八年级数学下册专题07平行四边形综合压轴特训(原卷版+解析)

专题07平行四边形综合压轴特训一．选择题（共16小题）1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A． B． C． D．3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1 B． C．2 D．5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（）A． B． C．3 D．48．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．199．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（）A． B． C． D．10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（）A．4 B．5 C．6 D．711．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的，若AC＝，则菱形移动的距离AA′是（）A．1 B． C． D．15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）二．填空题（共11小题）17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为．18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是．19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为．20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．21．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为．22．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是．25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为．26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝．27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为．三．解答题（共13小题）28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为，数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．34．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm/s，其他条件不变，要使四边形APQB是矩形，且矩形的长宽之比为2：1，求Q点运动的速度．38．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于F．（1）求证：四边形ADCE为矩形．（2）线段DF与AB有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？简述你的理由．39．如图，长方形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（6，0），（0，10），点B在第一象限内．（1）写出点B的坐标，并求长方形OABC的周长；（2）若有过点C的直线CD把长方形OABC的周长分成3：5两部分，D为直线CD与长方形的边的交点，求点D的坐标．40．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60度．探究PG与PC的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．专题07平行四边形综合压轴特训一．选择题（共16小题）1．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE，BE，DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB＝+．其中正确结论的序号是（）A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④【答案】A【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∵AP⊥AE，∴∠BAE+∠BAP＝90°，又∵∠DAP+∠BAP＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAP，在△APD和△AEB中，，∴△APD≌△AEB（SAS），故①正确；∵AE＝AP，AP⊥AE，∴△AEP是等腰直角三角形，∴∠AEP＝∠APE＝45°，∴∠AEB＝∠APD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°，∴EB⊥ED，故③正确；∵AE＝AP＝1，∴PE＝AE＝，在Rt△PBE中，BE＝＝＝2，∴S△APD+S△APB＝S△APE+S△BPE，＝×1×1+××2，＝0.5+，故④正确；过点B作BF⊥AE交AE的延长线于F，∵∠BEF＝180°﹣135°＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BF＝×2＝，即点B到直线AE的距离为，故②错误，综上所述，正确的结论有①③④．故选：A．2．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×＝，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选：B．3．如图，在正方形ABCD中，点M、N为边BC和CD上的动点（不含端点），∠MAN＝45°下列三个结论：①当MN＝MC时，则∠BAM＝22.5°；②2∠AMN﹣∠MNC＝90°；③△MNC的周长不变．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解答】解：①：∵正方形ABCD中，∠C＝90°，∴MN＝，∴MN2＝MC2+NC2．当MN＝MC时，MN2＝2MC2，∴MC2＝NC2∴MC＝NC．∴BM＝DN易证△ABM≌△ADN（SAS）．∴∠BAM＝∠DAN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°，故①正确；②：如图，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得△ADE，则∠EAN＝∠EAM﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，则在△EAN和△MAN中，∴△EAN≌△MAN（SAS），∴∠AMN＝∠AED，∴∠AED+∠EAM+∠ENM+∠AMN＝360°，∴2∠AMN+90°+（180°﹣∠MNC）＝360°，∴2∠AMN﹣∠MNC＝90°，故②正确；③：∵△EAN≌△MAN，∴MN＝EN＝DE+DN＝BM+DN，∴△MNC的周长为：MC+NC+MN＝（MC+BM）+（NC+DN）＝DC+BC，∵DC和BC均为正方形ABCD的边长，故△MNC的周长不变．综上①②③都正确．故选：D．4．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM﹣PN值为（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解答】解：如图所示，∵对角线BD平分∠NPM，∴作以BD为对称轴N的对称点N'，连接MN'，PN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∠NPO＝N′PO，NO＝N′O∵在正方形ABCD中，AB＝4∴AC＝AB＝4，∵O为AC中点∴OA＝OC＝2∵N为OA的中点∴ON＝∴ON'＝CN'＝∴AN'＝3∵BM＝3∴CM＝4﹣3＝1∴＝＝∵∠MCN'＝∠BCA∴△MCN'∽△BCA∴∠CMN'＝∠ABC＝90°∵∠MCN'＝45°∴△MCN'为等腰直角三角形∴MN'＝CM＝1∴PM﹣PN的值为1．故选：A．5．