备战高考数学一轮复习第十二章 选修4－4　坐标系与参数方程

第十二章|选修4－4坐标系与参数方程第一节坐标系1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λ·xλ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．[提醒]极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(x＝ρcosθ，,,y＝ρsinθ；)))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))这就是极坐标与直角坐标的互化公式．[提醒]把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一．4．简单曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心为极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤θ＜\f(π,2)))圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r，\f(π,2)))，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcosθ＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)<θ<\f(π,2)))过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a(0<θ<π)考点(一)平面直角坐标系中的伸缩变换[典例]在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y.))(1)求点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，－2))经过φ变换所得点A′的坐标；(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．[解](1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,y′＝\f(y,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,3)×3＝1，,y′＝\f(－2,2)＝－1.))∴点A′的坐标为(1，－1)．(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝3x，,2y′＝y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,3)，,y＝2y′.))代入y＝6x，得2y′＝6×eq\f(x′,3)＝2x′，即y′＝x′，∴y＝x为所求直线l′的方程．[方法技巧]伸缩变换后方程的求法及注意点(1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λxλ>0，,y′＝μyμ>0))的作用下的变换方程的求法是将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x′,λ)，,y＝\f(y′,μ)))代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求．(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解．[针对训练]1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后的图形．(1)5x＋2y＝0.(2)x2＋y2＝1.解：伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′.))(1)若5x＋2y＝0，则5(2x′)＋2(3y′)＝0，所以5x＋2y＝0经过伸缩变换后的方程为5x′＋3y′＝0，为一条直线．(2)若x2＋y2＝1，则(2x′)2＋(3y′)2＝1，则x2＋y2＝1经过伸缩变换后的方程为4x′2＋9y′2＝1，为椭圆．2．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的一个伸缩变换公式φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))(λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1改写为eq\f(x′2,25)＋eq\f(y′2,16)＝1，把伸缩变换公式φ：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝λx，,y′＝μy))(λ，μ>0)代入上式，得eq\f(λ2x2,25)＋eq\f(μ2y2,16)＝1，即eq\f(λ,5)2x2＋eq\f(μ,4)2y2＝1，与x2＋y2＝1比较系数，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(λ,5)2＝1，,\f(μ,4)2＝1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝5，,μ＝4.))考点(二)极坐标与直角坐标的互化[典例](2023·武汉模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，C2：ρ2＝eq\f(1,3－4sin2θ).(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；(2)曲线C1，C2的交点为M，N，求以MN为直径的圆与y轴的交点坐标．[解](1)由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，得ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθcos\f(π,4)＋cosθsin\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρsinθ＝y，,ρcosθ＝x))代入上式得x＋y＝1，即C1的直角坐标方程为x＋y－1＝0，同理由ρ2＝eq\f(1,3－4sin2θ)，可得3x2－y2＝1，∴C2的直角坐标方程为3x2－y2＝1.(2)由题意可知，先求以MN为直径的圆，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2－y2＝1，,x＋y＝1))得3x2－(1－x)2＝1，即x2＋x－1＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－1，,x1x2＝－1，))则MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，由弦长公式，可得|MN|＝eq\r(1＋－12)|x1－x2|＝eq\r(2)·eq\r(1－4－1)＝eq\r(10).∴以MN为直径的圆为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))2＝eq\f(5,2).令x＝0，得eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(5,2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\f(9,4)，∴y＝0或y＝3，∴以MN为直径的圆与y轴的交点坐标为(0,0)或(0,3)．eq\a\vs4\al([方法技巧])1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tanθ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角．(1)当x≠0时，θ角才能由tanθ＝eq\f(y,x)按上述方法确定．(2)当x＝0时，tanθ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y>0时，可取θ＝eq\f(π,2)；当x＝0，y<0时，可取θ＝eq\f(3π,2).[针对训练]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，所以圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.