﹣1）x+1，因为没有极值，f′（x）≥0，所以Δ＝4（a﹣1）2﹣4≤0，解得0≤a≤2．故答案为：[0，2]．15．（5分）在复平面内，复数z对应的点为，则＝．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点为，∴，∴，∴＝＝＝．故答案为：．16．（5分）若定义域为[a﹣2，a+4]的函数f（x）＝﹣（a+2）x2+（k﹣1）x﹣a是偶函数，则y＝|f（x）|的递减区间是（﹣3，﹣1），（0，1）．【解答】解：∵定义域为[a﹣2，a+4]的函数f（x）＝﹣（a+2）x2+（k﹣1）x﹣a是偶函数，∴a﹣2+a+4＝0，k＝1，∴a＝﹣1，∴f（x）＝﹣x2+1（x∈[﹣3，3]）∴y＝|f（x）|的递减区间是（﹣3，﹣1），（0，1）．故答案为（﹣3，﹣1），（0，1）．三、解答题，本题共6小题，第17小题10分，18-22小题每题12分，请在答题纸相应位置作答。17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣6x+5≤0}，集合B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}．（1）若A∩∁RB＝A，求实数a的取值范围；（2）若“∀x∈B”是“x∈A”的充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，∵B＝{x|﹣1﹣2a≤x≤a﹣2}，∴∁RB＝{x|x＜﹣1﹣2a或x＞a﹣2}，∵A∩∁RB＝A，∴A⊆∁RB，∴﹣1﹣2a＞5或a﹣2＜1，∴a＜3，∴实数a的取值范围为（﹣∞，3）．（2）∵∀x∈B是x∈A的充分条件，∴B⊆A，①当B＝∅时，﹣1﹣2a＞a﹣2，解得a＜，②当B≠∅时，，∴a不存在，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，）．18．（12分）已知函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（3）若f（x）＞0，求x的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域（﹣1，1）；（2）函数f（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）．∵f（﹣x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）＝﹣f（x）．∴f（x）为奇函数（3）∵f（x）＞0，∴，求解得出：0＜x＜1故x的取值范围：（0，1）．19．（12分）李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列2×2列联表：超过M不超过M上班时间下班时间（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．附：，P（χ2≥3.841）≈0.05【解答】解：（1）根据茎叶图可知，这40个通勤记录的中位数是，故M＝43，2×2列联表：超过M不超过M上班时间812下班时间713（2）根据题意，由，则，故上下班的通勤时间没有显著差异．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+x+1在x＝﹣1时取得极值．（1）求f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）已知f（x）＝x3+ax2+x+1，函数定义域为R，可得f'（x）＝3x2+2ax+1，因为f（x）在x＝﹣1处取得极值，所以f'（﹣1）＝3﹣2a+1＝0，解得a＝2，当a＝2时，f'（x）＝3x2+4x+1＝（3x+1）（x+1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，此时函数f（x）在x＝﹣1时取得极值，所以a＝2，此时f′（0）＝1，又f（0）＝1，所以f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝x﹣0，即x﹣y+1＝0；（2）由（1）知f（x）＝x3+2x2+x+1，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣＜x≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极大值＝f（﹣1）＝1，f（x）极小值＝f（﹣）＝，又f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣8+8﹣2+1＝﹣1，所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为1，最小值为﹣1．21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为x2+（y﹣1）2＝1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C1的极坐标方程；（2）曲线分别交直线l和曲线C1于点A，B，求的最大值及相应α的值．【解答】解：（1）由（t为参数），得y﹣4＝﹣x，∴直线l的普通方程为x+y﹣4＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，∵曲线C1的普通方程为x2+y2＝2y，∴由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C1的参数方程为ρ＝2sinθ．（2）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，令θ＝a，则|OA|＝，又|OB|＝2sinα，∴＝＝，∵，∴，∴当，即时，取得最大值．