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（）A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）【答案】B【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即，∴OE＝，即点B（，3），∴AF＝OE＝，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，∴点C（﹣，4）．故选：B．6．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°，而CE＝DF，∴AF＝DE，在△ABF和△DAE中，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，所以（1）正确；∴∠ABF＝∠EAD，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠ABF+∠EAB＝90°，∴∠AOB＝90°，∴AE⊥BF，所以（2）正确；连接BE，∵BE＞BC，∴BA≠BE，而BO⊥AE，∴OA≠OE，所以（3）错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，∴S△AOB＝S四边形DEOF，所以（4）正确．故选：B．7．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（）A． B． C．3 D．4【答案】C【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ，∴△BQA≌△BQE，∴BA＝BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16，∴DE＝BE+CD﹣BC＝6，∴PQ＝DE＝3．故选：C．8．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝＝2，∴EC2＝22+22，＝8，∴S2的面积为EC2＝8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9，∴S1+S2＝8+9＝17．故选：B．9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的周长为1，则第n个矩形的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：已知第一个矩形的周长为1；由中位线定理，可知第二个矩形的边长是菱形对应的对角线的，即第二个矩形的边长是第一个矩形对应的边长的，所以第二个矩形的周长为第一个矩形周长的，故第二个矩形的周长为；同理，第三个矩形的周长是第二个矩形周长的，故第三个矩形的周长为（）2；…故第n个矩形的周长为（）n﹣1．故选：C．10．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A．11．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB＝DC【答案】C【解答】解：依题意得，四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成，连接AC、BD，故EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形，要使四边形EFGH为矩形，根据矩形的判定（有一个角为直角的平行四边形是矩形）故当AC⊥BD时，∠EFG＝∠EHG＝90度．四边形EFGH为矩形．故选：C．12．用边长为1的正方形纸板，制成一副七巧板（如图①），将它拼成“小天鹅”图案（如图②），其中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如图，阴影部分面积是正方形的面积减去，A，B，C部分的面积，A与B的和是正方形的面积的一半，C的面积是正方形的，所以，阴影部分面积＝1﹣﹣＝．故选：A．13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C．＜MN＜ D．＜MN≤【答案】D【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，∴＜MN＜，当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是＜MN≤．故选：D．14．如图，把菱形ABCD沿对角线AC的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，它们的重叠部分（图中阴影部分）的面积是菱形ABCD面积的，若AC＝，则菱形移动的距离AA′是（）A．1 B． C． D．【答案】B【解答】解：依题意有，AC＝，所以A′C＝1．则平移的距离是AA′＝﹣1．故选：B．15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【答案】B【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故错误；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故正确；∴其中正确的结论为①④，故选：B．16．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（）A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3）【答案】D【解答】解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4﹣a；①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，在Rt△MPC中，由勾股定理得：CM2＝MP2+CP2＝1+a2+（4﹣a）2+9＝2a2﹣8a+26，又∵CM2＝OM2+OC2＝4+16＝20，∴2a2﹣8a+26＝20，∴（a﹣3）（a﹣1）＝0，解得：a＝3或a＝1，∴P（3，3）或（3，1）；②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：CP2＝BP2+BC2＝（4﹣a）2+9，在Rt△MPA中，由勾股定理得：MP2＝MA2+AP2＝1+a2，∵CM2＝OM2+OC2＝20，在Rt△MCP中，由勾股定理得：CM2+MP2＝CP2，∴20+1+a2＝（4﹣a）2+9，解得：a＝．∴P（3，）．综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．故选：D．二．填空题（共11小题）17．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为．【答案】．【解答】解：如图，设AN和BD交于点Q，∵正方形ABCD的边长为4，∴BD＝＝4，∵BM＝2AM，∴BM+AM＝AB＝4，∴AM＝BN＝，BM＝，∵AD∥BN，∴△NQB∽△AQD，∴＝＝＝，∴DQ＝3BQ，∴DQ＝3，BQ＝，∵O是BD的中点，∴OD＝2，∴OQ＝DQ﹣OD＝，在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（SAS），∴∠ADM＝∠BAN，∵∠PAD+∠BAN＝90°，∴∠PAD+∠ADM＝90°，∴∠APD＝90°，∵∠DAM＝90°，AM＝，AD＝4，∴DM＝＝，∵S△ADM＝AD•AM＝DM•AP，∴AP＝＝，∴PM＝＝，∴PD＝DM﹣PM＝，∵△ADM≌△BAN，∴AN＝DM＝，∵＝，∴NQ＝，AQ＝，∴PQ＝AQ﹣AP＝﹣＝，如图，过点O作OG⊥DM于点G，∵OG∥PQ，∴△OGD∽△QPD，∴＝＝＝，∴DG＝DP＝×＝，OG＝QP＝×＝，∴PG＝DP﹣DG＝﹣＝，∴OP＝＝＝．故答案为：．18．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的结论序号是①②③．【答案】①②③．【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故①正确；∴矩形DEFG为正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确；∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故③正确；当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，综上所述：①②③．