直线l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcosθ＝1，所以直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))故直线l与圆O的公共点的一个极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).考点(三)极坐标方程及应用[典例](2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2eq\r(2)cosθ.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(AM,\s\up6(→))，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点．[解](1)由ρ＝2eq\r(2)cosθ，知ρ2＝2eq\r(2)ρcosθ.又ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，所以x2＋y2＝2eq\r(2)x，即(x－eq\r(2))2＋y2＝2.(2)设M(eq\r(2)＋eq\r(2)cosθ，eq\r(2)sinθ)，P(x，y)．因为A(1,0)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\r(2)eq\o(AM,\s\up6(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝\r(2)×\r(2)＋\r(2)cosθ－1，,y＝\r(2)×\r(2)sinθ.))所以C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ＋3－\r(2)，,y＝2sinθ，))其中θ为参数，θ∈[0,2π)．此时C1的直角坐标方程为(x－3＋eq\r(2))2＋y2＝4.所以C与C1的圆心距为eq\r(3－\r(2)－\r(2)2＋02)＝3－2eq\r(2).因为r1－r2＝2－eq\r(2)，又2－eq\r(2)－3＋2eq\r(2)＝eq\r(2)－1＞0，所以两圆内含，C1与C2无公共点．eq\a\vs4\al([方法技巧])利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小．(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可．[提醒]在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．[针对训练]C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosα，,y＝4＋2sinα))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解：(1)曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋2cosα，,y＝4＋2sinα))(α为参数)，转换为直角坐标方程为(x－2)2＋(y－4)2＝4，转换为极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－8ρsinθ＋16＝0.(2)曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.转换为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22＋y－42＝4，,x2＋y2－4y＝0，))整理出公共弦的直线方程为x＋y－4＝0，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4y＝0，,x＋y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4.))转换为极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2))).[课时验收评价]1．(1)若点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4)))，求点P的直角坐标；(2)求直线θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)和圆ρ＝2的交点的极坐标．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))及P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(π,4)))，得x＝ρcosθ＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝eq\f(3\r(2),2)，y＝ρsinθ＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\f(3\r(2),2)，从而P的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，－\f(3\r(2),2))).(2)显然eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4)))，所以交点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4))).2．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若直线l的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\r(3).(1)把l的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)已知P为椭圆C：x2＋eq\f(y2,3)＝1上一点，求P到l的距离的最小值．解：(1)由ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝eq\r(3)得ρcosθcoseq\f(π,6)＋ρsinθsineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)ρcosθ＋eq\f(1,2)ρsinθ＝eq\r(3)，∴直线l的直角坐标方程为eq\f(\r(3),2)x＋eq\f(1,2)y＝eq\r(3)，即eq\r(3)x＋y－2eq\r(3)＝0.(2)设P(cosα，eq\r(3)sinα)，∴点P到l的距离d＝eq\f(|\r(3)cosα＋\r(3)sinα－2\r(3)|,2)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(6)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－2\r(3))),2)，∴当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝1时，dmin＝eq\f(2\r(3)－\r(6),2).3．已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹方程为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝eq\f(5π,6)(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4,0)，求△MPQ的面积．解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，即x2＋y2－6y＝0.从而ρ2＝6ρsinθ.所以曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.设B(ρ，θ)，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，θ－\f(π,2))).则有ρ＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(2)M到射线θ＝eq\f(5π,6)(ρ>0)的距离为d＝4sineq\f(5π,6)＝2，射线θ＝eq\f(5π,6)(ρ>0)与曲线C1的交点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρP，\f(5π,6)))，其中，ρP＝6sineq\f(5π,6)＝3，射线θ＝eq\f(5π,6)(ρ>0)与曲线C2的交点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρQ，\f(5π,6)))，其中，ρQ＝－6coseq\f(5π,6)＝3eq\r(3)，则|PQ|＝|ρP－ρQ|＝3eq\r(3)－3，则S△MPQ＝eq\f(1,2)|PQ|d＝3eq\r(3)－3.4.