故答案为：①②③．19．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为EF2＝AE2+CF2．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN在△DAN和△DCF中；∴△DAN≌△DCF（SAS）∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45°又∵∠DAC＝45°∴∠NAE＝90°∴AN2+AE2＝NE2∵∠GDH＝45°，∴∠NDE＝45°在△DNE和△DFE中∴△DNE≌△DFE∴NE＝EF又∵AN＝CF∴CF2+AE2＝EF2故答案为：EF2＝AE2+CF2．20．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案为：．21．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的，∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1．故答案为：122．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1＝1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8＝128．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8＝27＝128．故答案为128．23．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1、A2…An分别是各正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积的和为cm2．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的，即是，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n﹣1）＝cm2．故答案为：．24．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°．连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC＝60°．连接AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE＝60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是（）n﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接DB，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．AC⊥DB，∵∠DAB＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴DB＝AD＝1，∴BM＝，∴AM＝，∴AC＝，同理可得AE＝AC＝（）2，AG＝AE＝3＝（）3，按此规律所作的第n个菱形的边长为（）n﹣1，故答案为（）n﹣1．25．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为1.5．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，∵∠AFB＝90°，∴DF＝AB＝2.5，∵DE为△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案为：1.5．26．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝36．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接EF，FG，GH，EH，∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD＝3，同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EF＝GH＝AC＝3，FG＝BD＝3，∴EH＝EF＝GH＝FG＝3，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥HF，且垂足为O，∴EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝9，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝9×4＝36，∴（2OE）2+（2OH）2＝36，即EG2+FH2＝36．故答案为：36．27．已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．【答案】见试题解答内容【解答】解：显然PO≠PD，不考虑；当OD＝PD（P在右边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝OA＝5，根据勾股定理得：DQ＝3，故OQ＝OD+DQ＝5+3＝8，则P1（8，4）；当PD＝OD（P在左边）时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形DPQ中，PQ＝4，PD＝OD＝5，根据勾股定理得：QD＝3，故OQ＝OD﹣QD＝5﹣3＝2，则P2（2，4）；当PO＝OD时，根据题意画出图形，如图所示：过P作PQ⊥x轴交x轴于Q，在直角三角形OPQ中，OP＝OD＝5，PQ＝4，根据勾股定理得：OQ＝3，则P3（3，4），综上，满足题意的P坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）三．解答题（共13小题）28．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD…（2分）故答案为：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD＝∠BAC＝90°∴∠BAD＝∠CAF在△BAD与△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°，∴∠BCF＝90°∴CF⊥BD…（7分）（2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G…（9分）则∵∠ACB＝45°∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45°∵AG＝AC，AD＝AF，∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∴∠GAD＝∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）∴∠ACF＝∠AGD＝45°∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90°∴CF⊥BC…（12分）29．已知：如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE．（1）求证：四边形BECF是菱形；（2）当∠A的大小为多少度时，四边形BECF是正方形？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵EF垂直平分BC，∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，又∵∠ACB＝90°，∴EF∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴BE：AB＝DB：BC，∵D为BC中点，∴DB：BC＝1：2，∴BE：AB＝1：2，∴E为AB中点，即BE＝AE，∵CF＝AE，∴CF＝BE，∴CF＝FB＝BE＝CE，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A＝45°时，四边形BECF是正方形．证明：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，∴菱形BECF是正方形．30．