数学中有许多美丽的曲线，如在平面直角坐标系xOy中，曲线E：x2＋y2＝a(eq\r(x2＋y2)－y)(a>0)的形状如心形(如图)，称这类曲线为心形曲线．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．当a＝2时，(1)求E的极坐标方程；(2)已知P，Q为曲线E上异于O的两点，且eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，求△OPQ的面积的最大值．解：(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入曲线E，得ρ2＝2(ρ－ρsinθ)，即ρ＝2(1－sinθ)，所以E的极坐标方程为ρ＝2(1－sinθ)．(2)不妨设P(ρ1，θ)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，θ＋\f(π,2)))，即ρ1＝2(1－sinθ)，ρ2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,2)))))＝2(1－cosθ)，则△OPQ的面积S＝eq\f(1,2)ρ1ρ2＝2(1－cosθ)(1－sinθ)＝2－2(sinθ＋cosθ)＋2sinθcosθ，由于(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，令t＝sinθ＋cosθ，则t∈[－eq\r(2)，eq\r(2)]，2sinθcosθ＝t2－1，则S＝2－2t＋t2－1＝t2－2t＋1＝(t－1)2，故当t＝－eq\r(2)时，Smax＝(－eq\r(2)－1)2＝3＋2eq\r(2)，即△OPQ的面积的最大值为3＋2eq\r(2).5．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，将曲线C1绕极点逆时针旋转eq\f(2π,3)后得到曲线C2.(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．解：(1)设C2上任意一点的极坐标为(ρ，θ)，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，θ－\f(2,3)π))在C1上，所以ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(2,3)π))，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(2,3)π)).(2)设A(ρA，α)，B(ρB，α)，则|AB|＝|ρA－ρB|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(4sinα－4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2,3)π))))＝|6sinα＋2eq\r(3)cosα|＝4eq\r(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))))≤4eq\r(3)，当且仅当α＝eq\f(π,3)时，等号成立，故|AB|的最大值为4eq\r(3).6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝eq\r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|).解：(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0.由于直线C2过原点，且倾斜角为eq\f(π,3)，故其极坐标方程为θ＝eq\f(π,3)(ρ∈R)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，,θ＝\f(π,3)，))得ρ2－(2eq\r(3)＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2eq\r(3)＋2，ρ1ρ2＝7，∴eq\f(1,|OA|)＋eq\f(1,|OB|)＝eq\f(|OA|＋|OB|,|OA|·|OB|)＝eq\f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq\f(2\r(3)＋2,7).7.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧eq\x\to(AB)，Beq\x\to(C)，Ceq\x\to(D)所在圆的圆心分别是(1,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq\r(3)，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤θ≤\f(π,4)))，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)≤θ≤π)).(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤eq\f(π,4)，则2cosθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(π,6)；若eq\f(π,4)≤θ≤eq\f(3π,4)，则2sinθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(2π,3)；若eq\f(3π,4)≤θ≤π，则－2cosθ＝eq\r(3)，解得θ＝eq\f(5π,6).综上，P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(π,6)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(π,3)))或eq\r(3)，eq\f(2π,3)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(5π,6))).第二节参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ft，,y＝gt)).[提醒]参数方程与普通方程互化的注意点(1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性．(2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同．(3)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)，点斜式))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(t为参数)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcosθ，,y＝b＋rsinθ))(θ为参数)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosφ，,y＝bsinφ))(φ为参数)考点(一)参数方程与普通方程的互化[典例]已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[解](1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq\f(|－2a|,\r(5))≤4，解得－2eq\r(5)≤a≤2eq\r(5).即实数a的取值范围为[－2eq\r(5)，2eq\r(5)]．[方法技巧]将参数方程化为普通方程消参的3种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．(2)利用三角恒等式消去参数．(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．[针对训练]将下列参数方程化为普通方程．(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t为参数)；(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ))(θ为参数)．解：(1)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,t)\r(t2－1)))2＝1，∴x2＋y2＝1.∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.又x＝eq\f(1,t)，∴x≠0.当t≥1时，0＜x≤1；当t≤－1时，－1≤x＜0，∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＜x≤1，,0≤y＜1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x＜0，,－1＜y≤0.))(2)∵y＝－1＋cos2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，∴y＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，∴所求普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．考点(二)参数方程的应用[典例]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(\r(2),2)t，,y＝3＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ.(1)求直线l的倾斜角及曲线C的直角坐标方程；(2)设P(m,3)且直线l和曲线C的交点为A，B，若|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．[解](1)∵直线l的普通方程为x＋y－m－3＝0，∴直线l的倾斜角为eq\f(3π,4).∵曲线C的极坐标方程为ρ＝6sinθ，即ρ2＝6ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0.(2)直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(\r(2),2)t，,y＝3＋\f(\r(2),2)t，))代入x2＋y2－6y＝0，得t2－eq\r(2)mt＋m2－9＝0.(*)由Δ＝(－eq\r(2)m)2－4(m2－9)＝36－2m2>0，得m2<18.设方程(*)的两根为t1，t2，则t1t2＝m2－9.∴由|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝|m2－9|＝1，得m2＝10或m2＝8，均满足m2<18，故m＝±eq\r(10)或m＝±2eq\r(2).eq\a\vs4\al([方法技巧])(1)解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆、圆锥曲线的位置关系来解决问题．(2)对于形如eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．(3)直线参数方程的应用：直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的烦琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义．(4)圆、圆锥曲线的参数方程突出了其工具性作用，应用时，把圆、圆锥曲线上的点的坐标设为参数方程的形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．[针对训练]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．解：(1)曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(42cosα＋sinα,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.考点(三)参数方程与极坐标方程的综合应用[典例](2022·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋t,6)，,y＝\r(t)))(t为参数)，曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(2＋s,6)，,y＝－\r(s)))(s为参数)．(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ－sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[解](1)根据C1的参数方程，消去参数t可得x＝eq\f(2＋y2,6)⇒y2＝6x－2(y≥0)，所以曲线C1的普通方程为y2＝6x－2(y≥0)．(2)曲线C3的极坐标方程可化为2ρcosθ－ρsinθ＝0，所以普通方程为y＝2x.根据C2的参数方程，消去参数s可得x＝－eq\f(2＋y2,6)⇒y2＝－6x－2(y≤0)．根据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－6x－2y≤0，,y＝2x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以C3与C2交点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1))，(－1，－2)．根据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x－2y≥0，,y＝2x))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以C3与C1交点的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，(1,2)．eq\a\vs4\al([方法技巧])处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．[针对训练]1．已知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－\r(3)＋\r(3)t))(t为参数)，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标压缩为原来的eq\f(\r(3),2)倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l距离的最小值．解：(1)直线l的普通方程为y＝eq\r(3)(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x－1，,x2＋y2＝1，))解得l与C1的交点为A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，则|AB|＝1.(2)曲线C2的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)cosθ，,y＝\f(\r(3),2)sinθ))(θ为参数)，故点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosθ，\f(\r(3),2)sinθ))，从而点P到直线l的距离是d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosθ－\f(\r(3),2)sinθ－\r(3))),2)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋2))，当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝－1时，d取得最小值，且最小值为eq\f(2\r(3)－\r(6),4).2．(2022·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint，))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0.(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围．解：(1)直线l的极坐标方程为ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＋m＝0，即ρsinθ＋eq\r(3)ρcosθ＋2m＝0，根据eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))得l的直角坐标方程为eq\r(3)x＋y＋2m＝0.(2)曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cos2t，,y＝2sint))(t为参数)，将sint＝eq\f(y,2)代入x＝eq\r(3)cos2t＝eq\r(3)(1－2sin2t)，得曲线C的普通方程为y2＝－eq\f(2\r(3),3)x＋2(－2≤y≤2)．