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）已知：在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC，证明：如图，延长DE至F，使EF＝DE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF（全等三角形对应边相等），∠A＝∠ECF（全等三角形对应角相等），∴AD∥CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝CF且BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴DF∥BC且DF＝BC（平行四边形的对边平行且相等），∵DE＝EF＝DF，∴DE∥BC且DE＝BC；（2）∵A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴A1B1＝AB，B1C1＝BC，C1D1＝CD，A1D1＝AD，∴四边形A1B1C1D1的周长＝×1＝，同理可得，四边形A2B2C2D2的周长＝×＝，四边形A3B3C3D3的周长＝×＝，…，∴四边形的周长之和l＝1++++…；（3）由图可知，+++…＝1（无限接近于1），所以l＝1++++…＝2（无限接近于2）．31．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F．（1）求证：OE＝OF；（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO＝CO，FO＝CO，∴OE＝OF；（2）解：∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2+∠4＝∠5+∠6＝90°，∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝＝13，∴OC＝EF＝6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．证明：当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．32．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．连接BD．（1）图中有几对三角形全等？试选取一对全等的三角形给予证明；（2）判断△BEF的形状，并说明理由．（3）当△BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）△BAE≌△BDF，△BDE≌△BCF，△BAD≌△BCD，共三对；证明：△BDE≌△BCF．在△BDE和△BCF中，，故△BDE≌△BCF．（2）△BEF为正三角形．理由：∵△BDE≌△BCF，∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，∴△BEF为正三角形；（3）设BE＝BF＝EF＝x，则S△BEF＝•x•x•sin60°＝x2，当BE⊥AD时，x最小＝2×sin60°＝，此时△BEF的面积最小，此时点E、F分别位于AD、CD的中点，故此时BD垂直平分EF．33．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°．∵∠MBN＝60°，∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．即∠MBA＝∠NBE．又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．在△ABM和△CBM中，，∴△ABM≌△CBM（SAS），∴∠BAM＝∠BCM，∴∠BCM＝∠BEN，∵EB＝CB，∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，∴M、N可以同时在直线EC上．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．在Rt△EFC中，∵EF2+FC2＝EC2，∴（）2+（x+x）2＝．解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．∴正方形的边长为．34．已知：如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上的一动点，PE⊥CM，PF⊥BM，垂足分别为E、F．（Ⅰ）当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽满足什么条件？试说明理由．（Ⅱ）在（Ⅰ）中当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】（Ⅰ）法1：答：当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又∵AM＝DM，∴△AMB≌△DMC（SAS）∴∠AMB＝∠DMC∵四边形PEMF为矩形，∴∠BMC＝90°，∴∠AMB＝∠DMC＝45°∴AM＝DM＝DC，即AD＝2DC．∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍；法2：∵四边形PEMF为矩形，∴∠M为直角，∴B、C、M三点共圆，BC为直径，又∵M为AD的中点，∴BC＝2CD，∴当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长是宽的2倍．（Ⅱ）答：当点P运动到BC中点时，四边形PEMF变为正方形．∵△AMB≌△DMC，∴MB＝MC．∵四边形PEMF为矩形，∴PE∥MB，PF∥MC又∵点P是BC中点，∴PE＝PF＝MC∴四边形PEMF为正方形．35．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）正确．证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．∴BM＝BE，∴∠BME＝45°，∴∠AME＝135°，∵CF是外角平分线，∴∠DCF＝45°，∴∠ECF＝135°，∴∠AME＝∠ECF，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．（2）正确．证明：在BA的延长线上取一点N．使AN＝CE，连接NE．∴BN＝BE，∴∠N＝∠NEC＝45°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCE＝45°，∴∠N＝∠ECF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BE，∴∠DAE＝∠BEA，即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，∴∠NAE＝∠CEF，∴△ANE≌△ECF（ASA），∴AE＝EF．36．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且∠EAF＝45°，AP⊥EF于点P．（1）求证：AP＝AB；（2）若AB＝5，求△ECF的周长．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）延长CB到F′，使BF′＝DF，在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABF′＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠D，∴△ABF′≌△ADF（SAS），∴AF′＝AF，∠1＝∠2，∴∠EAF′＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵EA＝EA，∴△EAF′≌△EAF（SAS），∴EF′＝EF，S△AEF'＝S△AEF，而EF′•AB＝EF•AP，∴AB＝AP．解：（2）C△CEF＝EC+CF+EF＝EC+CF+EF′＝EC+BE+CF+BF′＝BC+CF+DF＝BC+CD＝2AB＝10．37．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝20cm，BC＝24cm，P、Q分别从A、C同时出发，向D，B运动．当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动．（1）如果P、Q的速度分别为1cm/s和3cm/s．运动时间为t秒，则t为何值时，PQ＝DC．并说明理由．（2）如果P的速度为1cm