联立直线l与曲线C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(3)x＋y＋2m＝0，,y2＝－\f(2\r(3),3)x＋2))(－2≤y≤2)，消去x并整理得3y2－2y－6－4m＝0(－2≤y≤2)．法一：若直线l与曲线C有公共点，则Δ＝(－2)2－4×3×(－6－4m)≥0，且3×(－2)2－2×(－2)－6－4m≥0，所以－eq\f(19,12)≤m≤eq\f(5,2).法二：所以4m＝3y2－2y－6(－2≤y≤2)，因为3y2－2y－6＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－\f(2,3)y))－6＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,3)))2－eq\f(19,3)，所以当－2≤y≤2时，－eq\f(19,3)≤3y2－2y－6≤10，即－eq\f(19,3)≤4m≤10，则－eq\f(19,12)≤m≤eq\f(5,2)，即m的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(19,12)，\f(5,2))).[课时验收评价]1．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2sinα))(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ－2ρsinθ＋m＝0.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设点P(－m,0)，直线l与曲线C交于A，B(均异于点P)两点，若|PA|·|PB|＝5，求m的值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2sinα))(α为参数)，得(x－1)2＋y2＝4，故曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝4，由ρcosθ－2ρsinθ＋m＝0，得x－2y＋m＝0，故直线l的直角坐标方程为x－2y＋m＝0.(2)由题意可知直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－m＋\f(2\r(5),5)t，,y＝\f(\r(5),5)t))(t为参数)，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得5t2－4eq\r(5)(m＋1)t＋5(m2＋2m－3)＝0，设|PA|，|PB|对应的参数分别是t1，t2，则t1＋t2＝eq\f(4\r(5)m＋1,5)，t1t2＝m2＋2m－3，因为|PA|·|PB|＝5，所以|m2＋2m－3|＝5，解得m＝－4或m＝2.2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,3)，,y＝6＋tsin\f(π,3)))(t为参数)．(1)判断直线l和圆C的位置关系，并说明理由；(2)设P是圆C上一动点，A(4,0)，若点P到直线l的距离为eq\f(3\r(3),2)，求eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))的值．解：(1)圆C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3＋3cosθ，,y＝3sinθ))(θ为参数)，消参得圆C的普通方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心C坐标为(3,0)，半径为3.直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcos\f(π,3)，,y＝6＋tsin\f(π,3)))(t为参数)，消参得直线l的普通方程为eq\r(3)x－y＋6＝0.∵圆心C到直线l的距离d＝eq\f(3\r(3)＋6,2)>3，∴直线l和圆C相离．(2)设P(3＋3cosθ，3sinθ)(θ∈[0,2π))，由点P到直线l的距离eq\f(|3\r(3)cosθ－3sinθ＋6＋3\r(3)|,2)＝eq\f(3\r(3),2)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＋2＋\r(3)))＝eq\r(3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋θ))＝－1.∴eq\f(π,6)＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，又θ∈[0,2π)，则θ＝eq\f(5π,6)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝－eq\f(3\r(3),2).3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2＋sinα))(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq\f(4,1＋3sin2θ).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝2＋sinα，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y－2＝sinα，))又sin2α＋cos2α＝1，所以曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝1.由ρ2＝eq\f(4,1＋3sin2θ)得ρ2＋3(ρsinθ)2＝4.因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以曲线C2的直角坐标方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)因为点P在曲线C2：eq\f(x2,4)＋y2＝1上，所以可设点P的坐标为(2cosφ，sinφ)．因为曲线C1的方程为x2＋(y－2)2＝1，所以圆心为C1(0,2)，半径r＝1.所以|PA|＝eq\r(|PC1|2－r2)＝eq\r(2cosφ2＋sinφ－22－1)＝eq\r(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinφ＋\f(2,3)))2＋\f(25,3))，当sinφ＝－eq\f(2,3)时，|PA|有最大值eq\f(5\r(3),3).所以|PA|的最大值为eq\f(5\r(3),3).4．(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程．(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．解：(1)由⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1，得⊙C的一个参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)．(2)易知两条切线的斜率均存在．设切线方程为y－1＝k(x－4)，即kx－y＋1－4k＝0.由点到直线的距离公式，得eq\f(|2k－1＋1－4k|,\r(k2＋－12))＝1，∴3k2＝1，∴k＝±eq\f(\r(3),3).∴切线l1的直角坐标方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－4)＋1，切线l2的直角坐标方程为y＝－eq\f(\r(3),3)(x－4)＋1.由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得切线l1的极坐标方程为eq\r(3)ρcosθ－3ρsinθ－4eq\r(3)＋3＝0，切线l2的极坐标方程为eq\r(3)ρcosθ＋3ρsinθ－4eq\r(3)－3＝0.5．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋sinα＋3cosα，,y＝2＋cosα－3sinα))(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的方程是ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝eq\f(1,2).(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)若点A的坐标为(1,0)，直线l与曲线C交于P，Q两点，求eq\f(1,|AP|)＋eq\f(1,|AQ|)的值．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4